Реферат: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ -ПОДГРУПП, ИНДЕКСЫ КОТОРЫХ НЕ ДЕЛЯТСЯ НА НЕКОТОРОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО
Исполнитель:
Студентка группы М-53 Вакрилова Л.М.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
1 Описание -формаций Шеметкова
2 Описание -формаций Шеметкова
Список использованных источников
П еречень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
— множество всех натуральных чисел;
— множество всех простых чисел;
— некоторое множество простых чисел, т. е. ;
— дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число — любое число вида .
Буквами обозначаются простые числа.
Пусть — группа. Тогда:
— порядок группы ;
— множество всех простых делителей порядка группы ;
-группа — группа , для которой ;
-группа — группа , для которой ;
— коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
— подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
— наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
— подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
— наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
— -холлова подгруппа группы ;
— силовская -подгруппа группы ;
— дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;
— нильпотентная длина группы ;
— -длина группы ;
— минимальное число порождающих элементов группы ;
— цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;
— циклическая группа порядка .
Если и — подгруппы группы , то :
— является подгруппой группы ;
— является собственной подгруппой группы ;
— является нормальной подгруппой группы ;
— ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;
— нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ;
— индекс подгруппы в группе ;
;
— нормализатор подгруппы в группе ;
— централизатор подгруппы в группе ;
— взаимный коммутант подгрупп и ;
— подгруппа, порожденная подгруппами и .
Минимальная нормальная подгруппа группы — неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
— является максимальной подгруппой группы .
Если и — подгруппы группы , то:
— прямое произведение подгрупп и ;
— полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
— и изоморфны;
— регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; разрешимой, если существует номер такой, что ; сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа — группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа — группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа — группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.
Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что
.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп
называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Класс групп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа — группа, принадлежащая классу групп .
Формация — класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если — класс групп, то:
— множество всех простых делителей порядков всех групп из ;
— множество всех тех простых чисел , для которых ;
— формация, порожденная классом ;
— насыщенная формация, порожденная классом ;
— класс всех групп , представимых в виде
где , ;
;
— класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;
— класс всех -групп из ;
— класс всех конечных групп;
— класс всех разрешимых конечных групп;
— класс всех -групп;
— класс всех разрешимых -групп;
— класс всех разрешимых -групп;
— класс всех нильпотентных групп;
— класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .
Если и — классы групп, то:
.
Если — класс групп и — группа, то:
— пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;
— произведение всех нормальных -подгрупп группы .
Если и — формации, то:
— произведение формаций;
— пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .
Если — насыщенная формация, то:
— существенная характеристика формации .
-абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если , где — некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что
(1) каждый фактор является главным фактором группы ;
(2) если порядок фактора есть степень простого числа , то .
— -гиперцентр группы ,
Введение
Известно, что любая конечная группа вида , где и — -замкнутые подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -замкнутой.
В работе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида , где и — -нильпотентные подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.
В связи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.
Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации , содержащие любую группу , где и принадлежат и содержит некоторую силовскую подгруппу группы .
В данной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга данная проблема решена полностью.
1. Описание -формаций Шеметкова
Важную роль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова, т. е. такие формации , у которых любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.
Впервые наследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе [22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственные насыщенные формации Шеметкова.
Определение. Формация называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа — либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.
Приведем пример -формаций Шеметкова.
1.1 Пример. Если — формация всех -нильпотентных групп, то — -формация Шеметкова.
Пусть — произвольная минимальная не -группа. Известно, что группа является разрешимой. Покажем, что является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Так как не -нильпотентная группа, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где — единственная минимальная нормальная подгруппа, — примарная -группа, , где — максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, если , то из того факта, что -нильпотентна, а значит и так же -нильпотентна, следует, что -нильпотентна, что невозможно. Известно, что формацию можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак, — группа Шмидта. Пусть . Выше показано, что — группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы 2.2.2 и леммы 4.1.1, является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. А это значит, что — -формация Шеметкова.
1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть , , — непустые формации. Тогда .
Доказательство. Пусть — произвольная группа из . Тогда . Отсюда следует, что и . А это значит, что .
Пусть — произвольная группа из . Отсюда следует, что и . Тогда и . Итак, . А это значит, что . Лемма доказана.
Пусть — насыщенная формация, а — ее максимальный внутренний локальный экран, — характеристика формации . Обозначим через — множество простых чисел из таких, что , где — простое число из .
1.3 Лемма. Пусть — насыщенная формация, — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда
Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации справедливо следующее равенство
Отсюда следует, что
По лемме 5.1.2,
Лемма доказана.
1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) — -формация Шеметкова;
2) , где и .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде
где — максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что если — -формация Шеметкова, то
Действительно, очевидно, что
Покажем обратное включение. Пусть — группа наименьшего порядка из
Так как — наследственная формация, то .
Так как — насыщенная формация, то . Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Согласно условию, либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.
Пусть . Так как , то . Отсюда следует, что . Противоречие.
Пусть — группа Шмидта и , где . Очевидно, что . Тогда из следует, что . А это значит, что . Так как , то . Но тогда . Так как — полный экран, то . Так как — внутренний экран, то . Получили противоречие.
Покажем, что из 2) следует 1).
Пусть . Согласно условию, — разрешимая группа. Пусть . Очевидно, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем — -группа и . Согласно теореме 2.2.5, , где , — полный локальный экран формации . Согласно лемме 2.2.20, . А это значит, что , где . Отсюда нетрудно заметить, что — группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, — либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.
1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда содержит любую -разрешимую группу , где и — -подгруппы и индексы , не делятся на .
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем и . Так как — -разрешимая группа, то либо — -группа, либо -группа. Если — -группа, то из того, что следует, что . Противоречие.
Пусть — -группа. Согласно условию, и . Так как и , то . Отсюда следует, что . Аналогичным образом получаем, что . Отсюда и группа . А это значит, что . Получили противоречие. Теорема доказана.
В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова замкнута относительно произведения -субнормальных -подгрупп. Для наследственных насыщенных -формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.
1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда содержит любую группу , где и — -подгруппы, индексы , не делятся на и либо , либо -субнормальны в .
Доказательство. Пусть — наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:
где — некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Пусть — группа наименьшего порядка, не принадлежащая , такая, что , где и — -подгруппы, индексы , не делятся на и -субнормальна в .
Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .
Так как — насыщенная формация, то .
Пусть — абелева группа и — -группа. Если , то из того факта, что , следует, что . Противоречие.
Если — -группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что . Противоречие.
Пусть — неабелева группа. В этом случае
z\ неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Так как — собственная -субнормальная подгруппа группы и , то нетрудно показать, что . Рассмотрим подгруппу . По тождеству Дедекинда
Очевидно, что — -субнормальная подгруппа . Так как — наследственная формация и , то . Очевидно, что индексы , не делятся на . Тогда по индукции, . Если , то . Получили противоречие. Значит, . Так как — нормальная подгруппа из , то — нормальная подгруппа из . Но тогда
где — изоморфные неабелевы простые группы, . Так как и — наследственная формация, то . Отсюда нетрудно показать, что . Если делится на , то из того, что , следует, что — нормальная подгруппа группы . Противоречие. Если — -группа, то ясно, что . Противоречие. Теорема доказана.
2. Описание -формаций Шеметкова
Введем следующее определение.
Определение. Формация называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа — либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, либо группа простого порядка.
Приведем пример -формаций Шеметкова.
2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех -замкнутых групп является -формацией Шеметкова.
Действительно. Пусть — произвольная минимальная не -группа. Так как не -замкнута, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где — единственная минимальная нормальная подгруппа из , — -группа, , где — максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, в противном случае, из того факта, что -замкнута и -замкнута, следует, что -замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, формация имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак, — группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка . Пусть . Выше показано, что — группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1, — группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Итак, — -формация Шеметкова.
2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) — -формация Шеметкова;
2) , где и .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Ясно, что формация является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:
где — максимальный внутренний локальный экран . Вначале докажем, что , где — любое простое число из . Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число , но . Обозначим через группу простого порядка . Очевидно, что и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где — поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то, очевидно, что . Пусть — произвольная максимальная подгруппа из . Так как и , то нетрудно заметить, что . Итак, . Так как , то это невозможно ввиду того, что — -формация Шеметкова. Итак, для любого из . Отсюда, в частности, следует, что . Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:
Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:
где — некоторое множество простых чисел, содержащее число .
Покажем, что из 2) следует 1).
Действительно, что — произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где — единственная минимальная нормальная подгруппа, — -группа и , где — максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из того факта, что , следует, что . Получили противоречие. Тогда . Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация имеет полный локальный экран такой, что . Очевидно, что . Так как , то очевидно, что . Итак, любая минимальная не -группа с либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной -силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда . Итак, — -формация Шеметкова. Теорема доказана.
2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Формация содержит любую разрешимую группу , где и — -подгруппы и индексы , не делятся на , только в том случае, когда — формация -замкнутых групп.
Доказательство. Пусть — -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
где . Если , то — формация -замкнутых групп. Так как индексы , не делятся на , то и содержат силовскую -подгруппу группы . По условию, и -замкнуты. Отсюда следует, что -замкнута. Пусть множество содержит простое число . Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть — группа порядка . Пусть — простое число, отличное от и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где — поле из элементов. Пусть . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где — поле из элементов. Пусть . Так как , то, как и выше, существует точный неприводимый -модуль , где — поле из элементов. Пусть .
Рассмотрим следующие две подгруппы: и . Ясно, что . Подгруппы и -замкнуты, причем индексы , не делятся на . Если бы группа была бы -замкнута, то тогда была бы нормальной подгруппой в группе , что невозможно. Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда . Лемма доказана.
2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть — -разрешимая группа, , где , , индексы , не делятся на . Тогда .
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку . Пусть — минимальная нормальная подгруппа . Так как — -разрешимая группа, то либо -группа, либо -группа. Если — -группа, то . Согласно индукции, . Получили противоречие.
Пусть — -группа. Так как , не делятся на , то . Так как — единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , то . Рассмотрим подгруппу . Так как , — -группа, , то нетрудно показать, что — -группа. Так как , то — -замкнутая группа. Аналогичным образом можно доказать, что — -замкнутая группа. Отсюда следует, что — -замкнутая группа. А это значит, что . Получим противоречие. Лемма доказана.
3. Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям
В данном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , содержащих любую разрешимую группу , где и — -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число .
3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и — -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:
1) — группа простого порядка , где ;
2) — группа Шмидта;
3) , где , где — максимальный внутренний локальный экран формации , — простое число отличное от ;
4) , , , где — -замкнутая группа, , где — максимальный внутренний локальный экран формации , — простое число отличное от .
Доказательство. Пусть — произвольная разрешимая минимальная не -группа. Если , то нетрудно показать, что — группа простого порядка , причем .
Пусть . Покажем, что — бипримарная -подгруппа. Действительно, если — примарная группа, то из насыщенности формации следует, что . Противоречие. Пусть . Так как — разрешимая группа, то нетрудно показать, что , где , индексы , не делятся на . Согласно условию, . Получили противоречие. Итак, .
Пусть — минимальная нормальная подгруппа . Если — -группа, то . Рассмотрим случай, когда . Покажем, что в этом случае — группа Шмидта. Вначале докажем, что — циклическая группа. Действительно, в противном случае , где и — максимальные подгруппы . Тогда . Так как , не делятся на , , то . Противоречие. Итак, — циклическая группа, . Пусть . Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть и — циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . И пусть — база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, что подгруппы , принадлежат формации .
Пусть , где . Обозначим через базу сплетения . Тогда
Легко видеть, что .
Так как индексы и не делятся на , то . Но , и поэтому
Полученное противоречие показывает, что . Итак, доказали, что — группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, — группа Шмидта. Следовательно, — группа типа 2).
Пусть — -группа и . Пусть . Тогда, согласно теореме 2.2.5, , где , , — максимальный внутренний локальный экран формации . Так как , то — -группа. Пусть . Тогда рассмотрим подгруппу . Так как — собственная подгруппа , то . Так как , то не делится на . Так как — разрешимая группа, то . Но тогда в существует максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как — собственная подгруппа , то . Нетрудно заметить, что не делится на и . Теперь, согласно условию, . Получили противоречие. Итак, доказали, что , то есть — -замкнутая группа. Итак, — группа типа 4).
Пусть теперь — -группа. Тогда . Покажем, что . Предположим, что . Пусть . Тогда в найдется максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как и — собственные подгруппы , то они принадлежат . Очевидно, что , не делятся на и . Тогда, согласно условию, . Противоречие. Отсюда следует, что — -замкнутая, но тогда — -замкнута. Тот факт, что ( — максимальный внутренний локальный экран ) следует из теоремы 2.2.5. Итак, — группа типа 3). Лемма доказана.
3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть — тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и — -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:
1) — группа простого порядка , где ;
2) — группа Шмидта;
3) — группа Шмидта;
4) , где и , где — группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, — простое число отличное от .
Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не -группа есть группа типа 1) — 4) из леммы 5.3.1.
Пусть — группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда . Пусть — максимальный внутренний локальный экран формации . Так как — тотально насыщенная формация, то — насыщенная формация. Согласно лемме . Пусть . Так как — насыщенная формация, то , что невозможно. Итак, . А это значит, что — группа простого порядка . Но тогда нетрудно заметить, что — группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, — группа Шмидта.
Пусть — группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда
где . Покажем, что — группа Шмидта. Так как — тотально насыщенная формация, то — насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что . Пусть — максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно теореме 2.2.5,
где .
Так как — тотально насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что . Отсюда следует, что — группа Шмидта. Лемма доказана.
3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть — наследственная разрешимая формация Фиттинга, — некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда содержит любую разрешимую группу , где и — -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , когда есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:
1) класс всех разрешимых -замкнутых групп;
2) класс всех разрешимых групп с -длиной ;
3) класс всех разрешимых групп таких, что — -группа, где — некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33] является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.
Пусть любая минимальная не -группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда является -формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 , где — некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Пусть любая минимальная не -группа является группой типа 1), 3). Тогда — -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
где — некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Согласно лемме 5.2.3, . А это значит, что .
Пусть любая минимальная не -группа — группа типа 1), 4). Пусть — максимальный внутренний локальный экран формации .
Известно, что
Покажем, что для любого простого числа из , отличного от , . Предположим противное. Пусть — группа наименьшего порядка из . Так как — наследственная формация, то . Так как — тотально насыщенная формация, то — насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что . Очевидно, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем . Так как — полный экран, то . А значит, — -группа, где .
Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где — поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то очевидно, что . Пусть — произвольная максимальная подгруппа из . Если , то . Отсюда следует, что . А значит, . Пусть . Тогда , где — некоторая максимальная подгруппа из . Так как , то . Так как , то из полноты экрана следует, что . Так как — внутренний экран, то . Итак, . Последнее противоречит тому, что — группа типа 4) из леммы 5.3.2.
Итак, для любого из . Тогда
Отсюда нетрудно заметить, что
Рассмотрим насыщенную формацию . Так как любая минимальная не -группа либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, то — -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,
где — некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Следовательно,
Как и в лемме 5.2.3 можно показать, что . Итак, — формация из пункта 3).
Нетрудно показать, что формация , у которой любая минимальная не -группа есть группа одного из типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций из пунктов 1), 2), 3) данной теоремы.
Достаточность следует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.
Заключение
В главе 1 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 1.4, и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6 .
В главе 2 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 2.2 .
В главе 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3 .
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып. 5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, № 3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994. — Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, № 1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций по заданным свойствам минимальных не -групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не -групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не -групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н. Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996. — № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые -достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н. Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938. — Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, № 8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989. — 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31, № 3. — С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174. — P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. — 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol. 91. — P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80, № 4. — P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: Kluwer Academic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3. — P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951. — Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.