Реферат: Использование расчетных формул в задачах
Задача 1.
Определить центр тяжести сечения.
Решение
Укажем оси координат X и Y с началом в нижнем левом углу сечения.
Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1 с центром тяжести С1 и квадрат 2 с центром тяжести С2 .
Координаты центра тяжести С сечения находим по формулам:
и , где
x 1 = 15 мм — координата центра тяжести С1 прямоугольника по оси Х ;
y 1 = 30 мм — координата центра тяжести С1 прямоугольника по оси Y ;
x 2 = 45 мм — координата центра тяжести С2 квадрата по оси Х ;
y 2 = 15 мм — координата центра тяжести С2 квадрата по оси Y ;
F 1 = = 1800 мм2 — площадь прямоугольника;
F 2 = = 900 мм2 — площадь квадрата.
Тогда
мм, мм.
Задача 2.
К стальному валу приложены три известных момента М 1, М 2, М 3. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).
Для стали принять G = МПа. Полярный момент инерции м4
a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,
М 1 = 1900 Нм, М 2 = 1200 Нм,
М 3 = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.
Решение.
1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE
.
Отсюда определим момент X
Х = 1178,125Нм
2) Строим эпюру крутящих моментов M К (см. рис а )
Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент М Е, который определим из уравнения равновесия:
; М Е – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0
М Е = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм
При построении эпюры крутящих моментов М К применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.
Для участка DE :
; Нм
Для участка CD :
; Нм
Для участка ВС :
; Нм
Для участка АВ :
; Нм
3) Определяем диаметр вала
Из эпюры максимальный М К = 1221,875 Нм на участке DE. На этом участке возникает максимальное касательное напряжение , где WP – момент сопротивления сечения
Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала
0,043 м или 43 мм,
Согласно условиям задачи принимаем d = 45 мм.
4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в ) для всех участков по формуле
.
Выбираем начало координат в точке Е.
Участок DE :
Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного сечения Е, будет
, где ;
при z = 0 φ = 0;
при z = a = 1,9 м
= – 0,071 рад.
Участок CD :
, где
при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;
при z = (a + b ) = 3,1 м = – 0,046 рад.
Участок BC :
, где
при z = (а + b ) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;
при z = (a + b + c ) = 4,5 м = – 0,068 рад.
Участок AB :
, где
при z = (а + b + c ) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;
при z = (2a + b + c ) = 6,4 м = 0 рад.
5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE
== 0,037 рад/м
Задача 3.
Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:
1) определить положение центра тяжести;
2) найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;
3) определить направления главных центральных осей инерции;
4) найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;
5) вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.
Схема сечения состоит из двух прокатных профилей:
профиля I — швеллера № 30,
профиля II — двутавра № 33.
Решение.
Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:
hI = 300 мм, bI = 100 мм, dI = 6,5 мм, tI = 11 мм,
см4, см4, А1 = 40,5 см2, z = 2,52 см.
Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:
hII = 330 мм, bII = 140 мм, dII = 7 мм, tII = 11,2 мм,
см4, см4, А2 = 53,8 см2 .
Выбираем вспомогательные оси V, Z и определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения
19,7 см;
13,4 см.
Вспомогательные центральные оси X C и Y C параллельны осям V и Z .
Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные осиX C и Y C параллельны осям центральным осям швеллера и двутавра, относительно которых моменты инерции известны.
Тогда
Осевые моменты инерции
см4 = м4
см4 = м4
Центробежный момент инерции
Для швеллера оси X 1, Y 1 являются главными, поэтому . Для двутавра оси X 2, Y 2 являются главными, поэтому .
Тогда
см4 = м4
Определяем положение главных осей инерции составного сечения (угол наклона) к исходной оси X C
–1,165 .
Определяем главные моменты инерции составного сечения по формулам
м4 ;
м4 .
Проверим правильность расчетов по выполнению соотношений
м4
м4
, то есть расчет произведен точно.
Задача 4.
Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ] = 30 Н/мм2. Мощности P1 = 52 кВт, Р2 = 100 кВт, Р3 = 60 кВт. Угловая скорость ω = 32 рад/с.
Решение
Разбиваем вал на три участка – по сечениям, в которых приложены вращающие моменты. Находим вращающие моменты
= 1625 Нм, = 3125 Нм, = 1875 Нм.
Равномерное вращение обеспечивается условием
; =0; = – 375 Нм.
Знак «–» указывает, что момент M 4 направлен в противоположную сторону, указанному в условии задачи.
Крутящий момент на участке 1
Справа ;
3125 Нм.
Крутящий момент на участке 2
Справа ;
3125 – 1875 = 1250 Нм.
Крутящий момент на участке 3
Справа ;
1625 + 3125 – 1875 = 375 Нм.
По полученным результатам строим эпюру.
Диаметр вала определяем для наиболее напряженного участка.
Наиболее напряженный участок – первый – 3125 Нм.
Касательное напряжение сечения вала . Из условия прочности .
Отсюда = 80,5 мм.