Реферат: Вычисление определенного интеграла
Основной способ вычисления определенных интегралов основан на использовании связи между определенным и неопределенным интегралами от рассматриваемой функции. Следствием этой связи является формула Ньютона-Лейбница, которая имеет вид:
Где F(x) – любая первообразная для f(x) на промежутке [a, b]. Таким образом, значение определенного интеграла от данной функции f(x) на интервале [a, b] равно разности значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример 23.
Пример 24.
.
Пример 25.
Поскольку формула Ньютона-Лейбница позволяет легко выразить определенный интеграл через значения первообразной для подынтегральной функции, то, очевидно, что при вычислении определенных интегралов могут быть использованы основные методы вычисления неопределенных интегралов: метод подстановки и метод интегрирования по частям.
В случае определенного интеграла формула (13) замены переменной переходит в
где а Ф(t) — первообразная для функции .
Отметим, что применение метода подстановки даже несколько упрощается, так как нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной в выражении, полученном для первообразной. Достаточно вычислить разность ее значений на верхнем и нижнем пределе изменения новой переменной.
Пример 26.
Произведем замену переменной.,
Пределы интегрирования х=0, t=0, x=4, t=2.
Пример 27.
.
Пределы интегрирования позволяют использовать для замены переменой тригонометрические функции.
x = sint, dx = cost∙dt; x = 0, t = 0; x = 1, t = π/2.
Формула интегрирования по частям применительно к вычислению определенного интеграла записывается как:
Пример 28.
Применяем метод интегрирования по частям, полагая:
,
Тогда: Следовательно: