Реферат: Нахождение пределов функций

Контрольнаяработа по дисциплине «Математика»

длястудентов заочного отделения

1. Найти пределы функций:

а)      />=; /> =

= /> = /> =

= /> = /> = /> = 0;

б)      />= /> =

/> =

/> =

/> = /> = /> =.6290;

в)      />= /> =

/> = /> = /> = 0;

г)       />= />= />= /> =

= ln /> = />= ln e*/>= 1*56/3 = 18.667;

д)      />; /> = /> =

= />= />;/>;

е)       />= /> = /> =

= /> = /> + /> =

= /> - /> = /> — /> =

= /> = 2.

2. Найти производные /> функций:

а)      />= /> =

= />;

б)      />= /> = /> = />;

в)      />= /> =

= /> =

= /> =

= />;

г)       />=/>=

= /> =

= /> = />;

д)      />= />;

е)       />; />;

/>;/>

ж)      />;/>; />;

/>; />;/>; />;/>;

з)       />./>= />=

= />= />;

3. С помощью методовдифференциального исчисления построить график функции

/>.

1 Знаменательположительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точкуразрыва. /> отсюдаIхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.

2. Функция нечетная,следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х).Периодической функция не является.

3. Поскольку областьопределения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.

4. Найдем асимптоты при /> в виде у =kх+b. Имеем:

k =/>/>/>

b = />/>/>

Таким образом при /> асимптотойслужит прямая ОХ оси координат.

Найдем левый и правыйпределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7

/>/>/>=-1,19,

/>/>/> />.

В точке (-7:-1,19) первыйразрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.

5. Найдем точкипересечения с осями координат:

Точка (0:3,86) с осью ОУ.

6. Исследуем навозрастание и убывание:

/>/> =

/>./>/>0;

Это говорит о том чтофункция возрастающая.

Строим график:

/>

4. Найти интегралы приm=3, n=4:

а)/>= />/>

= />:

б)/>= />=/>пусть t = arcsin4x,

/> получим />= />= />.

в)/>= />/>

= />;

/>=/>=/>.

Решаем равенство иполучим:

/>;

аналогично второеслагаемое

/>/>3/>-/>получим />= />

подставим все в последнееравенство

… = />+ />+9/>/>+/>-/>+С.

г)/>.= />= />=

= />=/>=

/> = ….избавившись

от знаменателя получим

B+C+A=0; 25B=332;-625A=625; 25=25(B-C);

Т.е.: A=1; B= 13.28;C=-12.28;

…= /> = =/>= 2,527766.

5. Вычислить интегралыили установить их расходимость при m=3, n=4:

а) /> = />…

пусть t = arctg(x/4),тогда /> и /> подставим иполучим

… = />;

б)/>= />/>

= />/>0,6880057.

6. Построитьсхематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: />, при m=3,n=4.

/>/>

/> />х = -1,5, у = -18,25.

точки пересечения с осьюОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба –D(-1,5:-18,25)

/> или />

Точки пересечения двухфункций:

/>= /> и /> т.е.: /> и />.

Площадь получиться извыражения

/>/>= />= 49,679.

График выглядит:

/>

7. Найти частныепроизводные /> функцийпри m=3, n=4:

а)/>=/>,

/>,

/>,

/>

б)/>. />;

/>;

/>

/>

8. Найти дифференциал/>функции: /> при m=3, n=4.

/>

9. Для функции /> в точке /> найти градиенти производную по направлению /> при m=3, n=4.

/> в точке А(-4,3)

/>

/>

grad(z) =(-0,1429:0,1875);

/>=grad(z)* (/>)*cos/>=…

cos/>

10. Найти наибольшее инаименьшее значения функции при m=3, n=4

/> 

в области, заданнойнеравенствами:

/>.

/>

D=AC-B;

A=/>

B=/>

C=/>

D=AC-B=(/>)(/>) — />;

/>

/>

/>/>

/>/>

найдем

/>; />

Получим четыре точки: 1)(2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).

A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11> 0;

/>= -114,74 < 0 – нет экстремумафункции,

/>= 45097,12 > 0 – min функции />= 12,279;

/>= 1767.38 > 0 — min функции />= 65,94;

/>= -160,296 < 0 – нет экстремумафункции.

11. Изменить порядокинтегрирования при m=3, n=4:

/>.

/> = />, так как />/>/>

подставляя x = 0 x = 4 впоследние уравнения получим

/>/>.

/>

12. Сделать чертеж инайти объем тела, ограниченного поверхностями />, /> и плоскостью, проходящей черезточки />, /> и />.

А)/>см. рис.

/> 

— получим уравнениеплоскости, через которую проходят точки А, В и С.

/>7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=

23x-812+116z-45y=0

Получим пределыинтегрирования:

Для z – от 0 доz=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигурыразбиваем пополам).

/>= />=

=/>= />=

=232,109 куб.ед.,

13. Вычислить при m=3,n=4 />, где/>, />, а контур />образованлиниями />, />, />.

а) непосредственно;

б) по формулам Грина.

/>,

P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) =3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.

/>= />=

= />=

= />=

= />=

= />=

= />=

= />=32,4060912,

где пределыинтегрирования были получены:

/> и у = 9, то /> откуда х = />2,52.

14. Даны поле /> и пирамида свершинами />,/>, />,/>. Найти при m=3, n=4:

/>

O(0:0:0), A(3:0:0),B(0:4:0), C(0:0:7).

а) поток поля /> через грань />пирамиды внаправлении нормали, составляющей острый угол с осью />;

/>=

= />=

=/>=

=/>=

=/>=…

после подстановки ипреобразования однородных членов получим:

… = 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.

поток поля

/>= 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z^2+118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.

б) поток поля /> через внешнююповерхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;

в) циркуляцию поля /> вдользамкнутого контура />;

с помощью теоремы Стока(обход контура происходит в положительном направлении относительно внешнейнормали к поверхности пирамиды).

rot(F) = />,

в нашем случае />

/>

15. Найти первообразные ивычислить значение определенного интеграла:

/>= />.