Реферат: Теория вероятности и математическая статистика

Московскийавиационный институт

(техническийуниверситет)

Курсоваяработа

 

Дисциплина: Теориявероятности и математическая статистика

Выполнил

студент группы Р 2/1

Истелюев Батырбек.

Ахтубинск-2004


Задания

1.  Проверить выполнение теоремы Бернуллина примере электрической схемы.

2.  Методом дискретных случайных величинсмоделировать случайную величину, имеющую закон распределения Пуассона.Заполнить массив из 300 точек.

3.  Критерием Колмогорова проверить, чтоданный массив имеет соответствующий закон распределения.


Краткая теория

 

В теории вероятностичасто встречается такой характер приближения одних величин к другим, и для егоописания введен специальный термин: «сходимость по вероятности».

Говорят, что величина Xn сходится по вероятности к величинеа, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства │Xn–a│<e сувеличением неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можносказать, что при увеличении числа опытов частота события не стремится квероятности события, а сходится к ней по вероятности. Это свойство составляетсодержание теоремы Бернулли.

Например, при бросаниимонеты 10 раз теоретически возможно, что все 10 раз появится герб, т.е частотапоявлений будет равна 1; при 1000 бросаниях такое событие возможно, ноприобретает меньшую вероятность; при еще большом количестве бросанийвероятность становится на столько мала, что это событие можно считатьпрактически неосуществимым.

Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов,частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.

Теорема Я. Бернуллиутверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но приизменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема,устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта,называется теоремой Пуассона.

Закон Пуассона.

Рассмотрим случайнуювеличину Х, которая может принимать целые, неотрицательные значения: 0,1,2,…,m,…

Говорят, что эта СВ Храспределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она приметопределенное значение m,выражается формулой:

Pm=(am/m!)*e-a (m=0,1,2…), a –некоторая положительная величина называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения СВ Х,распределенный по закону Пуассона, имеет вид:

xm 1 2 … m … pm e-a (a/1!)*e-a (a2/2!)*e-a … (am/m!)*e-a …

Математическое ожиданиеданного распределения случайной величины равно параметру закона Пуассона а: mx=a; Дисперсия также равна этому параметру: Dx=a. Таким образом дисперсия случайной величины, распределеннойпо закону Пуассона равна ее математическому ожиданию и равна параметру а.

Это свойство применяетсяна практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайнаявеличина Х, распределена по закону Пуассона, для этого определяют из опытастатистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию. Если ихзначения близки, то гипотеза является правдоподобной.

Дискетной называется случайнаявеличина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е.между двумя возможными соседними значениями нет возможных значений), которыеэта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами,возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Числовозможных значений дискретной случайной величины может быть конечным илибесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называютсчетным).

Законом распределенияназывают перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Критерий А.Н.Колмогорова.

В качестве мерырасхождения между теоретическим и статистическим распределениями Колмогороврассматривает максимальное значение модуля разности между статистическойфункцией распределения F* (x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x):

D=max│F*(x)–F(x)│.

Основанием для выбора вкачестве расхождения величины Dявляется простота ее вычисления. Вместе с тем она имеет достаточно простойзакон распределения. Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функцияраспределения F(x) непрерывной случайной величины X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюденийn вероятность неравенства

D√n≥ λ стремится к пределу P(λ)=1–∑k=-∞∞(-1)k e-2∙k^(2)∙λ^(2) значения Р(λ) можно найти потаблице, зная λ.


Задание №1

Проверить выполнениетеоремы Бернулли на примере электрической схемы:

 

/>

Пусть вероятность того,что каждый элемент данной схемы не выйдет из строя, равна:

Р1=0,6; Р2=0,4;Р3=0,5; Р4=0,7; Р5=0,3; Р6=0,8.

Программа, полученнаяв среде PASCAL:

Program Shema;

Uses CRT;

Vara:array[1..6] of integer;

p,x:array[1..6]of real;

m,n,i,j,c:integer;

R,S,B:real;

BEGIN

CLRSCR;

p[1]:=0.6;p[2]:=0.4;p[3]:=0.5;p[4]:=0.7;p[5]:=0.3;p[6]:=0.8;

n:=1000;

c:=0;

whilen<=25000 do begin

m:=0;

for i:=1 to ndo begin

for j:=1 to 6do begin

x[j]:=random;

ifx[j]<p[j] then a[j]:=1 else a[j]:=0;

end;

ifa[1]*(a[2]+a[3]+a[4])*(a[5]+a[6])>=1 then m:=m+1;

end;

R:=m/n;

writeln('кол-во опытов=',n:5,' P=',R:5:3);

S:=S+R;

n:=n+1000;

inc(c);

end;

S:=S/c;

writeln;

writeln('Вероятностьбезотказной работы=', s:4:5);

writeln;

B:=p[1]*(1-(1-p[2])*(1-p[3])*(1-p[4]))*(1-(1-p[5])*(1-p[6]));

writeln('Вероятностьработы(2-ой способ) =', B:4:5);

readln;

END.

Результаты работы:

 

кол-во опытов= 1000 P=0.476

кол-во опытов= 2000 P=0.480

кол-во опытов= 3000 P=0.474

кол-во опытов= 4000 P=0.463

кол-во опытов= 5000 P=0.476

кол-во опытов= 6000 P=0.470

кол-во опытов= 7000 P=0.467

кол-во опытов= 8000 P=0.463

кол-во опытов= 9000 P=0.473

кол-во опытов=10000 P=0.476

кол-во опытов=11000 P=0.468

кол-во опытов=12000 P=0.466

кол-во опытов=13000 P=0.462

кол-во опытов=14000 P=0.472

кол-во опытов=15000 P=0.473

кол-во опытов=16000 P=0.464

кол-во опытов=17000 P=0.469

кол-во опытов=18000 P=0.474

кол-во опытов=19000 P=0.471

кол-во опытов=20000 P=0.472

кол-во опытов=21000 P=0.467

кол-во опытов=22000 P=0.464

кол-во опытов=23000 P=0.468

кол-во опытов=24000 P=0.466

кол-во опытов=25000 P=0.469

Вероятность безотказнойработы=0.46972

Вероятность работы(2-ойспособ) =0.46956

Вывод: по результатам видно, что вероятностьбезотказной работы цепи, при большом количестве опытов, сходится к общейвероятности безотказной работы этой цепи, значит, частота событий при большомчисле опытов приближается к вероятности этого события, о чем говорит теоремаБернулли.


Задание №2

Смоделировать массивиз 300 дискретных случайных величин, имеющий закон распределения Пуассона.

 

Программа:

ProgramPuasson;

Uses CRT;

Const a=5;d=15; n=300;k=d+1;

Vari,j,w:word;sums,ran:real;

xmin,xmax,mx,Dx,Rx,Sx,Ex,Sk,h:real;

s,al:array[0..d]of real;

x:array[1..n]of byte;

functionPwr(x,p:real):real;

Begin

randomize;

if x>0 thenpwr:=exp(p*ln(x))

else pwr:=0;

end;

functionfact(x:word):real;

var i:word;

f:real;

Begin

f:=1

if x>0 thenfor i:=1 to x do f:=f*i;

fact:=f;

end;

Functionf(m:word):real;

begin

if m>=0then f:=pwr(a,m)*exp(-a)/fact(m)

else f:=0;

end;

begin

sums:=0;

for i:=1 to ddo begin

s[i]:=f(i);sums:=sums+s[i];

end;

for i:=0 to ddo begin al[i]:=0;

for j:=0 to ido al[i]:=al[i]+s[j]/sums;

end;

for w:=1 to ndo begin

ran:=random;

for i:=0 to ddo begin

ifal[i]>ran then begin

x[w]:=i;break;

end;

end;

end;

writeln;

writeln('Массив, полученный по законураспределения Пуассона:');

writeln;

mx:=0;

for i:=1 to ndo begin

write(x[i]:2,'');

mx:=mx+x[i]/n;

end;

Dx:=0;

Sk:=0;

xmin:=x[1];

xmax:=xmin;

for i:=1 to ndo begin

Dx:=Dx+sqr(x[i]-mx)/(n-1);

ifxmin>x[i] then xmin:=x[i];

ifxmax<x[i] then xmax:=x[i];

end;

SX:=sqrt(Dx);

writeln;

Rx:=d;

h:=Rx/k;

Ex:=-3;

for i:=1 to ndo begin

Sk:=Sk+((x[i]-mx)*(x[i]-mx)*(x[i]-mx))/(sqr(dx)*sqr(dx)*sqr(dx));

Ex:=Ex+((x[i]-mx)*(x[i]-mx)*(x[i]-mx)*(x[i]-mx))/(sqr(dx)*sqr(dx)*sqr(dx)*sqr(dx))

end;

writeln('Интервал значений случайнойвеличины:',xmin:0:3,'-',Xmax:0:3);

writeln('математическое ожидание=',mx:0:3);

writeln('Дисперсия=',Dx:0:3);

writeln('Среднее квадротическоеотклонение=',Sx:0:3);

writeln('Скошенность=',Sk:0:3);

writeln('Эксцесс=',Ex:0:3);

readln;

END.

Результат работы:

Массив, полученный позакону распределения Пуассона:

2 4 5 3 8 5 5 6 5 4 3 1 68 7 2 8 8 7 3

8 4 4 1 5 4 2 4 3 4 1 5 74 6 3 3 7 4 7

6 5 4 7 2 7 4 10 5 4 4 7 65 4 3 4 5 7 5

2 2 3 11 7 7 6 8 4 5 8 7 93 6 5 3 3 6 5

7 6 2 5 1 2 6 6 4 2 13 6 55 2 3 9 3 7 7

2 7 6 4 3 4 1 7 6 4 5 4 44 5 2 5 4 3 6

3 4 4 5 7 4 4 7 6 3 8 5 75 4 3 4 5 6 9

2 4 8 6 8 7 6 3 5 9 2 4 81 7 1 4 6 6 7

2 2 3 3 3 4 3 3 1 6 7 4 82 3 7 5 5 6 4

6 4 9 10 4 6 4 7 4 7 3 2 36 9 3 4 5 6 10

5 10 7 9 5 3 4 7 6 5 7 2 37 6 4 5 10 3 6

7 10 3 7 5 5 5 7 7 4 5 2 52 9 2 5 8 4 4

5 7 5 6 5 5 4 1 3 5 5 6 93 5 3 5 2 13 7

7 5 1 5 3 9 7 5 3 5 5 8 74 10 5 5 8 7 8

7 3 4 7 8 4 2 7 7 2 3 4 67 4 7 4 5 7 2

Интервал значенийслучайной величины:1.000-13.000

математическоеожидание=5.093

Дисперсия=4.941

Среднее квадротическоеотклонение=2.223

Скошенность=0.104

Эксцесс=-2.934

 

Задание №3:

Критерием Колмогоровапроверить, что данный массив, полученный во втором задание, имеетсоответствующий закон распределения.

Статистическая обработкаполученного массива.

По полученному массивупостроим таблицу:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M 10 26 39 53 54 33 48 17 10 7 1 2

где, M – количество точек.

еще рефераты
Еще работы по математике