Реферат: Математическая статистика

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Литература


Задание 1. Исследоватьсходимость рядов:

а) />

 

Решение:

Воспользуемсяпризнаком Даламбера

/>

Рядсходится.

б) />

 

Решение:

Для исследования этогоряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:

p =/>=/>=

=/>= />=5

Так как показатель Коширяда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.


Задание 2. Исследоватьряд на абсолютную и условную сходимость:

/>

Решение:

Рассмотрим ряд измодулей:

/>

Сравним его с рядом />

Мы сможем это сделатьсогласно признаку сравнения:

/>

Ряд /> исследуем при помощи интегрального признака:

/>

т.е. ряд /> расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременныйряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теоремеЛейбница

/>|= />

Задание 3. Найти областьсходимости ряда:

/>

Решение:

Найдем интервалсходимости />, где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :

/>

Следовательно, интервалсходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

/>

/>/>

Полученный ряд являетсяобобщенным гармоническим рядом, в котором

/> 

Следовательно, полученныйряд расходится.

/>

/>

Получилизнакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:

/>

/>

Значит, полученный рядсходится.

Областью сходимостизаданного ряда является промежуток />.

Задание 4. Вычислить сточностью

ε = 0,001 /> .

Решение:

Так как 83является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520представить в виде суммы двух слагаемых:

520 = 83 + 8.

Тогда

/> = /> = 8/> = 8(1+0,001562)1/3 =

=8 =

= 8+ 0,0416-0,0002272+…

Третий член уже меньшечем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,

/> /> 8 + 0,0416 /> 8,0416

Задание 5. Найти три первых,отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла /> дифференциального уравнения, удовлетворяющегоследующему начальному условию:

/>

Решение:

Воспользуемся разложением

/>

Так как по условию х = 0,то будем иметь

/>

Найдем коэффициенты при х:

/> ;

/> , /> .

Подставляя найденныезначения в формулу, получим


/>

Задание 6. Среди 10 лотерейныхбилетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, чтосреди них 2 выигрышных.

Решение:

Определимся с событием:

А – среди выбранных 4 билетов2 выигрышных.

Вероятность этогособытия: />

Число всех элементарныхисходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числусочетаний:

/>

Число элементарныхисходов т, благоприятствующих событию А :

/>

Тогда, искомаявероятность равна:

/> 


Задание 7. В двух партиях38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбираютпо одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное иодно доброкачественное?

Решение:

Определимся с событиями:

А1 – выбордоброкачественного изделия из первой партии,

/>выбор бракованного изделия из первойпартии,

А2 – выбордоброкачественного изделия из второй партии,

/>выбор бракованного изделия из второйпартии.

Тогда

/>

/>.

а) А – хотя бы одноизделие бракованное.

/>

б) В – оба изделиябракованные.

/>.

в) С – одно изделиедоброкачественное и одно изделие бракованное.


/>.

Задание 9. Из 1000 ламп пi принадлежит i-ой партии, i = 1,2, 3, /> В первой партии 6%, во второй 5%, втретьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определитьвероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

/>

Решение:

Так как />, то

/> />

Определимся с событиями:

А – выбрана бракованнаялампа;

/>выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.

Найдем вероятностисобытий Вi :

п = 90 + 690 + 220 = 1000,

/>

Найдем вероятностисобытия А при условии, что события Bi ( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдемвероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой,2-ой, 3-ей партий :


/>

По формуле полнойвероятности найдем искомую вероятность:

/>

Задание 9. В магазинпоступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет тi<sub/>% изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-гозавода ni % первосортных. Куплено одноизделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленноеизделие выпущено j-ым заводом.

/>.

Решение:

Определимся с событиями:

А – купленное изделиепервосортное;

/>изделие выпущено i-ым заводом, />.

Запишем вероятностисобытий Вi :

/>

Запишем условныевероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное приусловии, что оно выпущено i-ымзаводом:

/>


Вероятность того, чтокупленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формулеБейеса:

/>

/>

Задание 10. Вероятностьнаступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р =0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяетследующему неравенству:

/> 

k1 = 75;

k2 = 90

Решение:

Воспользуемся интегральнойтеоремой Лапласа :

/>

где Ф(х) – функцияЛапласа,

/>

Найдем х1 и х2:

/>


Учитывая, что функцияЛапласа нечетная, т.е. />, получим

/>.

По таблице найдем :

/>

Искомая вероятность

/> 

Задание 12. Дискретнаяслучайная величина Х принимает только два значения х1 и х2, причем />. Известна вероятность р1 = 0,7 возможногозначения х1, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.

 

Решение:

Сумма вероятностей всехвозможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х2равна

р2 = 1 – р1= 1 – 0,7 = 0,3.

Запишем законраспределения ДСВ Х :

Х

х1

х2

р 0,7 0,3

Для нахождения значений х1и х2 составим систему уравнений и решим ее:

/> или />;

/>

/> или />

/>

/>

7x12+ /> =19 (x 3)

70x12-182x1+112= 0

/>

/>

/>

По условию задачи />. Следовательно, задаче удовлетворяет толькорешение />, и искомый закон распределения будет иметьвид:

Х 1 2 р 0,7 0,3

Задание 12. Непрерывнаяслучайная величина задана функцией распределения />.Требуется найти:

а) функцию плотностираспределения />;

б) математическоеожидание />;

в) дисперсию />;

г) среднее квадратическоеотклонение />.

Построить графики функций/> и />.

/> 

Решение:

а) Найдем функциюплотности распределения НСВ Х :

/>

б) Найдем математическоеожидание НСВ Х :

/>

в) Найдем дисперсию НСВ Х:

/>

г) Найдем среднееквадратическое отклонение НСВ Х :

/>

График функциираспределения:

/>

График функции плотностираспределения:

/>


Задание 13. Заданостатистическое распределение выборки. Требуется:

а) найти распределениеотносительных частот;

б) построить полигонотносительных частот;

в) найти эмпирическуюфункцию распределения и построить ее график;

г) найти несмещенныестатистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднегоквадратического отклонения в генеральной совокупности.

xi

1 3 4 6 7

ni

20 10 14 6 10

 

Решение:

а) Найдем объем выборки:

/>

Относительные частотыопределяем по формуле: />

/>

Запишем распределениеотносительных частот :

xi

1 3 4 6 7

wi

0,33 0,17 0,23 0,1 0,17

Контроль: />


б) Построим полигонотносительных частот:

/>

в) Эмпирическая функция

/>

где /> число вариант, меньших х;

п – объем выборки, можетбыть представлена в виде:

/>

Тогда, искомаяэмпирическая функция будет иметь вид :

/>


Строим график функции />

/>

г) Несмещенной оценкойматематического ожидания в генеральной совокупности является выборочнаясредняя:

/>

Найдем эту оценку:

xв = /> (1∙20+3∙10+4∙14+6∙6+7∙10) =/> = 3,53;

Несмещенной оценкойдисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочнаядисперсия:

/> 

где DB – выборочная дисперсия.

Найдем выборочную DВ :


/>= />

/>

= /> (400+300+784+216+700) – 12,46 = 27,54;

Найдем исправленнуюдисперсию, т.е несмещенную оценку генеральной дисперсии:

/>

Несмещенной оценкойсреднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служитисправленное среднее квадратическое отклонение:

/>.

Найдем эту оценку:

/>.


Задание 14. Найтивыборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице

Х

Y

7 14 21 28 35 42 10 5 1 - - - - 15 - 6 5 - - - 20 - - 6 35 9 - 25 - - 8 9 2 - 30 - - - 7 1 6

 

Решение:

□ Определим частоты/>, т.е. суммы частот появления значений у в каждойстроке таблицы. Аналогично, найдем частоты />.Очевидно, что />, т.е. суммы частот равны объемувыборки. В результате получим таблицу:

Х

Y

7 14 21 28 35 42

ny

10 5 1 - - - - 6 15 - 6 5 - - - 11 20 - - 6 35 9 - 50 25 - - 8 9 2 - 19 30 - - - 7 1 6 14

nx

5 7 19 51 12 6 n=100

Уравнение линейнойрегрессии Y на Х имеет вид:

/>,


где />выборочный коэффициент корреляции.

Найдем значенияпараметров выборочного уравнения линии регрессии:

/>

/>;

/>

/>;

/>;

/>

/>;

/>

/>;

/>;

/>

/>

/>

/>;

/>.

Подставляем полученныезначения параметров в выборочное уравнение регрессии:


/>.

Тогда выборочное уравнениерегрессии примет окончательный вид:

/>.


ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное иинтегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 506с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г.,Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшаяшкола, 1986. – 415с.

3. Доценко А.Д., Нагулин Н.И.Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика”(Ряды). Харьков: ХИРЭ, 1992. – 38с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей иматематическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решениюзадач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,2000. – 400с.

еще рефераты
Еще работы по математике