Реферат: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломная работа
Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003
Реферат
Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.
Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.
Содержание
Введение
1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Заключение
Список использованных источников
Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
(0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4, с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
(0.2)
Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x3 +a1 x2 y+b1 xy2 +g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.
1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.1)
Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:
, (1.2)
где Fk (x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:
. (1.3)
Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:
F(x,y)ºx3 +a1 x2 y+b1 xy2 +g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d=0 (1.4)
Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3), где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:
(3x2+2a1 xy+b1 y2 +2a2 x+b2 y+b3 )(ax+by+a1 x2 +2b1 xy+c1 y2 )+(a1 x2 +
2b1 xy+3g1 y2 +b2 x+2g2 y+g3 )(cx+dy+a2 x2 +2b2 xy+c2 y2 )=(x3+a1 x2 y+b1 xy2 + (1.5)
g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d)(fx+gy+k).
Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений
xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):
3a1+ a1 a2 -f=0, (1.61 )
(2a1 +2b2 -f)a1 +2a2 b1 -g+6b1 =0, (1.62 )
2a1 c1 +(2b1 +2c2 -g)b1 +(6b2 -f)g1 =0, (1.63 )
(4b1 +c2 -g)a1 +(a1 +4b2 -f)b1 +3a2 g1 +3c1 =0, (1.64 )
c1 b1 +(3c2 -g)g1 =0; (1.65 )
ca1 +(2a1 -f)a2 +a2 b2 -k+3a=0, (1.71 )
(2a+d-k)a1 +2cb1+(4b1 -g)a2+(a1 +2b2 -f)b2+2a2 g2 +3b=0, (1.72 )
2ba1 +(a+2d-k)b1 +3cg1 +2c1 a2 +(2b1 +c2 -g)b2 +(4b2 -f)g2 =0, (1.73 )
bb1 +(3d-k)g1 +c1 b2 +(2c2 -g)g2 =0; (1.74 )
(2a-k)a2 +cb2 +(a1 -f)b3 +a2 g3 =0, (1.81 )
2ba2 +(a+d-k)b2 +2cg2 +(2b1 -g)b3 +(2b2 -f)g3 =0, (1.82 )
bb2 +(2d-k)g2 +c1 b3 +(c2 -g)g3 =0; (1.83 )
(a-k)b3 +cg3 -df=0, (1.91 )
bb3 +(d-k)g3 -dg=0, (1.92 )
dk=0. (1.93 )
Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93 ) в этом случае k=0.
Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2 =c1 =0, а коэффициенты a1, b1, g1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.
Уравнения (1.61 ) – (1.93 ) при этих предположениях будут иметь вид:
3a1 -f=0, (1.101 )
g+6b1 =0; (1.102 )
(2a1 -f)a2 +3a=0, (1.111 )
(4b1 -g)a2+(a1 +2b2 -f)b2+3b=0, (1.112 )
(2b1 +c2 -g)b2 +(4b2 -f)g2 =0, (1.113 )
(2c2 -g)g2 =0; (1.114 )
2aa2 +cb2 +(a1 -f)b3 =0, (1.121 )
2ba2 +(a+d)b2 +2cg2 +(2b1 -g)b3 +(2b2 -f)g3 =0, (1.122 )
bb2 +2dg2 +(c2 -g)g3 =0; (1.123 )
ab3 +cg3 -df=0, (1.131 )
bb3 +dg3 -dg=0. (1.132 )
Из условий (1.101 ) и (1.102 ) получаем, что
f = 2a1, g = 6b1 .
Из условия (1.114 ) имеем
(2c2 -g)g2 =0.
Пусть g2, тогда
2c2 -g=0 и g=2c2 ,
с другой стороны g = 6b1, значит
c2 =3b1 .
Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2 =3b1, из соотношений (1.111 ) – (1.113 ), (1.121 ), (1.123 ) и (1.131 ) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:
a2 = , b2 = ,
g2 = , b3 = ,
g3 = ,(1.15)
d = .
Равенства (1.122 ) и (1.132 ) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2 :
(2ab1 -ba1 )[3(32a1 b1 b2 -15a12 b1 -16b1 b22 ) a+(8a1 b22 -18a12 b2 +9a13 ) b+
24(a1 b12 -b12 b2 ) c+(16a1 b1 b2 -15a12 b1 ) d]=0, (1.16)
(2ab1 -ba1 )[12(7a1 b1 b2 -3a12 b1 -4b1 b22 ) a2 +6(3a1 b12 -4b12 b2 ) ac+(3a12 b1 -
-4a1 b1 b2 ) bc+2(4a12 b2 -3a13 )bd –8a1 b12 cd+4a12 b1 d2 ]=0. (1.17)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c 1 = a 2 = 0, c 2 = 3 b 1 .
Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:
mx+ny+p=0. (1.18)
В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа
a2 =c1 =0, c2 =3b1. (1.19)
Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:
m(ax+by+a1 x2 +2b1 xy)+n(cx+dy+2b2 xy+3b1 y2 )=
=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)
Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):
(a1 -a)m= 0, (1.211 )
(2b1 -b)m+(2b2 -a)n=0, (1.212 )
(3b1 -b)n=0; (1.213 )
(a-g)m+cn-pa=0, (1.221 )
bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222 )
pg= 0. (1.223 )
Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223 ) получаем, что g=0.
Условия (1.221 ), (1.222 ) запишутся в виде:
am+cn-pa=0, (1.231 )
bm+dn-bp= 0. (1.232 )
Из условий (1.211 ) и (1.213 ) имеем:
(a1 -a)m= 0,
(3b1 -b)n=0.
Пусть m¹0, тогда a1 -a=0 и
a=a1, (1.24)
а при n¹0, получаем, что 3b1 -b=0 и
b=3b1. (1.25)
Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212 ) находим выражение коэффициента m:
m=, (1.26)
а соотношение (1.231 ) даст значение коэффициента p:
p=. (1.27)
Из равенства (1.232 ), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):
[3(a1 b1 -2b1 b2 ) a+(2a1 b2 -a12 ) b-3b12 c+a1 b1 d] n=0. (1.28)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1 =a2 = 0, c2 = 3b1 .
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(2ab1 -ba1 )[3(32a1 b1 b2 -15a12 b1 -16b1 b22 ) a+(8a1 b22 -18a12 b2 +9a13 ) b+
24(a1 b12 -b12 b2 ) c+(16a1 b1 b2 -15a12 b1 ) d]=0,
(2ab1 -ba1 )[12(7a1 b1 b2 -3a12 b1 -4b1 b22 ) a2 +6(3a1 b12 -4b12 b2 ) ac+(3a12 b1 -
-4a1 b1 b2 ) bc+2(4a12 b2 -3a13 )bd –8a1 b12 cd+4a12 b1 d2 ]=0,
[3(a1 b1 -2b1 b2 ) a+(2a1 b2 -a12 ) b-3b12 c+a1 b1 d] n=0.
Причем b1 ¹0, a1 ¹0, 2b1 a-ba1 ¹0.
Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты
a1 =, b1 =1, b2 =0.
Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:
a-b-3c+d=0, (1.30)
-a+b+6c-d=0, (1.31)
-a2 +d2 +ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)
Выразим из условия (1.30) коэффициент c
c=a-b+d, (1.33)
подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d
d=(-21a+b). (1.34)
Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим
b=a.
Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:
b=a,
c=-a, (1.35)
d=-a,
a1 =, b1 =1, a2 =0, c1 =0, b2 =0, c2 =3b1 =3.
Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):
a2 =12a, b2 = -a,
g2 =a, b3 =a2 ,
g3 = -a2 ,d=a3, (1.36)
m= -n, p= -an.
Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).
2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости
Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35), т.е. систему:
(2.1)
Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:
x3 +12ax2 -axy+ay2 +a2 x-a2 y+a3 =0, (2.2)
-nx+ny-an=0. (2.3)
Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:
8192y4 -11776ay3 +5480a2 y2 -825a3 y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y0=0, y1 =a, y2 =a, y3 =a. (2.5)
Абсциссы точек покоя имеют вид:
x0=0, x1 = -a, x2 = -a, x3 = -a. (2.6)
Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия — , , , .
Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .
1. Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]
Отсюда
(2.7)
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:
==0.
,
Характеристическими числами для точкисистемы (2.1) будут
.
Корни — действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка — седло.
2. Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:
,
,
то есть
, .
Корни — действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка — устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.
3. Исследуем точку .
Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:
, .
Корни — действительные и одного знака. Следовательно, точка — седло при любом параметре a .
4. Исследуем точку .
Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:
,
Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут
,
Корни — действительные и одного знака.Следовательно точка — устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:
, (2.8)
которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:
(2.9)
Введем новое время . Система (2.9) примет вид:
(2.10)
Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
(2.11)
Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем
Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1 (0,0) N2 (0,).
Исследуем характер точек N1, N2 .
1. Исследуем точку N1 (0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1 :
(2.12)
Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:
Получим, что
Корни — действительные и одного знака. Следовательно, точка N1 (0,0) — устойчивый узел.
2. Исследуем точку N2 (0,).
Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2 :
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни — действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2 (0,)-седло.
Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:
(2.14)
Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:
(2.15)
При z=0, получаем:
(2.16)
Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем
Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3 (0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3 :
соответственно характеристическими числами будут являться
Корни — действительные и одного знака. Следовательно, точка N3 (0,0) – устойчивый узел.
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.
| a | О | А | В | С | ∞ | ||
| N1 | N2 | N3 | |||||
| (-∞;0) | с | У+ | с | У- | У+ | с | У+ |
| (0;+∞) | с | У- | с | У+ | У+ | с | У+ |
Примечание: через с, у+, у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.
Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а, б).
а ) (a>0)
б) (a<0)
Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.
Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1, w — сепаратрисы – к точке С и N3 .
В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.
2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.
4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.
6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.
11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Поведение траекторий системы (2.1)
а) (а>0)
б) (а<0)
Рис. 2