Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток

Метод конечных разностей, или методсеток

Рассмотрим линейнуюкраевую задачу

/>  (2.24)

/>   (2.25)

/>,

где />,/>, и/> непрерывнына [a, b].

Разобьем отрезок [ab] на nравных частей длины,или шага

 

/>.

Точки разбиения

 

/>, />

называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b].Значения в узлах искомой функции /> иее производных /> /> обозначимсоответственно через

/>.

Введем обозначения

/>

Заменимпроизводные так называемыми односторонними конечно-разностнымиотношениями:

/>(2.26)

Формулы (2.26)приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точекположим

/>.   (2.27)

Используя формулы(2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при />,(i=1,2,..., n–1)приближенно можно заменить линейной системой уравнений

/> (2.28)


Кроме того, в силуформул (2.27) краевые условия (2.25)дополнительно дают еще два уравнения:

/>. (2.29)

Таким образом, полученалинейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными />,представляющими собой значения искомой функции /> вузлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближеннодифференциальную краевую задачу (2.24),(2.25) обычно называется разностной схемой.Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема(2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальнымметодом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том,что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системыявляется трехдиагональной.

Преобразуем уравнения(2.28):

/>.(2.30)

Введя обозначения

/>

получим

/>,(i=0, 1,..., n-2).(2.31)

Краевые условияпо-прежнему запишем в виде

/>.(2.32)

Метод прогонки состоитв следующем.

Разрешим уравнение(2.31) относительно />:

/>.  (2.33)

Предположим, что спомощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий/>.Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде

/>,   (2.34)

где /> и /> должныбыть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что

/>

Исключая из этихдвух уравнений />,найдем

/>.

Выразим теперь отсюда />:

/> (2.35)

Но, согласно формуле(2.34),

/>    (2.36)

Сравнивая теперь (2.35)и (2.36), найдем, что

/>  (2.37)


Пусть теперь >0,то есть i=1,2,..., n2.Выражая /> поформуле (2.34), получим:

 

/>.

Подставляя это вформулу (2.33), будем иметь

/>.

Разрешая полученноеуравнение относительно/>,находим

/>,или

/>. (2.38)

Отсюда, сравниваяформулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов /> и/> рекуррентныеформулы:

/>   (2.39)

Так как /> и /> ужеопределены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можнопоследовательно определить коэффициенты /> и /> до /> и /> включительно.Эти вычисления называются прямымходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n2и второго краевого условия (2.32) получаем

/>

Разрешая эту системуотносительно/>,будем иметь

/>.   (2.40)

Теперь, используя(2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти />.Это − обратный ход методапрогонки.

Итак, получаемследующую цепочку:

/>   (2.41)

Для простейших краевыхусловий />

формулы для /> и /> упрощаются.Полагая в этом случае />изформул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь

/>

Рассмотренный намиподход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраическихуравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраическойсистемы типа (2.31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, чтоесли краевая задача имеет вид

 

/>

причем р(x)>0,то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическоеотыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопросдает ответ следующая


Теорема

Если />и /> дваждынепрерывно дифференцируемы,то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

/>

равномерно сходится к точному с погрешностью /> при/>

Таким образом, схема(2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьмамала. Это связано с тем, что аппроксимация производной

 

/> 

имеет низкий порядокточности − погрешность этой аппроксимации

/>

Более точную разностнуюсхему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи кконечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами дляпроизводных:

/>,    (2.42)

/>,   (2.43)

i=1,2,..., n.

Погрешность формулы(2.42) выражается так:

/>

то есть формула (2.42)имеет второй порядок точности относительно шага сетки h.Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняянекоторые преобразования, получим следующую систему:

/> (2.44)

Где/>.

Система (2.44) сноватрехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Егоалгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

/>   (2.45)

Затем определяюткоэффициенты /> последующим рекуррентным формулам:

/>  (2.46)

Обратный ход начинаетсяс нахождения />:

/>   (2.47)

После этого находим /> поформулам:

/>, (2.48)

/>.    (2.49)

Относительно схемы(2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при

 

/> и<sub/>/>,

и это решение можетбыть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеетместо

Теорема

Пусть решение граничнойзадачи (2.24),(2.25) единственно инепрерывно дифференцируемо на [ab]до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

/>/>/>

то схема (2.44) будет равномерно сходиться крешению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью />.

Заметим, что условия,приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтомув практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызываетзаметного ухудшения расчетных схем.

еще рефераты
Еще работы по математике