Реферат: Математическая статистика

Министерствообразования и науки Российской Федерации.

Федеральноеагентство по образованию.

Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального

образования.

Самарскийгосударственный технический университет.

Кафедравысшей математике

Курсовая работа

студент

руководитель: .

ассистент: Н.

Самара

2004 г.


Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые втаблице 1.

Таблица 1

Х Y X Y X Y X Y 70 60 97 62 27 25 57 35 73 60 96 85 43 25 60 34 80 55 67 34 24 19 92 85 41 30 80 80 24 20 93 75 56 25 82 78 27 19 100 65 103 92 90 80 100 90 120 115 104 92 120 92 101 110 120 90 104 114 115 115 102 112 92 75 93 62 123 115 145 118 123 112 118 115 127 120 150 118 123 100 121 92 127 117 150 119 96 72 117 92 130 120 150 120 130 119 112 110 135 125 131 120 142 119 96 78 153 125 132 142 142 140 127 120 153 142 202 175 145 144 130 125 153 135 202 173 157 150 130 140 153 145 205 202 180 180 130 119 162 172 180 202 180 200 150 140 165 165 188 225 180 175 140 120 165 150 210 220 180 190 140 125 165 146 221 225 200 200 162 170 170 152 225 220 200 175 155 170 170 165 225 230 240 228 157 160 154 170 227 232 240 232 157 165 154 165 237 232 132 140

1) Находим, что

/> 

/>

Тогда длина интервала группирования

/>

/> — число интервалов (разрядов),неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При />, />

2) Находим границы величины />

/>, />

3) Находим значение представителей

/>

/> — середина i-того интервала.

4) Для графического описания выборкипо условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис.1)  и эмпирическую функцию распределения /> (рис. 2)

а) На гистограмме относительныхчастот высота прямоугольников выбирается равной />, основания прямоугольниковсоответствуют интервалам разбиения. Площадь i-того прямоугольника />равна относительной частотенаблюдений, попавших в i-тыйинтервал.

Составляем таблицу частотгруппированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала i, значениями нижней границы (началаинтервала) и представителя интервала />, числами значений в i-том интервале />, накопленной частоты />, относительнойчастоты />,накопленной относительной частоты />. Число строк таблицы равно числуинтервалов r.


/>

Рис. 1. Гистограмма относительныхчастот

б) Эмпирическая функция распределенияопределяется по значениям накопленных относительных частот представителейразрядов:

/>

Функция представляет собойкусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединаминтервалов группировки />, причём при /> />, и при />  />

/>

Рис. 2. Эмпирическая функцияраспределения />

5) Составленную ранее таблицу частотгруппированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений /> и />. Она содержитрезультаты промежуточных вычислений по формулам

/> />

6) После заполнения таблицы 2рассчитываем значение числовых оценок:

/>

/>

7) Определяем коэффициент вариаций

/>

8) Определяем границы доверительногоинтервала для математического ожидания по формулам

/>

/>

При заданной доверительнойвероятности /> потаблицам распределения Стьюдента />, поэтому имеем

/>

/>

9) Среднеквадратичное отклонение оценкиматематического ожидания случайной величины Х равно

/>/>

10) По виду гистограммы выдвигаемгипотезу Н0 о подчинении случайной величины Х нормальному законураспределения. Для построения теоретической функции /> и /> составляем таблицу значений(таблица 3) нормальной величины />, определяем функцию Лапласа />, значенияфункции распределения на концах отрезков /> и вероятность попадания/>в i-тый интервал по формуле />

11) Рисунок 2 с эмпирической функциейраспределения дополняем теоретической функцией F(x), значениякоторой найдены на концах интервалов.

/>

Рис. 3. Эмпирическая />, теоретическая /> функцияраспределения.

12) Для проверки согласия выдвинутойгипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность /> попаданияопытных данных в i-тый интервал от /> до/>на основеполученных значений функции /> на границах интервалов. Напостроенную раньше гистограмму наносим точки с координатами /> и соединяем их плавнымилиниями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность /> распределения,необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.

/>

Рис. 4. Гистограмма относительныхчастот и теоретическая плотность вероятности />.

13) При количественной оценке мерыблизости эмпирического и теоретического законов распределения можноиспользовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова:

Максимальное значение модуля разностимежду значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 3) наблюдаетсяв точке, близкой к представителю />. Тогда

/>

Вычисляем величину

/>

где r – объём выборки из представителей интервалов

/>, следовательно />. Так как />, поэтому гипотеза онормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как непротиворечащая опытным данным.

б) Для вычисления /> таблицу 3 дополняемпромежуточными результатами />,/>, />. Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда />. Получаем, что

/> 

Для нормального закона распределения />. Тогда числостепеней свободы />. При /> имеем />. Поэтому гипотеза по критерию /> Пирсонапринимается.

14) Составляем точечную диаграмму вдекартовой (рис. 5) системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение />, а по осиординат — />.Пары значений /> представляем на диаграмме в видеточек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальныхпрямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину /> интервала пооси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми – длину интервала /> по осиординат.

15) Для вычисления коэффициентакорреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние двестроки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценкикоэффициента корреляции

/>

16) Находим

/>

/>

/>

/>

Следовательно, линейные приближения крегрессиям имеют вид:

/>

/>

На рисунке 3 представлены точечнаядиаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X.Расположение точек /> на диаграмме и небольшое значениекоэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величинX и Y между собой.

Таблица 2

№ интервала

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1 24 34,8 6 6 0,06 0,06 208,8 -99,36 9872,41 59234,46 2 45,6 56,4 4 10 0,04 0,1 225,6 -77,76 6046,618 24186,47 3 67,2 78 5 15 0,05 0,15 390 -56,16 3153,946 15769,73 4 88,8 99,6 16 31 0,16 0,31 1593,6 -34,56 1194,394 19110,3 5 110,4 121,2 21 52 0,21 0,52 2545,2 -12,96 167,9616 3527,194 6 132 142,8 15 67 0,15 0,67 2142 8,64 74,6496 1119,744 7 153,6 164,4 13 80 0,13 0,8 2137,2 30,24 914,4576 11887,95 8 175,2 186 6 86 0,06 0,86 1116 51,84 2687,386 16124,31 9 196,8 207,6 7 93 0,07 0,93 1453,2 73,44 5393,434 37754,04 10 218,4 229,2 7 100 0,07 1 1604,4 95,04 9032,602 63228,21 11 240 Сумма 100 1 13416 251942,4

Таблица 3

№ интервала

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1 24 -2,18368 -0,4854 0,0146 0,0255 2,55 3,8025 0,224336 2 45,6 -1,75551 -0,4599 0,0401 0,0517 5,17 3 67,2 -1,32733 -0,4082 0,0918 0,0923 9,23 4 88,8 -0,89916 -0,3159 0,1841 0,1351 13,51 6,2001 0,458927 5 110,4 -0,47099 -0,1808 0,3192 0,1648 16,48 20,4304 1,239709 6 132 -0,04282 -0,016 0,484 0,164 16,4 1,96 0,119512 7 153,6 0,385355 0,148 0,648 0,143 14,3 1,69 0,118182 8 175,2 0,813527 0,291 0,791 0,1015 10,15 17,2225 1,696798 9 196,8 1,241699 0,3925 0,8925 0,06 6 25,8064 2,893094 10 218,4 1,669871 0,4525 0,9525 0,0292 2,92 11 240 2,098043 0,4817 0,9817

Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые втаблице 1.

Таблица 1

Х Y X Y X Y X Y 70 60 97 62 27 25 57 35 73 60 96 85 43 25 60 34 80 55 67 34 24 19 92 85 41 30 80 80 24 20 93 75 56 25 82 78 27 19 100 65 103 92 90 80 100 90 120 115 104 92 120 92 101 110 120 90 104 114 115 115 102 112 92 75 93 62 123 115 145 118 123 112 118 115 127 120 150 118 123 100 121 92 127 117 150 119 96 72 117 92 130 120 150 120 130 119 112 110 135 125 131 120 142 119 96 78 153 125 132 142 142 140 127 120 153 142 202 175 145 144 130 125 153 135 202 173 157 150 130 140 153 145 205 202 180 180 130 119 162 172 180 202 180 200 150 140 165 165 188 225 180 175 140 120 165 150 210 220 180 190 140 125 165 146 221 225 200 200 162 170 170 152 225 220 200 175 155 170 170 165 225 230 240 228 157 160 154 170 227 232 240 232 157 165 154 165 237 232 132 140

1) Находим, что

/> 

/>

Тогда длина интервала группирования

/>

/> — число интервалов (разрядов),неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При />, />

2) Находим границы величины />

/>, />

3) Находим значение представителей

/>

/> — середина j-того интервала.

4) Для графического описания выборкипо условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис.1) и эмпирическую функцию распределения /> (рис. 2)

а) На гистограмме относительныхчастот высота прямоугольников выбирается равной />, основания прямоугольниковсоответствуют интервалам разбиения. Площадь j-того прямоугольника />равна относительной частотенаблюдений, попавших в j-тыйинтервал.

Составляем таблицу частотгруппированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала j, значениями нижней границы (началаинтервала) и представителя интервала />, числами значений в j-том интервале />, накопленной частоты />, относительнойчастоты />,накопленной относительной частоты />. Число строк таблицы равно числуинтервалов r.

/>

Рис. 1. Гистограмма относительныхчастот

б) Эмпирическая функция распределенияопределяется по значениям накопленных относительных частот представителейразрядов:

/>

Функция представляет собойкусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединаминтервалов группировки />, причём при /> />, и при />  />

/>

Рис. 2. Эмпирическая функцияраспределения />

5) Составленную ранее таблицу частотгруппированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений /> и />. Она содержитрезультаты промежуточных вычислений по формулам

/> />

6) После заполнения таблицы 2рассчитываем значение числовых оценок:

/>

/>

7) Определяем коэффициент вариаций

/>

8) Определяем границы доверительногоинтервала для математического ожидания по формулам

/>

/>

При заданной доверительной вероятности/> потаблицам распределения Стьюдента />, поэтому имеем

/>

/>

9) Среднеквадратичное отклонениеоценки математического ожидания случайной величины Y равно

/>/>

10) По виду гистограммы выдвигаемгипотезу Н0 о подчинении случайной величины нормальному законураспределения. Для построения теоретической функции /> и /> составляем таблицу значений(таблица 3) нормальной величины />, определяем функцию Лапласа />, значенияфункции распределения на концах отрезков /> и вероятность попадания/>в i-тый интервал по формуле />

11) Рисунок 2 с эмпирической функциейраспределения дополняем теоретической функцией F(y), значениякоторой найдены на концах интервалов.

/>

Рис. 3. Эмпирическая />, теоретическая /> функцияраспределения.

12) Для проверки согласия выдвинутойгипотезы о о законе распределения  экспериментальным данным находим вероятность/> попаданияопытных данных в j-тый интервал от /> до/>на основеполученных значений функции /> на границах интервалов. Напостроенную раньше гистограмму наносим точки с координатами /> и соединяем их плавнымилиниями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность /> распределения,необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.

/>

Рис. 4. Гистограмма относительныхчастот и теоретическая плотность вероятности />.

13) При количественной оценке мерыблизости эмпирического и теоретического законов распределения можноиспользовать критерии Пирсона или Колмогорова.

а) по критерию Колмогорова

Максимальное значение модуля разностимежду значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 2) наблюдаетсяв точке, близкой к представителю />. Тогда

/>

Вычисляем величину

/>

где r – объём выборки из представителей интервалов

/>, следовательно />. Так как />, поэтому гипотеза онормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как непротиворечащая опытным данным.

б) Для вычисления /> таблицу 3 дополняемпромежуточными результатами />,/>, />. Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда />. Получаем, что

/> 

Для нормального закона распределения />. Тогда числостепеней свободы />. При /> имеем />. Поэтому гипотеза по критерию /> Пирсонапринимается.

14) Составляем точечную диаграмму вдекартовой системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение />, а по осиординат — />.Пары значений /> представляем на диаграмме в видеточек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальныхпрямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину /> интервала пооси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми – длину интервала /> по осиординат.

15) Для вычисления коэффициентакорреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние двестроки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценкикоэффициента корреляции

/>

16) Находим

/>

/>

/>

/>

Следовательно, линейные приближения крегрессиям имеют вид:

/>

/>

На рисунке 3 представлены точечнаядиаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X.Расположение точек /> на диаграмме и небольшое значениекоэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величинX и Y между собой.

Таблица 2

№ интервала

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1 19 29,65 10 10 0,1 0,1 296,5 -93,933 8823,408 88234,08 2 40,3 50,95 3 13 0,03 0,13 152,85 -72,633 5275,553 15826,66 3 61,6 72,25 10 23 0,1 0,23 722,5 -51,333 2635,077 26350,77 4 82,9 93,55 10 33 0,1 0,33 935,5 -30,033 901,9811 9019,811 5 104,2 114,85 26 59 0,26 0,59 2986,1 -8,733 76,26529 1982,898 6 125,5 136,15 10 69 0,1 0,69 1361,5 12,567 157,9295 1579,295 7 146,8 157,45 7 76 0,07 0,76 1102,15 33,867 1146,974 8028,816 8 168,1 178,75 10 86 0,1 0,86 1787,5 55,167 3043,398 30433,98 9 189,4 200,05 4 90 0,04 0,9 800,2 76,467 5847,202 23388,81 10 210,7 221,35 10 100 0,1 1 2213,5 97,767 9558,386 95583,86 11 232 Сумма 100 1 12358,3 300429

Таблица 3

№ интервала

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

1 19 -1,89849 -0,4713 0,0287 0,0368 3,68 8,4681 0,421508 2 40,3 -1,51183 -0,4345 0,0655 0,0659 6,59 3 61,6 -1,12517 -0,3686 0,1314 0,0982 9,82 4 82,9 -0,73852 -0,2704 0,2296 0,1336 13,36 11,2896 0,84503 5 104,2 -0,35186 -0,1368 0,3632 0,1488 14,88 123,6544 8,310108 6 125,5 0,034799 0,012 0,512 0,1508 15,08 25,8064 1,7113 7 146,8 0,421457 0,1628 0,6628 0,1282 12,82 33,8724 2,642153 8 168,1 0,808114 0,291 0,791 0,092 9,2 30,6916 1,6626 9 189,4 1,194772 0,383 0,883 0,0599 5,99 10 210,7 1,58143 0,4429 0,9429 0,0327 3,27 11 232 1,968087 0,4756 0,9756 Сумма 13,5927
еще рефераты
Еще работы по математике