Реферат: Конические сечения
МуниципальноеОбразовательное Учреждение
СредняяОбщеобразовательная школа №4
Коническиесечения
Выполнил
СпиридоновАнтон
ученик 11А класса
Проверил
КоробейниковаА. Т.
Тобольск –2006 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ.Введение
Понятие конических сечений
Виды коническихсечений
Исследование
Построение коническихсечений
Аналитический подход
Применение
Приложение
Список литературы
Введение.
Цель: изучить коническиесечения.
Задачи: научиться различатьвиды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитическийподход.
Конические сечения впервые предложилиспользовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, прирешении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.
Однажды наострове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу,который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотойжертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах.Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше реберпрежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула,что неверно поняли его предписание — удвоить было надо не ребра куба, а егообъём, то есть увеличить ребра куба в />раз. В терминах геометрическойалгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данномуотрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а: х = х: y = y: 2a. Тогдадлина отрезка х будет равна />.
Приведеннуюпропорцию можно рассматривать как систему уравнений:
/>
Но x2=ay и y2=2ax — это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следуетотыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить иуравнение гиперболы xy=2a2, то эту же задачу возможно решитьнахождением точек пересечения параболы с гиперболой.
Для полученияконических сечений Менехм пересекал конус — остроугольный, прямоугольный илитупоугольный — плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Дляостроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей,имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный– параболу.
Отсюдапроизошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим вIII веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη)— преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη)— приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, чтовсе три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущейплоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить,что они простираются в бесконечность (Рис. 1).
Если провестисечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачиватьсекущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, тоувидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс.Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получитсяпарабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получитсягипербола.
Понятиеконических сечений.
/>
Конические сечения — это плоские кривые, которые получаются пересечением прямогокругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зренияаналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическоеместо точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключениемвырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениямиявляются эллипсы, гиперболы или параболы (Рис. 2).
При вращениипрямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с еепродолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямогокругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых,проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираютсяна одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующихпредставляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном егоположении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждаяобразующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего иповерхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Еслитакую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая иназывается коническим сечением. Она может быть трех типов:
1) еслиплоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекаетсятолько одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом;
2) еслисекущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая двеветви и называемая гиперболой;
3) еслисекущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.
Если секущаяплоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность,которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскостьможет пересекать коническую поверхность только в одной вершине, тогда в сеченииполучается точка, как частный случай эллипса.
Еслиплоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сеченииполучается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы.
Если вершина бесконечно удалена, то коническаяповерхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельнойобразующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. Коническиесечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
и называются кривыми 2-гопорядка.
Виды коническихсечений.
Коническиесечения могут быть трёх типов:
1) секущая плоскость пересекает всеобразующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутаяовальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается,когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельнаодной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая,уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обеполости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковыхнезамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащихна обеих полостях конуса.
Исследование.В техслучаях, когда конические сечение имеет центр симметрии (центр), т. е. являетсяэллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесенияначала координат в центр) к виду:
a11x2+2a12xy+ a22y2 = a33.
Дальнейшиеисследования таких (называемых центральными) конические сечения показывают, чтоих уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:
Ах2+ Ву2 = С,
если занаправления осей координат выбрать главные направления — направления главныхосей (осей симметрии) конических сечений. Если А и В имеют одинаковые знаки(совпадающие со знаком С), то уравнение определяет эллипс; если А и В разногознака, то — гиперболу.
Уравнениепараболы привести к виду (Ах2 + Ву2 = С) нельзя. Принадлежащем выборе осей координат (одна ось координат — единственная осьсимметрии параболы, другая — перпендикулярная к ней прямая, проходящая черезвершину параболы) её уравнение можно привести к виду:
y2= 2рх.
ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХСЕЧЕНИЙ.
Изучаяконические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческиематематики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Былоустановлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, суммарасстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – какгеометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой;гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых додвух заданных точек постоянна.
Этиопределения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ ихпостроения с помощью натянутой нити.
Эллипс.Если концы нити заданной длины закреплены в точках F1 и F2(рис. 3), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по тугонатянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F1 и F2называются/> фокусами эллипса, а отрезки V1V2и v1v2между точками пересечения эллипса с осями координат – большой и />малымиосями. Если точки F1и F2совпадают, то эллипс превращается в окружность (Рис. 3).
Гипербола. При построении гиперболы точка P,острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам,установленным в точках F1 и F2, какпоказано на рисунке 4, а, расстояния подобраны так, что отрезок PF2превосходит по длине отрезок PF1 на фиксированную величину,меньшую расстояния F1F2. При этом один конец нитипроходит под шпеньком F1, и оба конца нити проходят поверх шпенька F2.(Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить,сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV1Q) мывычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и,потягивая оба конца нити вниз за точку F2, а когда точка Pокажется ниже отрезка F1F2, придерживая нить за обаконца и осторожно отпуская ее. Вторую ветвь гиперболы мы вычерчиваем,предварительно поменяв шпеньки F1 и F2 (Рис.4).
/>
Ветвигиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Этипрямые, называемые />асимптотамигиперболы, строятся, как показано на рисунке 4, б.Угловые
/>
коэффициентыэтих прямых равны где – отрезок биссектрисы угла между асимптотами,перпендикулярной отрезку F2F1; отрезокv1v2называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V1V2– ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналямипрямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v1, v2, V1, V2параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указатьместоположение точек v1 и v2. Онинаходятся на одинаковом расстоянии, равном
/>
от точкипересечения осей O.Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov1и V2O игипотенузой F2O.
Еслиасимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется />равнобочной. Две гиперболы, имеющиеобщие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями,называются />взаимносопряженными.
Парабола.Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но />фокус параболы, по-видимому, впервыеустановил Папп (вторая пол. III в.), определивший эту кривую какгеометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) изаданной прямой, которая называется />директрисой. Построение параболы спомощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложеноИсидором Милетским (VI в.) (Рис. 5).
Расположимлинейку так, чтобы ее край совпал с директрисой, и приложим к этому краю катет ACчертежного треугольника ABC. Закрепим один конец нити длиной AB ввершине Bтреугольника, а другой – в фокусе параболы F. Натянув остриемкарандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету ABчертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдольлинейки, точка Pбудет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой, так как общая длинанити равна AB,отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийсяотрезок нити PFдолжен быть равен оставшейся части катета AB, то есть PA.Точка пересечения Vпараболы с осью называется />вершиной параболы, прямая, проходящаячерез F и V, – />осью параболы.Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой,отсекаемый параболой, называется />фокальным параметром.Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
/>
Алгебраическаяклассификация. Валгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые,координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнениювторой степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записатьв общем, виде как
/>
где не всекоэффициенты A, B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворотаосей уравнение (1) можно привести к виду
ax2 + by2 + c = 0
или
px2 + qy = 0.
Первоеуравнение получается из уравнения (1) при B2 > AC, второе – при B2= AC. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду,называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго видас q > 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорийсуществуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаковкоэффициентов.
1) Есликоэффициенты a, b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественныхточек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечениеназывается мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b).
2) Если a и bимеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс; при a =b – окружность.
3) Если a и bимеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола.
4) Если a и bимеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двухпересекающихся прямых.
5) Если a и bимеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка накривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимыепересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсеили, если a = b, стянутой в точку окружности.
6) Если либо a,либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническоесечение состоит из двух параллельных прямых.
7) Если либо a,либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существуетни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случаеговорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.
8) Если c =0, и либо a, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двухдействительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакогоконического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение(1) не второй степени.)
9) Уравнениявторого типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p > 0, а q= 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяетникакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второйстепени.
Применение
Конические сечения частовстречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокругСолнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случайэллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладаеттем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в однойточке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, гдеприменяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальныхмикрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусепараболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощныхпрожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например,закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома,задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении
Приложение
/>/>/>
л
Рис. 1
/>
Рис. 2
/>/>
Рис. 3
Рис. 4
/>
Рис. 5
Список литературы.
1. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях.2001
2. Базылев В. Т., Дуничев К. И.,Иваницкая В. П… Учебное пособие для студентов 1 курса физико-математическихфакультетов педагогических институтах. Москва «просвещение» 1974
3. Верещагин Н.К., А.Шень. Лекции по математической логике итеории алгоритмов. 1999
4. Гельфанд И.М… Лекции по линейнойалгебре. 1998.
5. Гладкий А.В… Введение в современную логику. 2001
6. М.Э.Казарян. Курс дифференциальной геометрии(2001-2002).
7. Прасолов В.В… Геометрия Лобачевского 2004
8. Прасолов В.В… Задачи по планиметрии 2001
9. Шейнман О.К… Основы теории представлений. 2004