Реферат: Метод конечных разностей или метод сеток
Метод конечных разностей, или методсетокРассмотрим линейнуюкраевую задачу
/> (2.24)
/> (2.25)
/>,
где />,/>, и/> непрерывнына [a, b].
Разобьем отрезок [a, b] на nравных частей длины,или шага
/>.
Точки разбиения
/>, />
называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b].Значения в узлах искомой функции /> иее производных /> /> обозначимсоответственно через
/>.
Введем обозначения
/>
Заменимпроизводные так называемыми односторонними конечно-разностнымиотношениями:
/>(2.26)
Формулы (2.26)приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].
Для граничных точекположим
/>. (2.27)
Используя формулы(2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при />,(i=1,2,..., n–1)приближенно можно заменить линейной системой уравнений
/> (2.28)
Кроме того, в силуформул (2.27) краевые условия (2.25)дополнительно дают еще два уравнения:
/>. (2.29)
Таким образом, полученалинейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными />,представляющими собой значения искомой функции /> вузлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближеннодифференциальную краевую задачу (2.24),(2.25) обычно называется разностной схемой.Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема(2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальнымметодом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том,что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системыявляется трехдиагональной.
Преобразуем уравнения(2.28):
/>.(2.30)
Введя обозначения
/>
получим
/>,(i=0, 1,..., n-2).(2.31)
Краевые условияпо-прежнему запишем в виде
/>.(2.32)
Метод прогонки состоитв следующем.
Разрешим уравнение(2.31) относительно />:
/>. (2.33)
Предположим, что спомощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий/>.Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде
/>, (2.34)
где /> и /> должныбыть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что
/>
Исключая из этихдвух уравнений />,найдем
/>.
Выразим теперь отсюда />:
/> (2.35)
Но, согласно формуле(2.34),
/> (2.36)
Сравнивая теперь (2.35)и (2.36), найдем, что
/> (2.37)
Пусть теперь i >0,то есть i=1,2,..., n–2.Выражая /> поформуле (2.34), получим:
/>.
Подставляя это вформулу (2.33), будем иметь
/>.
Разрешая полученноеуравнение относительно/>,находим
/>,или
/>. (2.38)
Отсюда, сравниваяформулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов /> и/> рекуррентныеформулы:
/> (2.39)
Так как /> и /> ужеопределены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можнопоследовательно определить коэффициенты /> и /> до /> и /> включительно.Эти вычисления называются прямымходом метода прогонки.
Из формулы (2.33) при i=n–2и второго краевого условия (2.32) получаем
/>
Разрешая эту системуотносительно/>,будем иметь
/>. (2.40)
Теперь, используя(2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти />.Это − обратный ход методапрогонки.
Итак, получаемследующую цепочку:
/> (2.41)
Для простейших краевыхусловий />
формулы для /> и /> упрощаются.Полагая в этом случае />изформул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь
/>
Рассмотренный намиподход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраическихуравнений. При этом возникает три вопроса.
1) Существует ли решение алгебраическойсистемы типа (2.31)?
2) Как фактически находить это решение?
3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?
Можно доказать, чтоесли краевая задача имеет вид
/>
причем р(x)>0,то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическоеотыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопросдает ответ следующая
Теорема
Если />и /> дваждынепрерывно дифференцируемы,то разностное решение, соответствующее схеме с заменой
/>
равномерно сходится к точному с погрешностью /> при/>
Таким образом, схема(2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьмамала. Это связано с тем, что аппроксимация производной
/>
имеет низкий порядокточности − погрешность этой аппроксимации
/>
Более точную разностнуюсхему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи кконечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами дляпроизводных:
/>, (2.42)
/>, (2.43)
i=1,2,..., n.
Погрешность формулы(2.42) выражается так:
/>
то есть формула (2.42)имеет второй порядок точности относительно шага сетки h.Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняянекоторые преобразования, получим следующую систему:
/> (2.44)
Где/>.
Система (2.44) сноватрехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Егоалгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты
/> (2.45)
Затем определяюткоэффициенты /> последующим рекуррентным формулам:
/> (2.46)
Обратный ход начинаетсяс нахождения />:
/> (2.47)
После этого находим /> поформулам:
/>, (2.48)
/>. (2.49)
Относительно схемы(2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при
/> и<sub/>/>,
и это решение можетбыть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеетместо
Теорема
Пусть решение граничнойзадачи (2.24),(2.25) единственно инепрерывно дифференцируемо на [a, b]до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия
/>, />, />
то схема (2.44) будет равномерно сходиться крешению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью />.
Заметим, что условия,приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтомув практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызываетзаметного ухудшения расчетных схем.