Реферат: История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

РЕФЕРАТ

для сдачикандидатского экзамена по истории и философии науки

(История математики)

Тема: «Историявозникновения и развития методов реконструкции математических моделейдинамических систем по порождаемому временному ряду»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….......3

§ 1. Возникновение и развитие теориидинамических систем………………...5

§ 2. Развитие методов реконструкцииматематических моделей динамических систем…………………………………………………………………………….15

Заключение……………………………………………………………………….23

Список литературы………………………………………………………………24

Введение

          В развитииразличных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказываетсущественное влияние. Современноеразвитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложныхпроцессов и явлений. Происходит значительное увеличение темпов математизации ирасширение ее области действия. Теории математики широко применяются в другихнауках, казалось бы совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Этовызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовалпривлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлениемновых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и такдалее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Математическоемоделирование по временным рядам – бурно развивающееся направлениематематической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимациимножества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящеевремя эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностныхуравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.

Использование современныхкомпьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки данных исовременными математическими пакетами в значительной степени облегчает получениемодельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных сигналов,типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения эмпирическихмоделей весьма разнообразны – от прогнозов будущего до технической и медицинскойдиагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно сложно[4].

В реферате предпринятапопытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновенияи развития методов реконструкции математических моделей динамических систем.В первом параграфе рассмотрено возникновение теории динамических систем,понятий динамическая систем, вычислительный эксперимент, математическаямодель и хаос. Во втором параграфе рассматривается развитие методовреконструкции математических моделей динамических систем, применениякомпьютеров для проведения вычислительных экспериментов.

§ 1.Возникновение и развитие теориидинамических систем

Перваялиния развития, которая вела к появлению теории динамических систем, связана снебесной механикой. Основоположниками классической механики принято считатьИсаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа, Уильяма Гамильтона.Результатом их деятельности стало формирование представления о том, что сейчасназывают гамильтоновой или консервативной динамической системой. Проблема трёхтел в небесной динамике, – первая задача, анализируя которую исследователистолкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. Впервые об этом написалАнри Пуанкаре. Результатом изучения системы трёх тел стало развитие теории возмущений.

С развитием компьютероввозможности изучения и наглядного представления сложной динамики расширились.Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики сталаработа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения звезды черезгалактический диск.

Значительный прогресс впонимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом связан стеорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольд, атакже американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое значениеполучили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.

Вторая линия развитиясвязана со статической физикой и формированием эргодической теории. Какизвестно, состоятельное описание в статической физике достигается только врамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении,что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построеныфизические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике.Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривалифазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большогочисла микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себесистема должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этомпространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёлэргодическую гипотезу – предположение о том, что имеется по существу толькоодна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П.Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должнапроходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности.Результатом  стало формирование отдельной математической дисциплины –эргодической теории или метрической теории динамических систем.

Появление компьютеровпозволило в начале 50-х годов Ферми, Паста и Уламу предпринять попыткупронаблюдать в вычислительном эксперименте процесс установлениятермодинамического равновесия в цепочке связанных нелинейных осцилляторов.Результат оказался совершенно неожиданным: вместо релаксации к равновесиюнаблюдался квазипериодический процесс. Эта работа показала, что проблемазначительно сложнее, чем виделась раньше и дала тем самым толчок исследованиям,приведшим впоследствии к представлению о распределённых системах, а также кпонятию солитона. Как выяснилось, свойство эргодичности само по себе неявляется ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснованиястатистической физики. По настоящему существенным является неустойчивостьфазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий исвязанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Однимиз первых эту идею разработал Н. С. Крылов (1917-1947).

Количественнаяхарактеристика неустойчивости траекторий известна как ляпуновскийхарактеристический показатель – величина, введённая русским математиком А.М.Ляпуновым (1857-1918). В 1968 г. советский математик В.И. Оселедец опубликовалважнейший результат – так называемую мультипликативную эргодическую теорему,которая позволяет говорить о ляпуновских показателях, определённых не для однойфазовой траектории, а для множества траекторий.

Были введены и другиехарактеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, –динамическая энтропия, известная как энтропия Колмогорова–Синая (1959) итопологическая энтропия (1965).

(1917{1947)

Третьялиния развития связана с радиотехникой, электроникой, теорией автоматическогорегулирования. Основоположником этого направления развития теории динамическихсистем был Б. Ван-дер-Поль. С этим именем связан генератор и осцилляторВан-дер-Поля – классическая модель нелинейной системы, демонстрирующейпериодические автоколебания. Около 1927 г. Ван-дер-Поль и Ван-дер-Маркисследовали динамику такого генератора под периодическим внешним воздействием.Режим работы устройства контролировался по звуку работы в наушниках. Исследова­тели отметили явление синхронизациипри определенных раци­ональных соотношениях частоты воздействия и собственнойча­стоты и шумоподобныеколебания при переходах между областями захвата.Возможно, это первое документально зарегистрированное экспериментальное наблюдение хаоса.

Работа Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка повлиялана работу Картрайт и Литтлвуда (1945). В этой работе, посвященнойматематическому исследованию уравнения автоге­нераторапод периодическим внешним воздействием, была обна­ружена необычайная сложность динамики, в частности,наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодическихорбит. Эта ра­бота впоследствии оказала влияние на математиков, создававших основы математической теории сложной динамики ихаоса.

В России в 20-е годы в Московском университете сформиро­валась сильная научная школа Л.И.Мандельштама(1879-1944). Интересы этой школы охватывали, в частности, радиофизику,оп­тику, колебательные процессы в системах различной природы. Мандельштампервым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейныхколебаний, — до этого по­лагали, чтонелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик Ман­дельштама А.А. Андронов (1901-1952) установил, чтоадекватным математическим образомпериодических автоколебаний являются предельныециклы, введенные Пуанкаре в его качественной тео­рии дифференциальных уравнений. Мандельштам сразу понял важностьэтого достижения и настоял на немедленной публикации результата. Андроновпривлек также для анализа автоколебатель­ныхсистем созданный А.М.Ляпуновым аппарат теории устой­чивости. Одно из важных достижений — исследованиемомента возникновения автоколебанийпри изменении параметров, ситу­ации,которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде(Горьком), где вокруг негоформируется крупная научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходитклассическая книга А. А. Андронова, А.А.Виттаи С.Э.Хайкина «Теория колебаний». Один из соавто­ров книги – Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено ивосстановлено только в последующихизданиях.

Одним из важных достижений развивающейсятеории нели­нейныхколебаний стало формирование Андроновым и Понтрягиным представления о грубых или структурно-устойчивых систе­мах. Представим себе пространство, точки которогоизображают динамические системы.Система грубая, если около соответству­ющей ей точки пространства систем можноуказать такую окрест­ность, что в ней будут располагаться только системы стопологи­чески эквивалентным устройством фазового пространства. В про­странстве параметров грубые системы занимают целыеобласти. Эти области разграничены поверхностями, где располагаются не­грубые системы коразмерности один. На этихповерхностях могут располагатьсялинии коразмерности два и т. д.

Исследовательская программа нелинейной теорииколебаний по Андронову и Понтрягину и состоит в выделении иизучении грубыхситуаций, а затем негрубых в порядке возрастающей ко­размерности. Что касаетсянегрубых ситуаций, то они составляют предметтеории бифуркаций — глубокой и хорошо развитой математической дисциплины, одного из краеугольных камней нели­нейной динамики.

С 1970 г. с интервалом в 2 года в Горькоморганизуются школы-семинары по нелинейным колебаниям и волнам, в которых участ­вуют ведущие советские ученые. Этих школ состоялось9, и они во многом определили распространение в нашей стране идей не­линейной динамики и динамического хаоса. Еще однашкола, восстанавливающая прерванную традицию, уже международная, состояласьв 1995 г. В формировании, распространении и популя­ризации в России представлений о хаотической динамике большую роль сыграли А. В. Гапонов-Грехов, Ю.И.Неймарк,М.И.Рабино­вич, Л. П. Шильников. В1979 г. Кияшко, Пиковский и Рабинович предложили, по-видимому, первыйпростой радиотехнический ав­тогенератор, вкотором целенаправленно был реализован режим хаотических автоколебаний.

Четвертая линия развития связана сгидродинамикой и про­блемой турбулентности. В1883 г. была опубликована работа английского физика ОсборнаРейнольдса (1842-1912) «Экспериментальное исследование об­стоятельств, которыеопределяют, будет ли движение воды прямо­линейным или волнистым, и озаконе сопротивления в параллель­ных каналах». В зависимостиот безразмерного параметра, из­вестного теперь как число Рейнольдса), движение воды в трубкебыло ламинарным или турбулентным. Хотя основные уравнения, описывающие динамику вязкой жидкости — уравненияНавье-Стокса, уже были известны, причины возникновения турбулент­ности оставались загадкой. С тех пор вопрос оприроде турбулент­ности стоял переднаукой, приобретая со временем все большую остроту. Около 1920 г. английский физик Л.Ричардсон развил качественные представления о том, что втурбулентном течении имеется переносэнергии от крупных ко все более и более мел­ким завихрениям, пока энергия не диссипирует из-за вязкости в малыхмасштабах. В 1941 г. была предложена теория турбулент­ности Колмогорова-Обухова. Анализ основывался на предположе­нии, что при больших числах Рейнольдса турбулентноесостоя­ние можно считать локально однородным и изотропным в стати­стическомсмысле, и о том, что имеет место каскадная передача энергии от крупных пространственных масштабов к мелким в так называемом «инерционном интервале» — областимасштабов, где вязкостьнесущественна.   Замечательно простая и глубокая теория приводила ко вполне определенномутеоретическому предска­занию —распределение энергии по спектру должно быть пропор­ционально /г~5'3, где к –волновое число («закон пяти третей»). К настоящему времени полученыэкспериментальные данные, хо­рошосогласующиеся с этим законом, но осознана также необхо­димость внесения уточнений в теорию.

Другое направление в попытках понять природу турбулентно­сти состояло в поисках ответа на вопрос — каквозникает турбу­лентность, если постепенноувеличивать число Рейнольдса, начав от малых значений, когда течениезаведомо ламинарное. В 1944 г. былаопубликована статья советского физика Л.Д.Ландау (1908— 1968) «К проблеме турбулентности». В этой замечательнойдля своего времени статье Ландаупредположил, что турбулентность возникаетв результате большого числа (каскада) последователь­ных бифуркаций, каждая из которых состоит впоявлении ко­лебаний с новойчастотой. Вновь возникающие частоты в ти­пичном случае находятся в иррациональномсоотношении с ранее возникшими частотами.Аналогичные представления развивал несколько позже немецкий математикЭ.Хопф (1902-1983; работа «Математическийпример, демонстрирующий особенности турбу­лентности» опубликована в 1948). Поэтому данную картину воз­никновениятурбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. Подчеркнем, что этим работам предшествовало формирование пред­ставлений об автоколебаниях, предельных циклах ибифуркациях в радиофизике и теории колебаний.

В 1963 г. американский метеоролог Э.Лоренцопубликовал статью «Детерминированное непериодическое течение», вкоторой обсуждалисьрезультаты численного интегрирования с помощью компьютера системы трех обыкновенных дифференциальных урав­нений,моделирующей динамику жидкости при конвекции в по­догреваемом снизу слое. Будучи хорошо образованным матема­тически,Лоренц подверг полученные результаты тщательному и глубокому обсуждению,акцентировав внимание на взаимосвязи междунаблюдаемой сложной динамикой и присущей системе не­устойчивостью фазовых траекторий. Позднее этосвойство хаоти­ческой динамики пропагандировалось им под названием«эффект бабочки»: в приложении к метеорологиивзмах крыльев бабочки может черездостаточное время повлечь суще­ственноеизменение погоды где-то совсем в другом месте. При­мерно в то же самое время А. Н. Ораевский ссоавторами также по­лучилинепериодические решения для аналогичных уравнений в теории одномодовоголазера. Как работа Лоренца, опубликованная вметеорологическом журнале, так и работа Ораевского не были своевременно замечены и оценены.

В 1971 г., основываясь на достигнутом кэтому времени про­движении в математических исследованиях,Д.Рюэль и Ф. Такенсвыступили с работой «О природетурбулентности». Подвергнув кри­тике теорию Ландау, ониаргументировали, что уже после включе­ния в игру относительно небольшого числа частот(трех или четы­рех в зависимости от некоторыхматематических деталей) дина­микаможет стать турбулентной и, в частности, демонстрировать характерный дляслучайного процесса сплошной спектр. Это свя­зывалось с появлением в фазовомпространстве «странного аттрак­тора»— ключевой термин, введение которого определило истори­ческое значение работы Рюэля и Такенса.Подчеркивалось нали­чиенеустойчивости фазовых траекторий на странном аттракторе и его нетривиальная геометрическая структура — онпредставлял собой то, что сталиназывать фрактальным множеством или про­сто фракталом.

С точки зрения интерпретации результатов,работа Рюэляи Такенса также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, которые возникают в связи с предложенной ими карти­ной перехода к турбулентности, до сих пор остаютсяоткрытыми. Надо сказать, чтоаргументация и в работе Ландау, и в работе Рюэля и Такенса носила столь общий характер, что имела рав­ное отношение как к возникновению турбулентности,так и к воз­никновению сложной динамики в диссипативных системах другой физической природы. Дальнейшее понимание возможныхтипов перехода произошло благодаряеще одной линии развития.

Попытки математического описания биологических проблем динамики популяций восходят к Томасу Мальтусу(1766-1834), ав­тору нашумевшей концепции о том, что численность людей возра­стаетв геометрической прогрессии, а средства поддержания жизни лишь варифметической. Поэтому численность населения должна регулироваться войнами, эпидемиями и пр. Марксисты, как из­вестно, заклеймили эту теорию как человеконенавистническую.Не входя в полемику, заметим, что вотсутствие факторов, сдер­живающих рост населения, изменение численностипопуляции из года в год «по Мальтусу» можноописать как хп+\ = Rxn, гдеR— параметр, определяющийусловия жизни популяции. Ввести сдер­живающийфактор можно, если добавить в уравнение нелинейный, например, квадратичный член: жп+1 = R(xn— x2n). Полученноесоотношение называют логистическим отображением и оно дей­ствительнонеплохо описывает, по крайней мере, с качественной стороны,динамику некоторых биологических популяций.

Интересный результат, проливающий свет навозможность сложной динамики в логистическом отображении, былполучен в конце 40-х годов в работе американских математиков Станислава Улама(1909-1984) и Джона фон Неймана. Они показали, что для случаяR= 4это отображение путем замены переменных сводится к форме, допускающейтривиальный анализ, причем оказывается, что выбором начальной точки хможно реализовать любую на­перед заданную последовательность знаковвеличины х — хтах.

В 1975 г. американские математики Ли и Йоркеопубликовали работу «Период три означает хаос». Речь шла о том, чтоесли причастном значении параметра логистическое или другое одно­мерное отображение вида хп+\ = f(xn) имеетцикл периода три, то оно имеет бесконечное множество циклов всехпрочих перио­дов. Эта работа привлекла большое внимание, и стоитотметить, чтоименно в ней в контексте нелинейной динамики впервые по­явился термин «хаос», ставший впоследствии общепринятым обо­значениемвсей области деятельности, о которой мы ведем речь. Только через несколько летна Западе стало широко известно, что еще в1964 г. советский математик А. Н. Шарковский опубликовал гораздо болеесодержательную теорему, устанавливающую самые общие закономерностисосуществования циклов различного пери­ода водномерных непрерывных отображениях.

К середине 70-х годов было уже хорошо известно, что при увеличениипараметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Соответству­ющие компьютерные результаты очень наглядно былипредста­влены, например, в работеРоберта Мэя (1976). В это время, занимаясьисследованием удвоений периода с помощью карман­ного калькулятора, американский физик Митчел Фейгенбаум, ра­ботавшийв Лос-Аламосской национальной лаборатории, обнару­жил, что точки бифуркаций удвоения периода накапливались к определенному пределу – порогу возникновения хаосапо закону геометрической прогрессии с показателем 4,669… Этотпоказатель оказался универсальным, т. е.возникал и в других отображениях, и, как затем выяснилось, в нелинейныхдиссипативных системах самого разного вида.

Используя аппарат, аналогичный развитому ранее в теории фазовых переходов, – метод ренормализационной группы,Фейгенбаум построил замечательную теорию, объясняю­щую универсальность удвоенийпериода (1978-1979). Теория эта выгляделаслишком формально, с точки зрения физи­ков, и слишком нестрого, с точкизрения математиков, так что Фейгенбаумудалеко не сразу удалось опубликовать статью с из­ложением своихрезультатов. Эта задержка отчасти компенсиро­валасьтем, что Фейгенбаум активно рассказывал о своей работе на конференциях и семинарах.

В дальнейшем переход к хаосу черезудвоения периода, демонстрирующий обнаруженные свой­ства универсальности,наблюдался в огромном количестве нели­нейныхсистем различной физической природы и в их моделях. Одна из первых очень аккуратных работ –эксперимент по кон­векции в жидкомгелии (1979). Работа Фейгенбаума стимулировала также изучение иренормгрупповое описание [10].