Реферат: Математические основы теории систем
Задача 1. Элементы теории графовСвязный ориентированный граф G(Х,Г) задан множеством вершин X={x1,x2,…,xn} и отображением Гxi={x|I±k|,x|I±l|},i=1,2,…,n. Здесь i — текущий номер вершины, n-количество вершин графа. Значение индексов n,k и l возьмемиз табл.1 в соответствии с номером варианта. Индексы kи l формируют значения индексов a,b, g… переменной x в отображении Гxi= {xa<sub/>,xb<sub/>,xg,…}.Если значения индексов a,b,g… переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, тоэта переменная не учитывается во множестве Гxi.
Выполнить следующие действия:
а) определить исходный граф иассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным ианалитическим способами;
б) установить центры ипериферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов;
в) выделить в ориентированномграфе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов;
г) описать систему уравнений,соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj
/> i*j при i ³j;
Kij =
1/ (p+1)при i<j.
Найти передачу между вершинами x1<sub/>и xn,используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы,определяемой топологией графа;
Таблица 1
№
варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 K 2 3 4 1 1 1 3 5 2 4 2 3 4 5 6 L 1 1 1 2 3 4 2 1 3 3 1 1 1 1 1№
варианта
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 N 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 K 1 1 1 1 3 2 5 5 2 3 4 5 6 5 3 L 2 3 4 5 2 3 2 3 3 2 3 2 1 3 5Решение:
Множество вершин
X= {x1, x2,x3,x4, x5,x6 }, n= 6 k= 2, l= 1 Гxi={x|I±k|,x|I±l|}.
а) определим исходный граф иассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным ианалитическим способами:
Определим граф аналитическимспособом:
Гx1= { x1, x3,x2};
Гx2= { x4, x1, x3 };
Гx3= { x1, x5, x2,x4};
Гx4= { x2, x6, x3, x5 };
Гx5= { x3,x4,x6};
Гx6= {x4,x5 }.
Ориентированный граф графическимспособом:
/>
Неориентированный графграфическим способом:
/>
Ориентированный граф матричнымспособом:
RG — матрица смежности />
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
1* 1 1x2
1 1 1x3
1 1 1 1x4
1 1 1 1x5
1 1 1x6
1 1AG — матрица инцидентности />
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
v17
v18
v19
x1
1* 1 -1 1 -1x2
-1 1 1 -1 1 -1x3
-1 1 1 -1 -1 1 1 -1x4
-1 1 1 -1 -1 1 1 -1x5
-1 1 1 -1 -1 1x6
-1 1 -1 1Неориентированный граф матричнымспособом:
RD — матрица смежности
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
1* 2 2x2
2 2 2x3
2 2 2 2x4
2 2 2 2x5
2 2 2x6
2 2
AD — матрица инцидентности
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
v13
v14
v15
v16
v17
v18
v19
x1
1* 1 1 1 1x2
1 1 1 1 1 1x3
1 1 1 1 1 1 1 1x4
1 1 1 1 1 1 1 1x5
1 1 1 1 1 1x6
1 1 1 1б) установить центры ипериферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:
/> -матрица отклонений имеет вид:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
1 1 1 2 2 3x2
1 1 1 2 2x3
1 1 1 1 2x4
2 1 1 1 1x5
2 2 1 1 1x6
3 2 2 1 1/> -вектор отклонения
/> =>
х2, х3,х4, х5 — центры графа с наименьшей удаленностью.Радиус ρ (G) = 2.
Периферийными вершинами являютсявершины х1, х6<sub/>с наибольшейудаленностью. Диаметр графа D (G) = 3.
в) выделим в ориентированномграфе два подграфа и найдем объединение, пересечение и разность подграфов.
/>/>
Выделяем два подграфа: G1 и G2
X1 — {x1, x2}, Г1х1 = {x1, x2},Г1х2 = {x1},
X2 — {x1, x2,<sub/>x3}, Г2х1 = {x2}, Г2х2 = {x3}, Г2х3 = {x2}.
Объединение />,
/>,/>, />, />.
G/>
Пересечение
/>,/>,/>, />.
G/>
Разность
/>,
/>, />, />.
G />
г) Считая, что передача междувершинами xi и xj
/> i*j при i ³j;
Kij =
1/ (p+1) при i<j .
Сигнальный граф имеет вид
/>
Система уравнений,соответствующая сигнальному графу имеет вид
x1= x1+2x2 +3x3
x2=/> x1+6 x3+8 x4
x3=/> x1+/> x2+12x4+15x5
x4= />x2+/> x3 +20 x5+24x6
x5= />x3+/> x4 +30x6
x6=/> x4+/>x5
Определить передачу k16по правилу Мезона. ФормулаМезона имеет вид
/>
PS— передача пути,
DS— алгебраическое дополнение,
D — определитель.
/>
Пути из х1 в х6и передаточные функции для каждого из них имеют вид:
/>/>
/>/>
/>/>
/> />
/>/>
/>/>
Контура:
/>;/>
/>;/>;
/>;/>;
/>;/>;
/>;/>;
/>;/>;
/>;/>
/>;/>.
/>;/>.
Пары несоприкасающихся контуров
L1L3, L1L4, L1L5, L1L6, L1L8, L1L9, L1L10, L1L13, L1L14, L1L15, L1L16, L1L17, L1L18;
L2L4, L2L5, L2L6, L2L8, L2L9, L2L10, L2L15, L2L16, L2L17, L2L18;
L3L5, L3L6, L3L10, L3L17, L3L18;
L4L6, L5L7; L5L11, L5L12, L6L7, L6L8, L6L11, L6L12, L6L13, L6L14;
L7L8, L7L10, L7L17, L7L18;
L8L9, L9L10, L10L11, L10L12, L11L17, L11L18, L12L17, L12L18.
Независимые тройки
L1L3L5,<sub/>L1L3L6,<sub/>L1L3L10,<sub/>L1L3L17,<sub/>L1L3L18,<sub/>L1L4L6,<sub/>L1L6L8,<sub/>L1L6L13,<sub/>L1L6L14,<sub/>L1L8L9,L1L9L10,<sub/>L2L4L6,<sub/>L2L9L10,<sub/>L6L7L8.
Отсюда
D= 1 — (L1 +L2 +L3+L4 +L5 + L6+L7 +L8 +L9+L10 +L11 +L12+
+L13+L14+L15 +L16+L17 +L18)+(L1L3+L1L4+L1L5+L1L6+L1L8+L1L9+L1L10+L1L13+L1L14+L1L15+L1L16+L1L17+L1L18+L2L4+L2L5+L2L6+L2L8+L2L9+L2L10+L2L15+L2L16+L2L17+L2L18+L3L5+L3L6+L3L10+L3L17+L3L18L4L6+L5L7+L5L11+L5L12+L6L7+L6L8+L6L11+L6L12+L6L13+L6L14+L7L8+L7L10+L7L17+L7L18+L8L9+L9L10+L10L11+L10L12+L11L17+L11L18+L12L17+L12L18)-
(L1L3L5+L1L3L6+L1L3L10+L1L3L17+L1L3L18+L1L4L6+L1L6L8+L1L6L13+L1L6L14+L1L8L9+L1L9L10+L2L4L6+L2L9L10+L6L7L8).
D1= 1- L8;
D2= 1;
D3= 1;
D4= 1 — L9;
D5= 1;
D6= 1.
/>.
Структура кинематической системыпредставлена на рисунке:
/>