Реферат: Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні

Наукова робота на тему:

Визначення та обчислення довжини дуги плоскої кривої в декартових таполярних координатах. Площа поверхні

План

Довжина дугикривої в декартових і полярних координатах

Площа поверхні

Площа поверхніобертання

Площациліндричної поверхні

Довжинадуги

Це питаннядля кривої, заданої рівнянням />, вже розглядалося в раніш. Там була знайдена формула

/> (10.9)

Якщо кривазадана параметрично, тобто у вигляді

/> то

/> (10.10)

Дляпросторової кривої, що задана параметрично

/>,

довжина дугиобчислюється за формулою

/> (10.11)

аналогічноформулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги,кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ єхордою елемента дуги.

У випадкузадання кривої в полярній системі координат

/> ,

Матимемо

/> (10.12)

Пропонуєтьсявивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатахможна записати як параметричні з параметром q :

/> />

івикориставши формулу (10.10).

Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданоїрівнянням

Розв‘язок.Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо

/>

Площаповерхні

Площаповерхні обертання

Довжина дуги,що обмежує смужку зверху (рис.10.9),

/>

Ця дуга вразі обертання утворить поверхню обертання, Тоді площа поверхні цього конусанескінченно малої висоти

Нескінченномалою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо

/> 

Звідки

/> (10.7)

Площациліндричної поверхні

На рис. 10.10зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі. Нехай ця поверхнязадана рівняннями

/> 

/>

Рис.10.9 Рис.10.10

Виділившисмужку так, як показано на рис. 10.10, знайдемо її площу

/>

 /> (10.8)

Зауваження1.При одержанні формул (10.1) – (10.2),(10.4) – (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис.10.1, 10.4,10.5), сектором з центральним кутом (рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що невплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюютьсянехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було бстрого довести.

Приклад. Еліпс із великою піввіссю /> імалою піввіссю /> робитьодин оберт навколо великої осі і вдруге – навколо малої осі. Визначити поверхнюобертання еліпса в кожному з двох випадків.

Розв‘язок.Досить розглянути лише половину еліпса:

/>

В результатіобертання навколо великої осі одержимо за (11.7)

/>

/>

де — ексцентриситет еліпса.

За допомогоюпідстановки />матимемо

/>

У випадкуобертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл

/>

/>/>

В обохвипадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.