Реферат: Высшая математика. Матрица
Министерство образования
РоссийскойФедерацииТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ(ТУСУР)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
2003
1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если
/>/>/>А= 1 0 ,C= 3 4 4 , B= -3 1 4 .
2 -2 1 -3 5 2 -3 4
(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)
Решение:
/>/>/>/>Размеры матриц А и С согласованны, т.к. числоэлементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В.
а*с= 1 0 * 3 4 4 = 1*3+0*1 1*4+0*(-3) 1*4+0*5 = 3 4 4
2 -2 1 -3 5 2*3+(-2)*1 2*4-2*(-3) 2*4-2*5 4 14 -2
/>/>/>/>А*В= 1 0 * -3 1 4 = 1*(-3)+0*2 1*1+0*(-3) 1*4+0*4 = -3 1 4
2 -2 2 -3 4 2*(-3)-2*2 2*1-2*(-3) 2*4-2*4 -10 8 0
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> <td/> />D=А*С-А*В= 3 4 4 _ -3 1 4 = 3-(-3) 4-1 4-4 = 6 3 0
4 14 -2 -10 8 0 4-(-10) 14-8 -2-0 14 6 -2
Ответ :14, 6, -2.
/>2(3ТО).Вычислите определитель D= 2 2 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
Решение:
/> 2 2 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1 =
0 3 2 2
Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой,результат запишем
в четвёртую строку:
/> 2 2 1 0
1 1 1 0
= 1 2 2 1 =
-2 -1 -2 0
Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца:
/> 3+4 2 2 1
= 1*(-1) * 1 1 1 =
-2 -1 -2
Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой, результатзапишем в первую строку. Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей,результат запишем в третью строку .
/>/> 0 0 -1
= - 1 1 1 = — (-1) 1+3 * (-1) * 1 1 = 1-0 =1;
0 1 0 0 1
Ответ: D =1.
/>/>3(598.Р7).Решите матричное уравнение
1 2 1 1 1 -1
X* 4 3 -2 = 16* -1 2 3
-5 -4 -1 0 -1 -2 .
Решение:
A*X=B, X=A-1 *B
/>Найдём det A:
1 2 1
det A= 4 3 -2 =1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=
-5 -4 -1
=-19+20+15-8+8=16 ;
det= 16 ≠ 0;
/>Составим матрицу А -1,обратную матрицы А:
А11 = 3 -2 = -3 –8 = -11
/> -4 -1
/> А12 = - 4 -2 = -(-4-10) = 14
-5 -1
А13 = 4 3 = -16+15= -1
/> -5 -4
A21 = - 2 1 =-(-2+4) = -2
-4 -1
/> A22 = 1 1 = -1+5 = 4
-5 -1
/> A23 =- 1 2 = — (-4+10) = -6
-5 -4
/> A31 = 2 1 = — 4-3 = -7
/> 3 -2
A32 = - 1 1 = — (-2-4) = 6
/>–2
A33 = 1 2 = 3 –8 =-5
4 3
/> -11/16 -2/16 -7/16
А-1 = 14/16 4/16 6/16
-1/16 -6/16 -5/16
/> /> /> /> /> /> <td/> />-11/16 -2/16 -7/16 1*16 1*16 -1*16
Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 =
-1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16
/>
-11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)
= 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 =
/> -1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1)) -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)
-9 -8 -9
= 10 16 10
5 -8 -27
Ответ: Х =: -9, -8, -9: 10, 16, 10: 5, -8, -27 .
/>4(4П5).При каком значении параметра p, если он существует,
1 2 -2 1
последняя строка матрицы А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых
1 -1 1 2
8 -7 p 11
трёх строк?
Решение :
Вычислим det A:
/>/>/>/> 1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0
det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =
1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0
8 -7 p 11 0 23 -16-p -3
/>-1*(-1) 2+3 * -7 7 = 49 + 7p – 98 = 7p — 49
14 -7-p
Если det A=0, то рангматрицы А равен двум, т.е. 7p – 49= 0, p = 7.
Третья строка по теореме о базисном миноре являетсякомбинацией первых двух .
Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ1и λ2, λ3, тогда (8,-7,7,11) = λ1(1,2,-2,1)++ λ2 (2,-3,3,2) + λ3 (1,-1,1,2);
/>/>Имеем систему : λ1 + 2λ2+ λ3 = 8 * 2
2λ1 — 3λ2 — λ3 = -7
-2λ1 + 3λ2+ λ3 = 7
λ1 + 2λ2+ 2λ3 = 11
Решим данную систему методом Гаусса :
/> λ1 + 2λ2 +λ3 = 8 1) λ3 = 3
7λ2 + 3λ3 =23 2) 7λ2 + 9 = 23
7λ2 + 3λ3 =23 7λ2 = 14
λ3 = 3 λ2= 2
3) λ1 +2*2 + 3 =8
λ1= 1
коэффициенты линейных комбинаций λ1 = 1;λ2 = 2; λ3 = 3 ;
Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2).
5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1(1,1,1), f2 (1,2,3), f3 (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3. (ТР0.РП). Найдите координаты вектора x в базисе fi<sub/>.
Составимопределитель из компонент векторов и f1, f2, f3 вычислим его :/>/> 1 1 1 1 1 1
/>∆ = 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)1+1 * 1 2 = 5 – 4 = 1
1 3 6 0 2 5 2 5
Так как ∆ ≠ 0, то векторы f1, f2, f3 образуют базис трёхмерного пространства R3
Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :
/>/> х1 + х2 + х3 =4 *(-1)
х1 + 2х2 + 3х3 = 7
х1 + 3х2 + 6х3 = 10
/> х1 + х2 + х3= 4
/> х2 + 2х3 =3 *(-2)
2х2 + 5х3 = 6
/> х1 + х2 + х3= 4 1) х3 = 0 3) х1 + 3<sub/>+0<sub/>= 4
х2 + 2х3 = 3 2) х2+ 0<sub/>= 3 х1 = 4 — 3
х3 = 0 х2 =0 х1 = 1
х1 = 1, х2 = 0, х3 = 0 .
Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f1, f2, f3
x(1;3;0);
x = f1 + 3f2 + 0f3;
x = f1 + 3f2.
Ответ: координаты вектора x (1;3;0).
6. Докажите, что система
/> 2х1 + 2х2 + х3 = 8,
х1 + х2 + х3 = 3,
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3,
3х2 + 2х3 +2х4 =3
имеет единственное решение. (362).Неизвестное х2найдите по формулам Крамера. (0М1.РЛ). Решите систему методом Гаусса .
Решение:
Составим матрицу из коэффициентов при переменных
/> 2 2 1 0
А = 1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
/>/>/>/>Вычислим определитель матрицы А
2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0
∆ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)3+4 * 1 1 1 = - 1 1 1 =
1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0
0 3 2 2 -2 -1 -2 0
/>= — (-1)2+3 * 1 1 = 1
0 1
∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х2= ∆ х2 /∆
/>/>/>/> 2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1
∆ х2 = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)3+4 * 1 3 1 = - 1 5 0 =
1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0
/> 0 3 2 2 -2 -3 -2 0
= -(-1)1+3 * 1 5 = ( 3 + 0 ) = 3
0 8
х2 = 3 /1 = 3.
Решим систему методом Гаусса
/>/>/> 2х1 + 2х2 + х3 = 8 *(-2) *(-1)
х1 + х2 + х3 = 3
х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 3
3х2 + 2х3 +2х4 =3
/> х1 + х2 + х3 = 3
- х3 = 2
/> х2 + х3 + х4 = 0 *(-3)
3х2 + 2х3 +2х4 =3
/> х1 + х2 + х3 = 3
х2 + х3 + х4 = 0
- х3 - х4 = 3
х3 = -2
1) х3 = — 2 3) х2 — 2 — 1 = 0
2) 2 — х4 = 3 х2 = 3
х4 = -1 4) х1 + 3 -2 = 3
х1 = 2
Проверка :
2 + 3 – 2 =3, 3 = 3
4 + 3*3 – 2 = 8, 8 = 8
2 + 6 – 4 – 2 = 3, 3 =3
9 – 4 – 2 = 3 , 3 = 3.
Ответ: х1 = 2, х2 = 3 , х3 =- 2, х4 = -1.
7. Дана система линейных уравнений
/> 3х1 + х2 — х3 - х4 = 2,
9х1 + х2 — 2х3 - х4 = 7,
х1 — х2 - х4 =-1,
х1 + х2 - х3 -3х4 = -2.
Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение.(392.БЛ). Найдите частное решение, если х4 = 1 .
Доказательство :
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда,когда ранг основной матрицы
системы равен рангу расширенной матрицы .
/>/>/>Составим расширенную матрицу :
/>/> 3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7
А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0
1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1
1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2
Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0.Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система являетсясовместной .
Решим систему методом Гаусса :
запишем последнее уравнение на первое место :
/> х1 + х2 - х3 -3х4 = -2
3х1 + х2 — х3 - х4 = 2
9х1 + х2 — 2х3 - х4 =7
/>/>/> х1 — х2 - х4 = -1
/>/>/> 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2
С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →
9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7
1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7
/> х1 + х2 - х3 -3х4 = -2
→ 2х2 — 2х3 -8х4 = -8
— х3 -6х4 = -7.
1) х3 = 7 — 6х4
2) х2 — х3 -4х4 = -4
х2 = х3 + 4х4 — 4
х2 = 7 — 6х4 + 4х4 — 4
х2 = 3 — 2х4
3) х1 = — х2 + х3 + 3х4 - 2
х1 = — 3<sub/>+ 2х4 + 7 — 6х4+ 3х4 – 2
х1 = 2<sub/>-х4 .
Получаем общее решение системы :
х1 = 2<sub/>-х4
х2 = 3 — 2х4
х3 = 7 — 6х4.
Найдём частное решение, если х4 = 1 тогда
х1 = 2<sub/>– 1 = 1;<sub/>
х2 = 3 – 2*1 = 1;<sub/>
х3 = 7 – 6*1 =1.
Ответ: (1;1;1;1) – частное решение .
8. Дана система линейных однородных уравнений
/> 2х1 +3х2 - х3 - х4 + х5 = 0,
3х1 — 2х2 — 3х3 -3х5= 0,
х1 — 3х2 + 2х3 -5х4-2х5 = 0.
Докажите, что системаимеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдитекакую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :
Система имеетнетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числанеизвестных.В этом случае ранг матрицы не больше трёх, а переменных в системепять .
Решим систему методомГаусса .
Запишем матрицу системы :
/>/> 2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2
А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 →
1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9)
/> 1 -3 2 -5 -2
→ 0 9 -5 9 5
0 0 -8 -72 8
/> х1 -3х2 +2х3 — 5х4 -2х5 = 0
9х2 — 5х3 + 9х4 +5х5= 0
-8х3 -72х4 +8х5 =0
1) 8х3 = -72х4 + 8х5
х3 = - 9х4 + х5
2) 9х2 + 45х4 - 5х5 + 9х4+5х5 = 0
9х2 + 36х4 = 0
х2= — 4х4
3) х1 +12х4 — 18х4 + 2<sub/>х5 — 5х4 -2х5 = 0
х1 — 11х4 = 0<sub/>
х1 =11х4
Общее решение системы :
х1 =11х4
х2= — 4х4
х3 = - 9х4 + х5
Найдём фундаментальную систему решений, положив х4 =1, х5 = 0.
х1 =11*1 = 11,
х2= — 4*1 = -4,
х3 = - 9*1 + 0 = -9.
Пусть х4 = 0, х5 = 1.
х1 =11*0 = 0,
х2= — 4*0 = 0,
/>х3 = - 9*0 + 1 = 1.
Ответ : (11;-4;-9;1;0)
(0; 0; 1; 0; 1).
9 (3СА). Найдите площадьпараллелограмма, построенного на векторах а = 2р + 3r, b = p –2r, | p | = √2, | r | = 3, (p,^r) = 45° .
Решение:
S =| [а, b] | = | [2р + 3r, p –2r] | = | 2[p, p] — 4[p, r ] + 3[r, p] -6[r, r] |
[p, p] = 0, [r, r] = 0, [r, p] = — [p, r ] .
S = | 7[r, p] | =7| r | * | p | * sinφ
S = 7 * 3 * √2 * sin45° = 21 * √2 * √2 / 2 =21 .
Ответ :S =21 .
10 (78Т). Вычислите ПрBD[BC ,CD], если B(6,3,3); C(6,4,2); D(4,1,4).
Решение :
Найдём координаты векторов
BD = ( 4 – 6, 1 – 3, 4 – 3 ) = ( — 2; — 2; 1 ),
BC = ( 6 – 6, 4 – 3, 2 – 3 ) = ( 0;1; — 1 ),
CD = ( 4 – 6, 1 – 4, 4 – 2 ) = ( — 2; — 3; 2 ).
Найдём векторное произведение :
/> i j k
[BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = — i + 2j + 2k.
-2 -3 2
Пусть [BC ,CD] = а, тогда а= ( -1; 2; 2 )
ПрBD а = ( BD, a ) /| BD |
( BD, a ) =-2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .
ПрBD<sub/>а = 0 .
Ответ: ПрBD<sub/>а = 0 .
11. Линейный оператор А действует в R3 → R3 по закону Ax = (- х1 + 2х2+ x3, 5х2, 3х1 + 2х2 +х3 ), где х( х1, х2, х3 ) –произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническомбазисе. Докажите, что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А.(Т56). Найдите собственное число λ0 ,<sub/>соответствующеевектору х. (Д25.РП). Найдите другие собственные числа, отличные от λ0. Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.
Решение :
Ax = (- х1 + 2х2+ x3; 5х2; 3х1 + 2х2 +х3 )
Найдём матрицу в базисе l1, l2, l3
A l1 = (-1; 2 ;1)
A l2 = (0; 5; 0)
A l3 = (3; 2; 1)
/> -1 2 1
A = 0 5 0
3 2 1 .
Докажем, что вектор х = (1 ,0 ,3)является собственным для матрицы А.
Имеем
/>/>/>/>/> -1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1
Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0
3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .
Отсюда следует, что вектор х = (1 ,0,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .
Составляем характеристическоеуравнение :
/> -1 – λ 2 1
0 5 – λ 0 = 0
3 2 1 – λ
(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 –λ) – 3) = 0
5 – λ = 0 или λ2 –1 – 3 = 0
λ2= 4
λ<sup/>= ±2
λ1 = 2, λ2= -2, λ3 = 5 .
Запишемсистему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числуλ = -2./> х1 + 2х2 + х3 = 0 х2 = 0
7х2 = 0
3х1 + 2х2 + 3х3 = 0
/> х1 + х3 = 0 х1 = -х3
3х1 + 3х3 = 0
Пусть х3 = 1, тогда х1= -1, имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) .
/>/>/>/>/>Проверка :
-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1
A = 0 5 0 * 0 = 0 +0 + 0 = 0 = -2 * 0
3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1
Следовательно, х1 = (-1 ;0;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.
Найдёмсобственный вектор для λ = 5/>-6х1 + 2х2 + х3 =0
3х1 + 2х2 — 4х3 = 0
-9х1 + 5х3 = 0
х1 = 5/9 х3
-6*(5/9 х3) + 2х2 + х3 = 0
-10/3 х3 + х3 +2х2 = 0
2х2 = 7/3 х3
х2 = 7/6 х3 .
Пусть х3 = 18, тогда х1= 10, х2 = 21 .
Вектор х2 = (10 ;21 ;18)собственный вектор .
/>/>/>/>/>Проверка
-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10
A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21
3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 .
Следовательно, х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ= 5 .Ответ: матрица в каноническом базисе: -1, 2, 1: 0, 5, 0: 3, 2, 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный иотвечает собственному числу λ = 2, х1 = (-1 ;0 ;1) собственныйвектор и отвечает собственному числу λ = -2, х2 = (10 ;21 ;18)собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .
12(Д01.РП).Составьтеобщее уравнение прямой, проходящей через точку М(1,4) параллельно прямой 2х +3y + 5 = 0.Решение :
Найдём угловой коэффициент прямой 2х+ 3y + 5 = 0.
3y = -2x –5
y = -2/3 x – 5/3
κ = -2/3
Так как исходная прямая параллельнаданной, то её угловой коэффициент равен κ = -2/3 .
Уравнение прямой имеющей угловойкоэффициент κ и проходящей через точку М(х0,y0) записывается в виде
y – y0 = κ(x – x0).
Имеем
y – 4 = -2/3 (x – 1)
3y – 12 = -2x + 2
2х + 3y — 14 = 0.
Ответ: 2х + 3y — 14 = 0 – уравнениеискомой прямой .
13(3А2.РП).Найдите координатыпроекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0.
Решение :
Пусть N – проекция точки М на данную прямую .
Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y – 10 = 0 равен κ1 = -1/2,тогда угловой коэффициент прямой MN равен κ2 = 2 .
Тогда уравнение MN имеет вид y – y0= 2(x – x0).
Для определения координат точки N решим систему уравнений
/> х + 2y – 10 = 0
y – y0= 2(x – x0) , x0= 3 , y0 = 6 .
/>/> х + 2y – 10 = 0 2х + 4y – 20 = 0
y – 6<sub/>= 2(x – 3) -2х + y = 0
4y = 20
y = 4
2х = y
х = ½ y
х = ½ * 4 = 2
х = 2 .
/> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />Ответ: координаты проекции точкиМ(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0 N(2,4).
14(103.БЛ). Запишите общее уравнениеплоскости, походящей через три заданные точки M1(-6,1,-5), M2(7,-2,-1), M3(10,-7,1) .
Решение :
Уравнение плоскости, проходящейчерез 3 точки имеет вид
/> x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0
x3-x1 y3-y1 z3-z1
/> x-6 y-1 z+5
7+6 -2-1 -1+5 = 0
10+6 -7-1 1-5
/> x-6 y-1 z+5
13 -3 4 = 0
16 -8 -4
/>/>/>(x –6)* -3 4 - (y – 1)* 13 4 + (z + 5)* 13 -3 = (x –6)*(12+32) – (y – 1)*(-52-64)+
-8 -4 16 -4 16 -8
+ (z + 5)*(-104+48) = 0
(x –6)*44 — (y – 1)*(-116)+ (z + 5)*(-56) = 0
11*(x –6) + 29*(y – 1) –14*(z + 5) = 0
11x – 66 + 29y – 29– 14z – 70 = 0
11x + 29y – 14z – 165 = 0 .
Ответ: общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z –165 = 0 .
15.Дана кривая 4x2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 .
8.1.Докажите, что эта кривая –гипербола .
8.2 (325.Б7).Найдите координаты еёцентра симметрии.
8.3 (Д06.РП).Найдите действительную имнимую полуоси .
8.4 (267.БЛ). Запишите уравнениефокальной оси .
8.5. Постройте данную гиперболу .
Решение :
Выделим полные квадраты
4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2– 4y + 4) + 4 + 28 = 0
4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 =0
4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4
((x – 3)2/1) – ((y –2)2/4) = 1
Положим x1 = x – 3, y1 = y – 2, тогда x12/1 – y12/4 =1 .
Данная кривая является гиперболой .
Определим её центр
x1 = x – 3 = 0 , x = 3
y1 = y – 2= 0 , y = 2
(3; 2) — центр .
Действительная полуось a =1 .
Мнимая полуось b =2 .
Уравнение асимптот гиперболы
y1 = ± b/a x1
(y – 2) = (± 2/1)*(x – 3)
y –2 = 2x – 6 и y – 2 = -2(x – 8)
2x – y – 4= 0 2x + 2y – 8 = 0
x + y – 4 = 0 .
Определим фокусы гиперболы
F1(-c; 0) , F2(c; 0)
c2 = a2 + b2 ; c2 = 1 +4 = 5
c = ±√5
F1(-√5;0) , F2(√5; 0).
F1′(3 — √5;2), F2′ (3 + √5; 2).
Уравнение F1′ F2′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2); y = 2
/> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />Ответ: (3; 2) , действительнаяполуось a =1, мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2); y = 2 .
16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15= 0.
16.1.Докажите, что эта кривая –гипербола .
16.2(058.РП). Найдите координаты еёвершины .
16.3(2П9). Найдите значения еёпараметра p .
16.4(289.РП). Запишите уравнение еёоси симметрии .
16.5.Постройте данную параболу .
Решение :
Выделим полный квадрат при переменнойy
(y2 + 6y + 9)+ 6x + 6 = 0
(y + 3)2 = — 6(x + 1).
Положим y1 = y + 3, x1 = x + 1.
Получим
y12 = ±6x1 .
Это уравнение параболы вида y2 = 2px, где p = -3.
Данная кривая является гиперболой .
Так как p<0, то ветви параболы в отрицательную сторону.Координаты вершины параболы y + 3= 0 x + 1 = 0
y = -3 x = -1
(-1; -3) – вершина параболы .
Уравнение оси симметрии y = -3.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> <td/> <td/> <td/> /> <td/> /> /> /> />/> /> /> /> /> /> /> />
Ответ: (-1; -3) – вершина параболы, p = -3, уравнение оси симметрии y = -3 .