Реферат: Доказательство великой теоремы Ферма

Данное доказательство, оформленное в виде статьи,посвящено объяснению того факта, что формальное математическое доказательствовеликой теоремы Ферма тривиально.

Вот оно:

допустим,что диофантово уравнение /> (1)

имеетцелые решения при n>2, тогда

 /> (2)

и должно быть целым. Однако, правая часть выражения(2) не является целым рациональным выражением и не даёт целый результат поопределению. Следовательно, предположение о том, что диофантово уравнение имеетцелые решения, не верно.

Автор выражает удивление,что до него никто не осветил данную математическую проблему с этой стороны. Встатье, однако, затронуты глубинные вопросы гносеологии, сопутствующие решениюпроблемы. Автор считает, что статья доступна для понимания не толькосуперматематикам, но и обычным людям, проявляющим интерес к данной проблеме.

Доказательствотеоремы Ферма.

Посвящаю моему учителю математики

 Зильбербергу Осипу Михайловичу.

1. Введение.

Математика – это абстрактная наука для описанияконкретных процессов. То есть, математический абстрактный процесс описываетмножество реальных физических процессов.

Например, 1+1 = 2

может означать, что вкопилку с одной монетой бросили еще одну; что в комнату, где находится человек,зашел еще один человек; что рыболов поймал рыбу и поместил ее в садок, а потомпоймал еще рыбу и поместил ее в тот же садок и т.д. и т.п.

Любой математическийпроцесс оперирует абстрактными (условными) величинами. Не исключение и понятиецелого числа. Рассмотрим понятие математической единицы и целого числа.Математическая единица это самое простое из всех целых чисел, основа понятияцелого числа. Ведь любое целое число это просто сумма целых единиц. Однако же,реально не существует ничего целого, все можно разделить. Тем более, несуществует двух абсолютно одинаковых объектов, с которыми можно было быпроизвести физически реальную операцию добавления, как в приведенном примере.Т.е. реально будет или чуть больше или чуть меньше двух. (Ведь монеты могутбыть разных номиналов, а если номинал один, то все равно монеты различаются помассе и размерам, тут все зависит от точности измерений. Еще больше различий урыб и людей.)

Исторически понятие целогочисла возникло из простых арифметических действий, простейшее из которыхприведено в примере. Исходя из вышеизложенного очевидно, что арифметика это«теория целых чисел», и служит для описания простейших процессов, единичныхпроцессов, процессов очень сильно ограниченных в пространстве и времени.Уяснив, что такое целое число, перейдем к теореме Ферма.

Теорема Ферма утверждает,что уравнение вида

                                      />                                                       (1)

Не имеет целыхположительных решений при n >2.

Применим к теореме способдоказательства «от противного». Допустим, что уравнение (1) имеет целые решенияпри n > 2, тогда все три переменных x, y, z будут целыми числами, тогда два изтрех тоже будут целыми; пусть это будут x и y, тогда (1) можнозаписать в виде

 /> (2)

Или

 /> (3)

Подкорневое выражениеможно привести к элементарным арифметическим действиям:

 /> n раз,

или

 /> /> раз.

Причем, сколько именнораз не так важно. Важно то, что суть этого математического процесса сводится кповторению операции сложения целого числа с самим собой. Результат такойоперации тоже будет целым.

Аналогично для />.

(Замечание: естественно,что n должно быть конечным и целым.)

Теперь посмотрим, чтотакое />.

Это обратная возведению встепень операция, по аналогии, как вычитание обратная сложению операция.(Заметим, что в природе не существует обратных процессов. Нельзя дважды войти водну и ту же реку. Невозможно вернуться точно в то же исходное положение. Этоможно сделать с большей или меньшей степенью приближения по одному илинескольким параметрам. Таким образом, обратные процессы это мысленные,абстрактные, или другими словами, теоретические математические процессы.)

Целые числа можнополучить из целых только с помощью целых рациональных выражений. Т.е. с помощьюсложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень.Извлечение корня (или возведение в дробную степень) не является целымрациональным выражением. Поэтому выражения вида (2) и (3) не дают целыйрезультат по определению.

Или подробнее:

Операцию извлечения корняневозможно определить через вычитание при неизвестном основании прямогопроцесса.

То есть, возведение вцелую положительную степень можно представить как сложение целого числа с самимсобой определенное число раз. Это (исходное) целое число можно получить,вычитая его из результата такое же число раз.

 /> /> раз, прямой процесс.

 /> /> раз, обратный процесс.

При этом, очевидно, длятого, чтобы получить тот же математический объект в результате обратногопроцесса, необходимо совершить точную последовательность обратных действий надрезультатом прямого процесса. Если же для обратного процесса предлагается невыражение вида /> , где

/> - целое, то тогда неизвестно, чтонужно вычитать и какое число раз. Задачу невозможно определить в рамках понятияо целых числах и целочисленных операциях. Следовательно, и о каком-либо решениинеопределенной задачи говорить не приходится. Следовательно, предположение отом, что уравнение (1) имеет целые решения при n > 2 неверно, что и требовалось доказать.

Комментарий: Тот факт,что диофантово уравнение имеет целые решения при n = 2, является исключением из общего правила, и может бытьобъяснено скорее всего тем, что квадратная функция это довольно медленновозрастающая функция. Она описывает процессы, по скорости и ограниченности впространстве близкие процессам, которые описываются линейными функциями. (Т.е.тривиальными арифметическими действиями, из которых и возникло математическоепредставление о целом числе). Поэтому решения уравнения (1) при n = 2 иногда попадают в множествоцелых чисел (скорее всего это возможно при небольших значениях переменных,когда квадратная функция возрастает довольно медленно).

Одесса, 04.02.2002 г.