Реферат: Метод хорд

МЕТОДХОРД

Методхорд — один зпоширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійногоінтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

Нехайзадано рівняння

/>,

де/> на відрізку /> має неперервні похідніпершого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і/>, тобто корінь /> рівняння відокремлений на /> .

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дугакривої /> замінюється хордою і абсциса точкиперетину хорди з віссю /> є наближеним значенням кореня.

/> />

а                                                       б

/> />

в                                                       г

рис.1

Нехай для визначеності/>,/>, />, /> (рис. 1, а). Візьмемо за початкове наближенняшуканого кореня /> значення />. Через точки /> і /> проведемохорду і за першенаближеннякореня /> візьмемо абсцису /> точки перетину хорди звіссю />. Тепер наближене значення /> кореня можна уточнити,якщо застосувати метод хорд до відрізка />.Абсциса /> точки перетину хорди /> буде другим наближеннямкореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність /> наближених значень кореня /> даного рівняння.

Для виведення формули методу хорд запишемо рівняння прямої,що проходить через точки /> і />:

/>.

Поклавши/>, знайдемо абсцису точкиперетину хорди /> з віссю

/>: />.

Значення /> можнавзяти за наступне наближення, тобто

/>, тобто/> =0,1,2,

У цьому разі і тоді, коли />,/>, />, /> (рис. 1, б) кінець /> відрізка /> є нерухомим.

Якщо />, />, />, /> (рис. 1, в), або />, />, />, /> (рис. 1, г), аналогічноможна записати формулу:

/>, тобто/> =0,1,2,… .

У цьому випадку точка /> єнерухомим кінцем відрізка />.

Узагальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якомузнак функції /> збігається із знакомдругої похідної, а за початкове наближення /> можнавзяти точку відрізка />, в якій />.

Отже,метод хорд можна записати так:

/>, тобто/> =0,1,2,               (1)

де/>

Зформули (1) видно, що метод хорд є методом ітерацій />,в якому

/>                                   (2)

Зауважимо,що рівняння />

навідрізку /> рівносильне рівнянню />.

Достатніумови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку /> функція/> неперервна разом із своїмипохідними до другого порядку включно, причому />,а похідні /> і /> зберігають сталі знаки на />, тоді існує такий окілкореня /> рівняння />, що для будь-якогопочаткового наближення /> з цього околу послідовність />, обчислена за формулою (1),збігатиметься до кореня />.

Доведення. Для доведення теореми досить показати, що вдеякому околі /> кореня /> похідна /> функції (2) задовольняєумову /> для будь-яких />.

Обчислимо

/>.

Поклавши /> іврахувавши, що />, маємо

/>.                               (3)

Запишемо для /> в околі точки /> формулу Тейлора іззалишковим членом у формі Лагранжа:

/>,

де />/> лежить між /> і />.

Поклавши в ній/>, дістанемо

/>, (4)

Із формули (3), враховуючи (4), знаходимо />.

Оскільки /> і /> — неперервні на /> , то і /> буде неперервною на /> функцією, тому />.

Звідси і з неперервності /> випливає,що на відрізку /> існує окіл /> точки /> такий, що /> для будь-якого />. Тоді з теореми продостатні умови методу ітерацій (Нехай рівняння /> маєкорінь /> і в деякому околі />/> цьогокореня функція /> задовольняєумову Ліпшиця />, де/>; тоді для будь-якого /> послідовність /> , обчислена за формулою />, /> збігається до кореня />, причому швидкістьзбіжності характеризується нерівністю />)випливає, що послідовність {/>}, обчисленаза формулою (1), збігається до кореня />,якщо початкове наближення />. Теоремудоведено.

Виведемоформулу, яка дає можливість оцінити абсолютну похибку наближення /> через два послідовні наближення/> і/>.

Нехай/>— неперервна і зберігає на /> сталий знак, причому

/>, де />, />.

Зформули

/> 

дістаємо/>.

Звідси,враховуючи, що />,

маємо/>.

Застосувавшитеорему Лагранжа, дістанемо

/>,

де/> лежить між точками /> і />, а /> — між /> і />. Далі запишемо:

/> або />

Оскільки/> зберігає на /> сталий знак, то />.

Тому                                     />                  (5)

Якщона відрізку /> справедлива нерівність />, то із (5) випливаєоцінка: />.

Отже,корінь /> рівняння /> буде знайдено методом хордіз наперед заданою точністю />, якщодля двох послідовних наближень /> і /> справджуватиметьсянерівність

/>.

 

Приклад 1. Відокремити корені рівняння /> аналітичноі уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.

Розв’язання.       Маємо функцію

 />.

Похідна

/>; />.

Складемотаблицю знаків функції />:

/>

/>

-1

/>

/>

- - + +

Рівняннямає один дійсний корінь, що лежить на проміжку />

Щобуточнити корінь, знаходимо другу похідну />;на проміжку /> виконується нерівність />.

Дляобчислень використаємо формулу

/>, де />.

Результатиобчислень розміщуємо в таблиці.

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

 

1

2

3

4

-0,882

-0,943

-0,946

-0,946

-0,6861

-0,8386

-0,8466

0,7779

0,8892

0,8949

0,1556

0,1778

0,1790

-0,441

-0,4715

-0,473

1,5

0,2173

0,0121

0,0014

1,7

0,4173

0,2121

0,2014

1

0,118

0,057

0,054

-0,118

-0,057

-0,054

-0,054

 

Відповідь./>

Приклад 2. Відокремити корені рівняння /> графічно і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.

Розв’язання.

/>Відокремимо корінь графічно. Побудуємо графіки функції /> і /> (рис.2), склавши таблицю значень цих функцій:

/>

0,2 0,4 0,6 0,8 1

/>

0,04 0,16 0,36 0,64 1

/>

0,11 0,22 0,33 0,44 0,55

/>

0,1 0,21 0,33 0,46 0,60 0,76

рис.2

Таким чином, додатний корінь рівняння знаходиться на проміжку />. Щоб уточнити корінь методом хорд, визначимо знаки функції /> на кінцях відрізка /> і знак її другої похідної на цьому відрізку: />; />,

/>; />,

при />.

Для обчислень застосуємо формулу

/>, де />; />.

Розрахунки зручно розмістити в таблиці:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

0,6 0,2 0,43 0,4586 0,36 0,0986 -0,1392 -0,142 1 0,742 0,058 0,5081 0,5570 0,5506 0,0064 -0,0470 -0,008 2 0,750 0,50 0,5125 05627 0,5625 0,0002 -0,0408 -0,0002 3 0,7502 0,0498 0,5126 0,5628 0,5628

Відповідь: />

Задачі для самостійного розв’язування.