Реферат: Теория вероятности
Содержание
Введение
1. Вероятность как событие
2. Вероятность и информация
3. Аксиомы теории вероятности
Заключение
Список литературы
Введение
Каждый эксперимент заканчивается каким-то определенным результатом,который не всегда возможно заранее предугадать. Для того, чтобы формальноописать некоторый эксперимент, нужно указать все возможные варианты результатов,которыми этот эксперимент может закончиться. В теории вероятностей такиерезультаты называются исходами. Множество W всех возможных исходов эксперимента называется пространствомэлементарных исходов. Предполагается, что эксперимент может закончиться одними только одним элементарным исходом. В наиболее простом случае все эти исходыможно перечислить:
W = íw1, w2,… wný, или W=íw1,w2, ...ý.
Такое пространство элементарных исходов называется дискретным.
Простейшим пространством элементарных исходов является такое пространство,в котором все указанные исходы рассматриваемого эксперимента:
1) равновозможны;
2) взаимно несовместны (т.е. в результате эксперимента может произойти одини только один из указанных исходов),
3) все исходы образуют полную группу событий (т.е. никакие другие исходы,кроме перечисленных, не могут произойти).
Такое пространство конечно и называется пространством равновозможныхисходов (или симметричным пространством).
ПРИМЕР 1. При бросании симметричной монеты возможны два исхода –выпадение решки или герба. Они удовлетворяют всем трем указанным выше условиями потому в этом случае пространство элементарных исходов представляется так(здесь буквами Р и Г обозначены решка и герб соответственно):
/>
ПРИМЕР 2. При одновременном бросании двух монет исходы представляютсобой упорядоченные пары, состоящих из символов Р и Г. Первый элемент этой пары– результат, выпавший на первой монете, второй элемент – результат на второймонете. Очевидно, что таких пар – четыре:
/>
ПРИМЕР 3. В случае бросания игральной кости может выпасть любое изчисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных исходов />
ПРИМЕР 4. При одновременном бросании двух игральных костей элементарныеисходы представляют собой пары (x, y),где x – число очков, выпавшее на первой кости, а y – число очков на второй кости. Всего таких пар – 36:
/>
1. Вероятность каксобытие
В дискретном пространстве вероятность каждого элементарного исходасчитается заданной и обозначается Р(wi), или просто рi, причем всегда
1) рi ³0
2) /> (или/>),
3)
т.е. сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарныхисходов равна единице. Элементарные исходы мы называем элементарнымсобытием.
Событием /> называется любоеподмножество, состоящее из элементарных исходов пространства элементарныхсобытий W. Говорят, что «событие Апроизошло», если эксперимент закончился одним из элементарных исходов wiÎА.
Вероятностью события А называется сумма вероятностей всех элементарныхисходов, входящих в А, то есть Р(А)=/>. Из этого определения вероятностисобытия следует, что всегда 0 £Р(А) £ 1.
В случае равновозможных исходов вероятность элементарного события Аопределяется формулой
/>,
где /> –число элементов во множестве W, котороеобычно называется «общее число исходов», а /> – число элементов во множестве A, называемое «числом благоприятствующих исходов».
Событие `А, состоящееиз всех элементарных исходов, не входящих в А, называется противоположнымсобытием к событию А. Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно что Р(А) + Р(`А) = 1. Это равенство используется длявычисления вероятности события А в случае, когда вероятность противоположногособытия известна или легко может быть найдена, тогда Р(А) = 1 — Р(`А).
Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важноопределить, в чем состоит эксперимент, правильно построить соответствующеепространство элементарных событий W и выделитьв нем требуемое событие A. Затем, используя методыкомбинаторики, подсчитать число элементов в Wи A.
Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?
Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие3 фрукта.
Решение. Так как порядок здесь безразличен, будем считать выборкинеупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число элементарныхисходов /> равночислу способов выбрать 3 элемента из 9, т.е. числу сочетаний n=/>. Числоблагоприятных исходов m=/>будет равно числу способов выборатрех апельсинов из имеющихся 5, т.е. числу сочетаний трех элементов из 5, т.е. />. Тогдавероятность
/>.
Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задуматьлюбое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа иззаданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманычисла совпадут.
Решение. Подсчитаем сначала общее количество исходов. Элементарнымиисходами будем считать упорядоченные совокупности задуманных чисел: N1, N2, N3, где N1 — число,задуманное первым студентом, N2 — вторым и N3 — третьим Первый из них выбирает одно из 10чисел — 10 возможностей, второй делает то же самое — 10 возможностей, наконец,выбор третьего также 10 возможностей. Согласно основной теоремы комбинаторикиобщее число способов будет равно:
n= N1´N2´N3=103= 1000 элементарных исходов.
Подсчет количества благоприятных исходов более сложен. Заметим, чтосовпадение задуманных чисел может произойти у любой пары студентов (или дажеодновременно у всех троих). Чтобы не разбирать отдельно все эти случаи, удобноперейти к противоположному событию, т.е. подсчитать количество тех случаев,когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них по-прежнему имеет10 способов выбора числа. Второй студент теперь имеет лишь 9 возможностей(поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число не совпало сзадуманным числом первого студента N2 ¹ N1. Третий студент еще более ограничен в выборе —у него всего 8 возможностей (из 10 возможных для N3исключаются два числа: N3 ¹ N1, N3 ¹ N2). Поэтому общее число комбинаций задуманныхчисел, в которых нет совпадений, равно в силу той же основной теоремы m=10 × 9 × 8 = 720. Остальные случаи 1000 — 720= 280 характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно,искомая вероятность совпадения равна Р=280/1000= 0,28.
Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифрысовпадают, а остальные различны.
Решение. Событие А={8-значное число содержит 4 одинаковые цифры}.Из условия задачи следует, что в числе 5 различных цифр, одна из нихповторяется — число способов её выбора — любая из 10 цифр, и эта цифра занимаетлюбые 4 места в числе – число способов />. Оставшиеся 4 места занимают различныецифры из неиспользованных 9, и так как число зависит от порядка расположенияцифр, то число способов выбора четырех цифр равно />. Тогда число благоприятствующихисходов />.Всего же способов составления 8-значных чисел равно |W|=108. Искомая вероятность равна />.
Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найтивероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.
Решение. Рассмотрим обратное событие />, состоящее в том, что в каждую из5 фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились два человека, а востальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей />. Авсего способов распределить 6 клиентов по 5 фирмам />. Отсюда/>,следовательно />.
Задача 5. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых»и 20 «несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. Укого больше вероятность вытащить «счастливый» билет: у того, кто подошелпервым, или у того, кто подошел вторым?
Решение. Пусть «счастливые» билеты имеют номера 1,2,3,4,5. Обозначимчерез i1 номер билета, взятого первымстудентом, через i2 — номер билета, взятоговторым студентом, тогда элементарным исходом будет пара />, а пространствоэлементарных исходов
/>
здесь все элементарные исходы равновероятны. Событие А={первый студентвзял «счастливый» билет} имеет вид
/>
а событие В={второй студент взял «счастливый» билет} имеет вид:
/>
Каждое из событий А и В содержит /> элементов, а все пространство W содержит />элементов. Следовательно,Р(А)=Р(В)=1/5.
2. Вероятность иинформацияРассмотрим n-мерное вещественное пространство />. Пусть вкакую-то ограниченную область /> наудачу бросили точку. Слово«наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области /> «равновозможны». В этомслучае вероятность попадания этой точки в какую-то подобласть /> определяется формулой
/>
где /> и/> – n-мерные объемы областей /> и /> соответственно. Здесьэлементарными исходами называются точки множества /> (которое играет роль пространстваэлементарных исходов), а благоприятствующими исходами – точки множества />.
Задача 6.Точку наудачу бросили на отрезок />.Какова вероятность попадания этой точки на интервал />?
Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок />,а множество благоприятствующих исходов />, при этомдлины этих интервалов равны /> и/>. Поэтому вероятностьпопадания брошенной точки в указанный интервал равна />.
Задача 7.На отрезок /> бросили наудачуи поочередно две точки. Какова вероятность, что первая точка лежит правеевторой точки?
Решение. Обозначим получившиеся координаты точек через x и y. Элементарным исходом в такомбросании двух точек будет пара />, а пространством элементарныхисходов – квадрат />. Событие A={перваяточка лежит правее второй точки} равносильно условию x>y, следовательно,
/>,т.е. представляет собой треугольник (см. рисунок). Площади квадрата итреугольника равны соответственно /> и />, а потому вероятность />.
3. Аксиомы теориивероятностиСуммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В), заключающееся в том, чтопроизойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либоА и В одновременно).
Произведением (или пересечением)двух событий А и В называетсясобытие АÇВ (АВ), состоящее водновременном появлении и события А и события В.
Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теоремасложения)
/>.
События А1, А2,..., Ак образуют полнуюгруппу событий, если в результате испытания непременно произойдет одно изних, т.е. />.
События А и В называются несовместными (непересекающимися), еслиони не могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачудве пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одногоцвета} можно представить в виде суммы />, где события /> и /> означают выборку пуговицкрасного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красныепуговицы равна/>, а вероятность вытащить две синиепуговицы />.Так как события />и />не могут произойти одновременно,то в силу теоремы сложения
/>
Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемуюусловную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В)обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
/>
Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двухсобытий (теорема умножения)
/>.
Формула умножения для трех событий:
/>.
Задача 2.В семье – двое детей. Какова вероятность, чтостарший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={всемье есть дети обоего пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождениедевочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, арождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит изчетырех пар: />. В этом пространстве лишь дваисхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старшийребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этомусобытию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
/>
Задача 3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берети проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Каковавероятность, что он проверит ровно две детали.
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает,что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая –стандартная. Значит, />, где />={ первая деталь оказаласьнестандартной } и />={вторая деталь – стандартная}.Очевидно, что вероятность />кроме того, />(так как перед взятиемвторой детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и7 стандартных). По теореме умножения
/>
Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значениявероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) =Р(А). Аналогично определяется независимость события Bот A.Оказывается, что свойство независимости насамом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимаетболее простой вид:
два события A и B независимы, если справедливо равенство
Р(АВ) = Р(А) ×Р(В).
Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимостипри практической проверке независимости двух событий.
Задача 4.В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другомящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одногоящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одногоящика вынут белый шар} можно представить в виде суммы />, где события /> и /> означают выборку одногобелого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащитьбелый шар из первого ящика равна/>, а вероятность вытащить белый шариз второго ящика />. Кроме того, в силу независимости/> и /> имеем: />. По теоремесложения получаем:
/>.
Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одногоиз событий Hi, i =1,..., n. Предположим, что события Hiнесовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременнопроизойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны… Такие события Hi<sub/>называются гипотезами.Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полнойвероятности:
/>.
Задача 5. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предметуу группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3студента, а третий — 21 студентов (выбор студентов производится случайнымобразом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимсяразличное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны40%, у второго — только 10%, зато у третьего — 70%. Найти вероятность того, чтослабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
Решение. Обозначим через /> – гипотезы, состоящие в том, чтослабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменаторусоответственно. По условию задачи
/>, />, />.
Пусть событие A={слабо подготовившийся студентсдал экзамен}. Тогда снова в силу условия задачи
/>, />, />.
Заключение
В заключении подведем основные итоги работы.
Итак, в работе были рассмотрены вероятность как событие, классическаявероятностная модель, аксиомы теории вероятности.
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями,например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральнойкости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков — от одного до шести).
Результат (исход) испытания называется событием. Событиями являются:выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или промах, появлениетого или иного числа очков на брошенной игральной кости.
Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайногособытия? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторымчислом?
Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов —результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислитьвсе события, которые могут быть исходами данного испытания.
Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группусобытий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотябы одно из них.
Определение 2. События U1, U2, ..., U, образующиеполную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называтьэлементарными событиями.
Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию Б, еслинаступление события А влечет за собой наступление события В.
Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А)события А называется отношение m/nчисла элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всехэлементарных событий, т. е. Р(А) = m/n.
Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующиеее свойства.
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и, следовательно,
/>
2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможномусобытию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда
/>
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенноемежду нулем и единицей.
Список литературы
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука,1965.
2. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
3. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математическойстатистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН,2001.
4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2,1984.