Реферат: Математические основы теории систем

Задача 1. Элементы теории графов

Связный ориентированный граф G,Г) задан множеством вершин X={x1,x2,…,xn} и отображением Гxi={x|I±k|,x|I±l|},i=1,2,,n. Здесь i — текущий номер вершины, n-количество вершин графа. Значение индексов n,k и l возьмемиз табл.1 в соответствии с номером варианта. Индексы kи l формируют значения индексов a,b, g… переменной x в отображении Гxi= {xa<sub/>,xb<sub/>,xg,…}.Если значения индексов a,b,g… переменной x не соответствуют ни одному из номеров вершин графа, тоэта переменная не учитывается во множестве Гxi.

Выполнить следующие действия:

а) определить исходный граф иассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным ианалитическим способами;

б) установить центры ипериферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов;

в) выделить в ориентированномграфе два подграфа. Найти объединение, пересечение и разность подграфов;

г) описать систему уравнений,соответствующую сигнальному графу, считая, что передача между вершинами xi и xj

 

/> i*j при i ³j;

Kij =

1/ (p+1)при i<j.

Найти передачу между вершинами x1<sub/>и xn,используя правило Мезона. Построить структуру кибернетической системы,определяемой топологией графа;


Таблица 1

варианта

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 K 2 3 4 1 1 1 3 5 2 4 2 3 4 5 6 L 1 1 1 2 3 4 2 1 3 3 1 1 1 1 1

варианта

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 N 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 K 1 1 1 1 3 2 5 5 2 3 4 5 6 5 3 L 2 3 4 5 2 3 2 3 3 2 3 2 1 3 5

Решение:

Множество вершин

X= {x1, x2,x3,x4, x5,x6 }, n= 6 k= 2, l= 1 Гxi={x|I±k|,x|I±l|}.

а) определим исходный граф иассоциированный с ним неориентированный граф графическим, матричным ианалитическим способами:

Определим граф аналитическимспособом:

 

Гx1= { x1, x3,x2};

Гx2= { x4, x1, x3 };

Гx3= { x1, x5, x2,x4};

Гx4= { x2, x6, x3, x5 };

Гx5= { x3,x4,x6};

Гx6= {x4,x5 }.

Ориентированный граф графическимспособом:

/>

Неориентированный графграфическим способом:

/>

Ориентированный граф матричнымспособом:

 

RG — матрица смежности />

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

1* 1 1

x2

1 1 1

x3

1 1 1 1

x4

1 1 1 1

x5

1 1 1

x6

1 1

AG — матрица инцидентности />

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

v13

v14

v15

v16

v17

v18

v19

x1

1* 1 -1 1 -1

x2

-1 1 1 -1 1 -1

x3

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1

x4

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1

x5

-1 1 1 -1 -1 1

x6

-1 1 -1 1

Неориентированный граф матричнымспособом:

RD — матрица смежности

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

1* 2 2

x2

2 2 2

x3

2 2 2 2

x4

2 2 2 2

x5

2 2 2

x6

2 2

 

AD — матрица инцидентности

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

v13

v14

v15

v16

v17

v18

v19

x1

1* 1 1 1 1

x2

1 1 1 1 1 1

x3

1 1 1 1 1 1 1 1

x4

1 1 1 1 1 1 1 1

x5

1 1 1 1 1 1

x6

1 1 1 1

б) установить центры ипериферийные вершины графов, найти радиусы и диаметры графов:

/> -матрица отклонений имеет вид:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

1 1 1 2 2 3

x2

1 1 1 2 2

x3

1 1 1 1 2

x4

2 1 1 1 1

x5

2 2 1 1 1

x6

3 2 2 1 1

/> -вектор отклонения

/> =>

 

х2, х34, х5 — центры графа с наименьшей удаленностью.Радиус ρ (G) = 2.

Периферийными вершинами являютсявершины х1, х6<sub/>с наибольшейудаленностью. Диаметр графа D (G) = 3.

в) выделим в ориентированномграфе два подграфа и найдем объединение, пересечение и разность подграфов.

/>/>

Выделяем два подграфа: G1 и G2

X1 — {x1, x2}, Г1х1 = {x1, x2},Г1х2 = {x1},

X2 — {x1, x2,<sub/>x3}, Г2х1 = {x2}, Г2х2 = {x3}, Г2х3 = {x2}.

Объединение />,

/>,/>, />, />.

G/>

Пересечение

/>,/>,/>, />.

G/>

Разность

/>,

/>, />, />.

G />

г) Считая, что передача междувершинами xi и xj

/>  i*j при i ³j;

Kij =

 1/ (p+1) при i<j .

Сигнальный граф имеет вид

/>

Система уравнений,соответствующая сигнальному графу имеет вид

x1= x1+2x2 +3x3

x2=/> x1+6 x3+8 x4

x3=/> x1+/> x2+12x4+15x5

x4= />x2+/> x3 +20 x5+24x6

x5= />x3+/> x4 +30x6

x6=/> x4+/>x5

Определить передачу k16по правилу Мезона. ФормулаМезона имеет вид

 

/>

 

PSпередача пути,

DSалгебраическое дополнение,

D — определитель.

/>

Пути из х1 в х6и передаточные функции для каждого из них имеют вид:

/>/>

/>/>

/>/>

/> />

/>/>

/>/>

Контура:

/>;/>

/>;/>;

/>;/>;

/>;/>;

/>;/>;

/>;/>;

/>;/>

/>;/>.

/>;/>.

Пары несоприкасающихся контуров

L1L3, L1L4, L1L5, L1L6, L1L8, L1L9, L1L10, L1L13, L1L14, L1L15, L1L16, L1L17, L1L18;

L2L4, L2L5, L2L6, L2L8, L2L9, L2L10, L2L15, L2L16, L2L17, L2L18;

L3L5, L3L6, L3L10, L3L17, L3L18;

L4L6, L5L7; L5L11, L5L12, L6L7, L6L8, L6L11, L6L12, L6L13, L6L14;

L7L8, L7L10, L7L17, L7L18;

L8L9, L9L10, L10L11, L10L12, L11L17, L11L18, L12L17, L12L18.

Независимые тройки

L1L3L5,<sub/>L1L3L6,<sub/>L1L3L10,<sub/>L1L3L17,<sub/>L1L3L18,<sub/>L1L4L6,<sub/>L1L6L8,<sub/>L1L6L13,<sub/>L1L6L14,<sub/>L1L8L9,L1L9L10,<sub/>L2L4L6,<sub/>L2L9L10,<sub/>L6L7L8.

Отсюда

D= 1 — (L1 +L2 +L3+L4 +L5 + L6+L7 +L8 +L9+L10 +L11 +L12+

+L13+L14+L15 +L16+L17 +L18)+(L1L3+L1L4+L1L5+L1L6+L1L8+L1L9+L1L10+L1L13+L1L14+L1L15+L1L16+L1L17+L1L18+L2L4+L2L5+L2L6+L2L8+L2L9+L2L10+L2L15+L2L16+L2L17+L2L18+L3L5+L3L6+L3L10+L3L17+L3L18L4L6+L5L7+L5L11+L5L12+L6L7+L6L8+L6L11+L6L12+L6L13+L6L14+L7L8+L7L10+L7L17+L7L18+L8L9+L9L10+L10L11+L10L12+L11L17+L11L18+L12L17+L12L18)-

(L1L3L5+L1L3L6+L1L3L10+L1L3L17+L1L3L18+L1L4L6+L1L6L8+L1L6L13+L1L6L14+L1L8L9+L1L9L10+L2L4L6+L2L9L10+L6L7L8).

D1= 1- L8;

D2= 1;

D3= 1;

D4= 1 — L9;

D5= 1;

D6= 1.

/>.

Структура кинематической системыпредставлена на рисунке:

/>

еще рефераты
Еще работы по математике