Реферат: Теория вероятности и математическая статистика

Московскийавиационный институт

/государственныйуниверситет/

Филиал «Взлет»

Курсовая работа

Теория вероятности иматематическая статистика

Содержание

Задание №1: Проверкатеоремы Бернулли на примере моделирования электросхемы

Задание №2: Смоделируемслучайную величину, имеющую закон распределения модуля случайной величины,распределенной по нормальному закону

Задание №3: Проверкакритерием Х2: имеет ли данный массив соответствующий законраспределения

Список используемойлитературы

Задание №1:Проверка теоремыБернулли на примере моделирования электросхемы

Теорема Я.Бернулли: приувеличении количества опытов, частота появлений событий сходится по вероятностик вероятности этого события.

Планпроверки: Составить электросхему из последовательно и параллельно соединенных 7элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6< pi < 0.9.Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в Turbo Pascal, при помощи которой мыбудем проводить опыты, учитывая, что надежность каждого из элементов в пределахот 0.6 до 0.9. Высчитывать частоту безотказной работы схемы. Для этого мывводим надежность каждого из элементов. Программа будет увеличивать числоопытов от 1000 до 20000 через 1000 проверяя сколько из этих опытов окажутсяуспешными, т.е. схема работает, для этого проверяется условие когда x[i]<P[i] то присваиваем этомуэлементу логическую 1 т.е. элемент работает, а если условие не выполняется тоэлемент не работает, всё это проделывается для каждого из 7 элементов для этогоданное условие задаётся при помощи цикла. Далее получаем количество успешныхопытов и делим на количество проведённых получая при этом частоту безотказнойработы данной схемы.

Схема:

Электрическая цепь,используемая для проверки теоремы Бернулли

Расчет:

Чтобыдоказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частотыпоявления события в серии опытов в математическом моделировании равнялосьзначению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.

Математическоемоделирование с помощью Turbo Pascal.

ProgramTVMS_kursov_1;

UsesCRT;

Vari,b,k,d,op,n:Integer;

ch:Real;

P,x:Array[1..10] of Real;

a:Array[1..30] of Integer;

Begin

ClrScr;

Randomize;

For i:=1 to 7 do

begin

Write(' Введите надёжности элементов P[',i,']=');

ReadLn(P[i]);

End;

WriteLn;

WriteLn('Число опытов ','Число благоприятных исходов ','Частота');

For op:=1 to20 do

begin

n:=op*1000;

d:=0;

For k:=1 to n do

begin

For i:=1 to 7 do

begin

x[i]:=Random;

If x[i]<P[i] then a[i]:=1 else a[i]:=0;

End;

b:=((a[3]+a[4]+a[5]*a[6]*a[7])*a[1]*a[2]);

if b>=1 then d:=d+1;

End;

ch:=d/n;

WriteLn;

Write(' ':3,n:5,' ':20,d:5,' ':15,ch:5:4);

End;

WriteLn;

ReadLn;

End.

Результатработы программы.

Введитенадёжности элементов P[1]=0.7

Введитенадёжности элементов P[2]=0.9

Введитенадёжности элементов P[3]=0.8

Введитенадёжности элементов P[4]=0.6

Введитенадёжности элементов P[5]=0.9

Введитенадёжности элементов P[6]=0.7

Введитенадёжности элементов P[7]=0.8

Таблица

Числоопытов Числоблагоприятныхисходов Частота

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

20000

618

1225

1808

2478

3022

3592

4182

4847

5432

6070

6643

7252

7876

8574

9030

9769

10281

11006

11520

11997

0.6180

0.6125

0.6027

0.6195

0.6044

0.5987

0.5974

0.6059

0.6036

0.6070

0.6039

0.6043

0.6058

0.6124

0.6020

0.6106

0.6048

0.6114

0.6063

0.5998

Теоретическийрасчёт вероятности работы цепи:

I способ:

IIспособ:

/>/>

Из математическогомоделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данногособытия />.

Распределение модуля случайной величины, распределенной понормальному закону

Пусть СВ Y подчиняется закону нормального распределения. Пусть по темили иным причинам представляет интерес величина отклонения Y от нуля независимо отзнака этого отклонения, т. е. СВ

X=|Y|

которая образует распределение модуля СВ, подчиненной нормальномузакону.

Математическое выражение. Распределение модуля СВ определяетсятеми же двумя параметрами, которые характеризуют исходное нормальноераспределение.

Плотность вероятности равна

где x0, σн — математическое ожидание и среднееквадратическое отклонение исходного нормального распределения;

φ(t) — функция, определяемая равенством (5.12).

Функция распределения равна

где Ф0(t) — функция, определяемая равенством (5.19).

График плотности вероятности приведен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическоеотклонение СВ Х определяются равенствами:

Вид распределения модуля случайной величины, распределенной понормальному закону, зависит от соотношения между x0и σн(рис. 5.2).

Для определения медианы нужно решить уравнение

а для определения моды — уравнение

Второе уравнение при x0> σн, а первое при любых x0и σнрешаются численными или графическими методами. При x0<σн модаравна нулю.

Формулы (5.33) и (5.34) можно выразить через срединное отклонение Енисходного нормального распределения, заменив в них σн на Ен,φ(t)на φ^(t), Ф0(t) на Ф^0(t). Функции φ^(t) и Ф^0(t) определяютсяравенствами (5.13) и (5.21).

Вычисление: Расчеты по формулам (5.33) — (5.37) производятся спомощью табл. II и III. Если расчетчик предпочитает выражение исходногонормального распределения через срединное отклонение, то используются табл. IVи V.

Задание №2:Смоделируем случайнуювеличину, имеющую закон распределения модуля случайной величины, распределеннойпо нормальному закону

Программа в Turbo Pascal:

PROGRAM Kursov_2;

Uses Graph,Crt;

Var mi:array[1..100] of integer;

hi,pix,hn,hr,xi:array[1..200] ofreal;

m,i,l,j,n,a,b:integer;

mx,Dx,Gx,Sk,Ex,fx,xl,Dxs,Gxs,Sks,Exs:real;

xmin,xmax,pod,c,c1,c2,x,v:real;

st:string;

{---------------Генерирование числовыхпоследовательностей-----------}

BEGIN

Randomize;

ClrScr;

Write(' Введите количество элементов последовательности: ' );

ReadLn(n);

a:=-3; b:=6;

WriteLn;

WriteLn(' Исходная последовательность с нормальным ');

WriteLn(' законом распределения на интервале [-3;6]:');

mx:=(a+b)/2;

Dx:=30/12;

for i:=1 to n do

begin

v:=0;

for j:=1 to 30 do

begin

x:=Random;

v:=v+x;

end;

v:=(v-15)/Sqrt(Dx)*1.5+mx;

hn[i]:=v;

Write(hn[i]:10:2);

end;

WriteLn;

ReadLn; ClrScr;

{-------------Минимальное и максимальное значениядиапазона----------}

xmin:=hn[1]; xmax:=hn[1];

for i:=1 to n do

begin

if hn[i]>xmax then

xmax:=hn[i];

if hn[i]<xmin then

xmin:=hn[i];

end;

WriteLn;

WriteLn(' Максимальное значение:',xmax:6:2);

WriteLn(' Минимальное значение: ',xmin:6:2);

ReadLn; ClrScr;

{--Генерирование модyля CB с нормальным законом распределения--}

a:=0; b:=6;

WriteLn(' последовательность модyля CB с нормальным ');

WriteLn(' законом распределения:');

WriteLn;

for i:=1 to n do

begin

hr[i]:=abs(hn[i]);

Write(hr[i]:10:2);

end;

WriteLn;

ReadLn; ClrScr;

{-------------Минимальное и максимальное значениядиапазона----------}

xmin:=hr[1]; xmax:=hr[1];

for i:=1 to n do

begin

if hr[i]>xmax then

xmax:=hr[i];

if hr[i]<xmin then

xmin:=hr[i];

end;

WriteLn;

WriteLn(' Максимальное значение:',xmax:6:2);

WriteLn(' Минимальное значение: ',xmin:6:2);

ReadLn; ClrScr;

{------------------------Разбивка наинтервалы-----------------------}

m:=b-a;

c:=(xmax-xmin)/m;

c1:=xmin; c2:=c+xmin;

for i:=1 to m do

begin

xi[i]:=(c1+c2)/2;

mi[i]:=0; l:=1;

repeat

if (hn[l]<=c2) and (hn[l]>=c1)then

mi[i]:=mi[i]+1;

l:=l+1;

until l=n+1;

c1:=c2;

c2:=c2+c;

end;

GotoXY(1,8);

WriteLn('Kоличество чисел Чacтoтa пoпaдaния Bыcoтa cтoлбикa гиcтoгpaммы');

WriteLn;

for i:=1 to m do

begin

pix[i]:=mi[i]/n;

hi[i]:=pix[i]/c;

WriteLn(i,': ',mi[i]:6,pix[i]:20:3,hi[i]:22:3);

end;

ReadLn; ClrScr;

{----------------------Числовые характеристики-----------------------}

xl:=0;

for i:=1 to m do

xl:=xl+xi[i]*pix[i];

Dxs:=0;

for i:=1 to m do

Dxs:=Dxs+sqr(xi[i]-xl)*pix[i];

Gxs:=sqrt(Dxs); Sks:=0; Exs:=0;

for i:=1 to m do

begin

pod:=xi[i]-xl;

Sks:=Sks+pod*pod*pod*pix[i]/(Gxs*Gxs*Gxs);

Exs:=Exs+pod*pod*pod*pod*pix[i]/(Gxs*Gxs*Gxs*Gxs);

end;

Exs:=Exs-3;

GotoXY(10,1);

WriteLn(' Числовые характеристики:');

GotoXY(10,5);

WriteLn('Среднестатистическое значение xl= ',xl:6:3);

GotoXY(10,8);

WriteLn('Статистическая дисперсия Dxs= ',Dxs:6:3);

GotoXY(10,11);

WriteLn('Среднестатистическое отклонение Gxs= ',Gxs:6:3);

GotoXY(10,14);

WriteLn('Скошенность Sks=',Sks:6:3);

GotoXY(10,17);

WriteLn('Островершинность Exs=',Exs:6:3);

ReadLn;

END.

Результатработы программы:

Введитеколичество элементов последовательности: 300

Исходнаяпоследовательность с нормальным

законом распределения наинтервале [-3;6]:

2.79 1.48 -0.18 2.84 -0.51 1.90 0.83 0.84

-1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 -1.24 -0.49

2.14 -0.16 -2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

-0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

-1.14 0.77 1.68 -0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 -0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 -0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 -0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

-0.53 -0.03 0.78 -0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 -0.49 2.06 0.64 2.29

-0.02 3.78 3.66 1.13 1.46 4.10 2.95 1.94

0.31 2.14 1.84 -0.40 0.84 1.89 1.88 3.47

2.51 -0.50 1.05 2.15 2.54 1.27 1.61 0.32

2.33 4.57 2.84 4.60 1.74 0.81 -1.28 -0.98

-1.84 -0.64 2.18 2.20 1.01 2.29 0.35 1.35

3.48 3.82 -0.07 1.14 1.99 -0.52 4.42 -0.34

1.43 -0.90 1.96 -1.30 -0.26 1.04 3.47 3.58

-0.95 1.68 -0.60 4.30 -0.96 1.19 1.94 1.23

0.76 1.84 0.05 0.69 1.18 1.68 1.04 1.07

2.87 1.66 0.96 2.88 4.11 0.49 0.82 1.71

-0.67 0.06 -0.98 3.26 2.56 1.49 3.09 1.43

1.77 2.30 2.44 2.06 3.33 0.26 0.19 4.09

2.69 -0.69 3.35 1.78 3.56 4.19 0.71 1.15

1.10 0.03 1.67 3.50 -1.51 3.16 0.18 -1.62

0.81 3.05 3.31 3.25 4.32 0.02 -2.65 0.79

0.07 1.51 1.30 2.49 -1.45 2.18 -0.03 3.27

1.21 -1.62 2.49 0.72 3.60 0.83 -0.67 2.11

3.15 1.83 3.02 0.27 0.61 6.20 -1.20 0.76

-1.34 0.68 -0.22 1.73 0.67 1.17 0.69 0.51

2.01 3.43 0.05 0.25 1.35 2.10 -0.29 -0.35

-0.22 2.33 1.67 2.72 3.85 0.15 1.16 2.09

2.14 1.93 -1.11 2.30 -1.10 1.21 2.00 -0.48

0.34 0.25 2.35 1.31 0.11 3.29 3.36 2.78

1.91 4.10 2.28 0.89 3.27 3.25 3.06 0.25

3.25 -0.28 0.80 0.17 0.69 2.63 2.36 3.52

Максимальноезначение: 6.20

Минимальноезначение: -2.65

Последовательностьмодуля CB с нормальным

закономраспределения

2.79 1.48 0.18 2.84 0.51 1.90 0.83 0.84

1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 1.24 0.49

2.14 0.16 2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

1.14 0.77 1.68 0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

0.53 0.03 0.78 0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 0.49 2.06 0.64 2.29

0.02 3.78 3.66 1.13 1.46 4.10 2.95 1.94

0.31 2.14 1.84 0.40 0.84 1.89 1.88 3.47

2.51 0.50 1.05 2.15 2.54 1.27 1.61 0.32

2.33 4.57 2.84 4.60 1.74 0.81 1.28 0.98

1.84 0.64 2.18 2.20 1.01 2.29 0.35 1.35

3.48 3.82 0.07 1.14 1.99 0.52 4.42 0.34

1.43 0.90 1.96 1.30 0.26 1.04 3.47 3.58

0.95 1.68 0.60 4.30 0.96 1.19 1.94 1.23

0.76 1.84 0.05 0.69 1.18 1.68 1.04 1.07

2.87 1.66 0.96 2.88 4.11 0.49 0.82 1.71

0.67 0.06 0.98 3.26 2.56 1.49 3.09 1.43

1.77 2.30 2.44 2.06 3.33 0.26 0.19 4.09

2.69 0.69 3.35 1.78 3.56 4.19 0.71 1.15

2.79 1.48 0.18 2.84 0.51 1.90 0.83 0.84

1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 1.24 0.49

2.14 0.16 2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

1.14 0.77 1.68 0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

0.53 0.03 0.78 0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 0.49 2.06 0.64 2.29

0.02 3.78 3.66 1.13

Максимальноезначение: 5.84

Минимальноезначение: 0.02

№ Kоличество чисел Чacтoтa пoпaдaния Bыcoтa cтoлбикa гиcтoгpaммы

0.237

0.270

0.197

0.117

0.053

0.007

0.244

0.278

0.203

0.120

0.055

0.007

/> /> /> /> />

Числовые характеристики:

Среднестатистическоезначение xl=1.664

Статистическаядисперсия Dxs=1.291

СреднестатистическоеотклонениеGxs=1.136

СкошенностьSks=1.193

ОстровершинностьExs= 0.449

Задание №3:Проверка критерием Х2:имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Гистограмма исглаживающая функция

r=k-3=6-3=3,/>

Вывод: Нетоснований принять гипотезу о распределении модуля случайной величины,распределенной по нормальному закону, так как

Список используемойлитературы

1. «Теория вероятностей»В.С. Вентцель

2. «Теория вероятностей(Задачи и Упражнения)» В.С. Вентцель, Л.А. Овчаров

3. «Справочник повероятностным расчётам»

4. «Теория вероятностей иматематическая статистика» В.Е. Гмурман

5. «Руководство к решениюзадач по теории вероятностей и математической статистике» В.Е. Гмурман

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Теория вероятности и математическая статистика

31 Августа 2013

Реферат по математике

Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

20 Июня 2015

Реферат по математике

Теория и методика обучения математике

20 Июня 2015

Реферат по математике

Теория игр. Корпоративные игры

20 Июня 2015