Реферат: Теория вероятности

Контрольная работа

по дисциплине: Теория вероятностей

2009г.

Контрольная работа № 1

Вариант 1.

Задача № 1.

Условие:

Из 10изделий, среди которых 4 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, чтосреди них одно бракованное.

Решение:

Число Nвсех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из10 деталей вынуть три, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 3:

/>

По условиюзадачи из трех извлеченных изделий одно бракованное, а два годные. Такимобразом mA:

/>

Найдемвероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажетсябракованной:

/>

Ответ:вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей однаокажется бракованной равна 0,5

Задача № 2

Условие:

Известнывероятности независимых событий А, В иС:

 

Р (А) = 0,5;Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6.

Определитьвероятность того, что а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) произойдетне более 2 событий.

Решение:

а) Для тогочтобы найти вероятность того, что произойдет хотя бы 1 событие, найдем вероятностьтого, что ни одно событие не произойдет (обозначим эту вероятностьP0).Так как события независимы по условию, вероятность P0равнапроизведению вероятностей того, что не произойдет каждое отдельное событие.

Такимобразом, вероятность того, что не произойдет:

событие А:А0 = 1 — 0,5 = 0,5

событие В:В0 = 1 — 0,4 = 0,6

событие С:С0 = 1 — 0,6 — 0,4

Воспользуемсяправилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что ни одно событиене произойдет:

P0=А0*В0*С0 =<sub/>0,5*0,6*0,4 =0,12

Ситуация,при которой не произойдет ни одно событие, и ситуация, при которой произойдетхотя бы одно событие, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этихсобытий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяетуравнению:

 

P + P0= 1, откуда следует, что

P = 1 — P0= 1 — 0,12 = 0,88.

б) Для того,чтобы найти вероятность того, что произойдет не более 2 событий, найдемвероятность того, что произойдут все три события, и обозначим как Р1:

 

Р1= А*В*С = 0,5*0,4,*0,6 = 0,12

Ситуация, прикоторой произойдут все 3 события, и ситуация, при которой произойдет не более 2событий (от 0 до 2), составляют полную систему событий. Сумма вероятностей этихсобытий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяетуравнению:

 

P + Р1= 1, откуда следует, что

P = 1 — Р1 = 1 — 0,12 = 0,88.

 

Ответ:

а) вероятностьтого, что произойдет по крайней мере одно событие, равна 0,88

б) вероятностьтого, что произойдет не более двух событий, равна 0,88

Задача № 3

Условие:

Вероятностипопадания в цель: первого стрелка — 0,6; второго — 0,7; третьего — 0,8. Найтивероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всехтрех.

Решение:

Для тогочтобы найти вероятность попадания в цель хотя бы 1 стрелка, найдем вероятностьтого, что ни один из стрелков не попадет в цель (обозначим эту вероятностьчерез P0). Так как попадания различных стрелков в цельследует считать независимыми событиями, вероятность P0равнапроизведению вероятностей того, что промажет каждый из стрелков.

Событие,состоящее в том, что некоторый стрелок попадет в цель, и событие, состоящее втом, что он промажет, составляют полную систему событий. Сумма вероятностейдвух этих событии равна единице.

Такимобразом, вероятность того, что

А) промажет1 стрелок равна: 1 — 0,6 = 0,4

Б) промажет2 стрелок равна: 1 — 0,7 = 0,3

В) промажет3 стрелок равна: 1 — 0,8 = 0,2

Воспользуемсяправилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что промажут всетрое стрелков:

 

P0=0,4*0,3*0,2 = 0,024

Событие,состоящее в том, что не попадет в цель ни один из стрелков, и событие,состоящее в том, что попадет хотя бы один, образуют полную систему событий. Суммавероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность Pудовлетворяет уравнению:

 

P + P0= 1, откуда следует, что

P = 1 — P0= 1 — 0,024 = 0,976

 

Ответ:вероятность попадания в цель хотя бы одного стрелка при одновременномвыстреле всех трех равна 0,976 (или 97,6%)

Задача № 4

Условие:

Известно,что 80% продукции стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартнуюпродукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найтивероятность того, что признанное годным изделие — стандартно.

Решение:

1) Найдемвероятность того, что стандартная продукция будет признана годной:

Р1 = 0,8*0,9= 0,72 (72% продукции)

2) Найдемвероятность того, что нестандартная продукция будет признана годной:

Р2 = 0,2*0,3= 0,06 (6% продукции)

3) Такимобразом, упрощенный контроль признает годной Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукции)

4) Найдемвероятность того, что признанное годным изделие — стандартно:

0,8*0,82 =0,656

 

Ответ:вероятность того, что признанное годным изделие — стандартно, равна0,656.

Задача № 5

Условие:

Имеется 4радиолокатора. Вероятность обнаружить цель для первого — 0,86; для второго — 0,9; для третьего — 0,92; для четвертого — 0,95. Включен один из них. Каковавероятность обнаружить цель?

Решение:

Обозначимчерез А событие — цель обнаружена, а возможные события (гипотезы) обнаруженияцели 1-м, 2-м, 3-м или 4-м локаторами — через, соответственно, В1, В2,В3 и В4.

По условиюзадачи включен один из четырех локаторов, следовательно, вероятностьобнаружения цели:

Р (В1)= Р (В2) = Р (В3) = Р (В4) = 1\4.

Соответствующиеусловные вероятности (по условию задачи) обнаружения цели равны:

Р (A|В1) = 0,86; Р (A|В2)= 0,9; Р (A|В3) = 0,92; Р (A|В4)= 0,95.

Такимобразом, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность обнаруженияцели равна:

/>

 

Ответ:вероятность обнаружения цели равна 0,9075

Контрольная работа № 2

Вариант 1.

Задача № 1.

Условие:

Известнавероятность события А: р (А) = 0,3. Дискретная случайная величина x — число появлений А в трех опытах. Построитьряд распределения случайной величины x;найти ее математическое ожидание mxи дисперсию Dx.

Решение:

1) Вычислимвероятности р (хi) по формулеБернулли:

/>, где, р = 0,3; q = 1 — р = 0,7; n= 3; х = x.

Такимобразом, получим ряд распределения случайной величины x:

Значения x 1 2 3

Вероятности р (хi)

0,343 0,441 0,189 0,027

Графическиряд распределения случайной величины xвыглядит следующим образом:

/>

 

2) Найдемматематическое ожидание mx:

Математическиможиданием mx дискретной случайной величины />называется суммапарных произведений всех возможных значений случайной величины насоответствующие им вероятности, т.е.

/>

3) Найдемдисперсию Dx:

Дисперсией Dxдискретной случайной величины />называется математическоеожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания,т.е.:

/>

 

Ответ:

Рядраспределения случайной величины x:

Значения x 1 2 3

Вероятности р (хi)

0,343 0,441 0,189 0,027

математическоеожидание mx = 0,9;

дисперсияDx= 0,63

Задача № 2

Условие:

Распределениедискретной случайной величины xсодержит неизвестные значения х1 и х2 (х1 <х2):

xi

х1

х2

рi

0,4 0,6

Известнычисловые характеристики случайной величины: Мx = 3,6; Dx = 0,24. Требуется определить значениях1 и х2.

Решение:

Поскольку

/>, 0,4х1 + 0,6х2= 3,6

/>

Для того,чтобы найти х1 и х2, необходимо решить систему уравнений:

/>

Выразим изпервого уравнения х1 и подставим во второе:

/>/>/>

Решаемвторое уравнение:

/>

Умножим всюстроку на 5:

/>

Умножим всюстроку на 2:

/>

Разделим на3:

/>

Учитываяусловие х1 < х2, получаем, что подходит только 1вариант.

Ответ:х1 = 3, х2 = 4

Задача № 3

Условие

Плотностьвероятности непрерывной случайной величины xзадана следующим выражением:

/>

если 0 < x <1, при других х

Найтипостоянную С, функцию распределения F (x), математическое ожидание Мx и дисперсию Dx случайной величины x.

Решение:

Свойствоплотности распределения:

/>, />

Получаем,что С = 3.

/>, />/>

Математическоеожидание:

/>

Дисперсия:

/>

 

Ответ:С = 3, М = ¾, D = 3/80

Задача № 4.

Условие:

Случайнаявеличина x имеет нормальноераспределение с математическим ожиданием a = 56и среднеквадратичным отклонением s = 8.Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятностьпопадания в который равна Р = 0,95

Решение:

Поскольку,по условию задачи, случайная величина xимеет нормальное распределение, а также известна вероятность Р = 0,95, тоявляется возможным использование правила трех сигм, а именно данной его части:

/>

Подставивимеющиеся по условию задачи данные, получим следующий интервал, симметричныйотносительно математического ожидания:/>.

Ответ:/>.

Задача № 5.

Условие:

Известнораспределение системы двух дискретных величин (x,h).

x

h

1 2 3 4 0,16 0,12 0,14 0,08 1 0,08 0,10 0,09 0,08 2 0,06 0,04 0,03 0,02

Определитьчастные, условные (при x = 1, h = 0) распределения и числовыехарактеристики системы случайных величин mx, Dx, mh, Dh, Kx,h,rx,h; а также найти вероятность попаданиядвумерной случайной величины (x, h) в область

/>.

 

Решение:

Частноераспределение для x получаетсясуммированием вероятностей в столбцах:

Р (x = 1) = Р (x= 1, h = 0) + Р (x = 1, h= 1) + Р (x = 1, h = 2) = 0,16 + 0,08 + 0,06 = 0,3

Р (x = 2) = Р (x= 2, h = 0) + Р (x = 2, h= 1) + Р (x = 2, h = 2) = 0,12 + 0,10 + 0,04 = 0,26

Р (x = 3) = Р (x= 3, h = 0) + Р (x = 3, h= 1) + Р (x = 3, h = 2) = 0,14 + 0,09 + 0,03 = 0,26

Р (x = 4) = Р (x= 4, h = 0) + Р (x = 4, h= 1) + Р (x = 4, h = 2) = 0,08 + 0,08 + 0,02 = 0,18

Частноераспределение для h получаетсясуммированием вероятностей в строках:

Р (h = 0) = Р (h= 0, x = 1) + Р (h = 0, x= 2) + Р (h = 0, x = 3) + Р (h= 0, x = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08= 0,5

Р (h = 1) = Р (h= 1, x = 1) + Р (h = 1, x= 2) + Р (h = 1, x = 3) + Р (h= 1, x = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08= 0,35

Р (h = 2) = Р (h= 2, x = 1) + Р (h = 2, x= 2) + Р (h = 2, x = 3) + Р (h= 2, x = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02= 0,15

Полученныеданные можно представить в виде таблицы:

x

h

1 2 3 4 0,16 0,12 0,14 0,08 0,5 1 0,08 0,10 0,09 0,08 0,35 3 0,06 0,04 0,03 0,02 0,15 0,3 0,26 0,26 0,18

Вычислимматематическое ожидание mx:

/>

Вычислимматематическое ожидание mh:

/>

Вычислимдисперсию Dx:

/>

Вычислимдисперсию Dh:

/>

Условное распределениеx/h=0:

x 1 2 3 4

/>

/>

/>

/>

/>

Условноераспределение h/x=1:

x 1 3

/>

/>

/>

/>

/>

Вычислимковариацию Kx,h:

/>

Вычислимкоэффициент корреляции rx,h:

/>

Вероятностьпопадания двумерной случайной величины (x,h) в область:

/> - эллипс.

x

h

1 2 3 4 0,16 0,12 0,14 0,08 1 0,08 0,10 0,09 0,08 2 0,06 0,04 0,03 0,02

Кнеобходимому условию подходят только точки (1; 0) и (2;)

/>

 

Ответ:mx= 2,32, Dx= 1,1776, mh= 0,80, Dh=1,06, Kx,h = — 0,056, rx,h= — 0,0501.

Вероятность попаданиядвумерной случайной величины (x, h) в область:

/> = 0,028 (2,8%).