Реферат: Исследование функций

Монотонность.Одной из важных характеристик функции является её поведение на отдельных промежутках, а именно возрастание или убывание.

Определение.Функция , определенная на промежутке Х называется неубывающей на промежутке Х, если выполняется

;

невозрастающей на этом промежутке, если выполняется

.

Если неравенства и, т. е. строгие, то функция называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей.

Невозрастающие или неубывающие функции называются монотонными функциями. Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции называются строго монотонными.

Теорема 6 (необходимый и достаточный признак монотонности).Для того чтобы дифференцируемая на открытом промежутке функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достаточно, чтобы:

.

Следствие.Если, то строго возрастает на, если, то строго убывает на .

Отметим, что условия и не являются необходимыми для строгого возрастания и убывания. Например,, а функция строго возрастает всюду.

Теорема остается справедливой для непрерывных функций, не имеющих производных в конечном числе точек. Для проверки достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал множеством точек, где производные не существуют.

Экстремумы.Пусть функция определена на открытом промежутке .

Определение 5. Точка называется точкой максимума функции, если существует некоторая окрестность точки, что

.

Точка называетсяточкой минимума функции, если

.

Если выполняется условие (или ), то называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

очки максимума и минимума (строгого max и строгого min) называются точками экстремума функции. На рисунке x1 — точка максимума, а x2 — точка минимума.

Теорема 7 (необходимый признак экстремума).Если дифференцируемая в окрестности точки и функция имеет в точке экстремум, то

Точки, в которых называются стационарными. Точки, в которых первая производная равна 0 или не существуют, называются критическими.

Теорема 8(достаточный признак экстремума).Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, может быть самой точки ). Тогда, если при, а при, то — точка строго локального максимума. Если при, а при, то — точка строгого минимума.

Примеры. Определить интервалы монотонности и найти экстремумы.

1). Найдем сначала критические точки.

.

Проверим признак в каждой критической точке, одновременно исследуя монотонность.

2) поэтому экстремумов нет и функция всюду возрастает.

3);. Производная в точке не существует, но при переходе через неё изменяет знак с плюса на минус, поэтому есть точка max.

4);. Функция всюду возрастает, экстремумов нет.

Выпуклость и точки перегиба функции. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки.Тогда уравнение

( )

есть уравнение касательной к графику в точке .

Определение.Функция называется выпуклой (выпуклой вверх) в окрестности точки, если выполняется условие:

,

т.е. график расположен ниже касательной в точке .

Функция наз. вогнутой (выпуклой вниз) в ) в окрестности точки, если

,

т.е. график расположен выше касательной в точке .

Определение. Функция называется выпуклой на открытом промежутке , если она выпуклая в окрестности любой точки .

Определение.Точка называется точкой перегиба непрерывно дифференцируемой в проколотой окрестности точки функции, если в этой точке изменяется характер выпуклости (рис.5).

Теорема 9.Пусть имеет на открытом промежутке производные до 2-ого порядка включительно, причем непрерывна в точке тогда:

а)если, то при функция выпуклая в окрестности точки, при функция выпуклая вниз, т.е. вогнутая.

б) если изменяет знак при переходе через точку, то -точка перегиба функции. Кроме того, если существует, то .

Примеры.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба следующих функций.

1) ;

Решение.; .Следовательно,точка перегиба, т.к. изменяется знак второй производной при переходе через эту точку.

2) .

Решение. , в т. неопределенна. Т.к., то x=0 – точка возврата.

Асимптоты. Часто оказывается, что график функции неограниченно близко приближается к некоторой прямой, т.е. расстояние от графика до этой прямой при удалении по графику становится как угодно малым. Такие прямые называются асимтотами.

Определение.Прямая называется вертикальной асимптотой функции, если хотя бы один из пределов или равен или .

Примеры. 1)Функцияимеет вертикальнуюасимптоту, т.к.

; .

2); .Прямая x=0-вертикальная асимптота.

Определение.Прямая называется наклонной асимптотойфункции при ,если

Теорема 10.Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой функции при необходимо и достаточной, чтобы существовали пределы: