Реферат: Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц

Министерствонауки и образования Украины

ДГМА

Реферат

на тему:

Задачилинейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решениезадач на преобразование матриц.

Подготовил

учащийся1КД гр.

СергейШрам

Краматорск

2003

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц.Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

 

Прирешении различных задач математики очень часто приходится иметь дело стаблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системылинейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различныезадачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицейназывается прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество mстрок и некоторое количество п столбцов. Числа т ипназываются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрицаназывается квадратной, а число m= n— ее порядком.

Вдальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либокруглые скобки:

/>     или       />

Для  краткого обозначения матрицы часто будетиспользоваться либо одна большая латинская буква  (например, A), либо символ  || aij<sub/>|| ,  а иногда с разъяснением:  А = || aij<sub/>|| =    (aij<sub/>),где(i= 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

Числаaij<sub/>, входящие в состав данной матрицы, называются ееэлементами. В записи aijпервый индекс і означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.  В случае квадрат-ной матрицы

/>              (1.1)

вводятсяпонятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1)называется диагональ а11  а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правыйнижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ аn1  а(n-1)2 … a1n<sub/>, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Основныеоперации над матрицами и их свойства.

 Прежде всего, договоримсясчитать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все ихсоответствующие элементы совпадают.

Перейдемк определению основных операции над матрицами.

Сложениематриц. Суммой двух матриц  A= || aij<sub/>||,  где(i= 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || bij<sub/>|| , где(i= 1, 2, ..., т,  j=1, 2,..., n)  одних итех же порядков т ип называется матрица С = || cij<sub/>||  (і =1,2, ..., т;  j= 1, 2,...., п) тех же порядков т ип, элементы сij<sub/>  которой определяются по формуле

/> ,  где(i= 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)           (1.2)

Дляобозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операциясоставления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

/> + /> = /> 

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2)непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми жесвойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

1)переместительным свойством: А + В = В  + А,

2)сочетательным свойством: (A+ B) + С = А + (В + С).

Этисвойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц присложении двух или большего числа матриц.

Умножениематрицы на число. Произведением матрицы  A = || a ij<sub/>||,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1,2, ..., n)   на вещественное число l, называется матрица  С = || cij<sub/>||   (і =1,2, ..., m;  j= 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле:

/> ,   где(i= 1, 2, ..., т,  j=1, 2,..., n)   (1.3)

Дляобозначения произведения матрицыі на число используется запись С = lA или С = А l. Операциясоставления произ­ведения матрицы на число называется умножением матрицы на эточисло.

Непосредственноиз формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующимисвойствами:

1)сочетательным свойством относительно числового множителя: ( lm) A= l( mA);

2)распределительным свойством относительно суммы матриц: l(A+ B)= lA+ lB;

3)распределительным свойством относительно суммы чисел: (l+ m) A= lA+ mA

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковыхпорядков т ип естественно назвать такую матрицу С тех жепорядков т ип, которая в сумме с матрицей B даетматрицу A. Для обозначения разности двух матриц используетсяестественная запись: С = A— В.

Оченьлегко убедиться в том, что разность С двух матриц А и Вможет быть получена по правилу  С  = A+ (–1)В.

Произведениематриц или перемножение матриц.

Произведениемматрицы A= || aij<sub/>|| ,  где (i= 1, 2,..., m,  j= 1, 2, ..., n) имеющей по­рядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || bij<sub/>|| , где(i= 1, 2, ..., n,  j=1,2, ..., р), имеющую порядки,соответственно равные n и р, называется матрица С = || cij<sub/>||   (і =1,2, ..., m;  j= 1, 2, ...., р), имеющая порядки,соответственно равные т ир элементы  которой определя-ются поформуле:

/>  где  (i = 1, 2, ..., m,   j = 1, 2, ..., p)      (1.4)

Дляобозначения произведения матрицыі А на матрицу В используютзапись С = А ×В. Операция составления произведения матрицы Ана матрицу В называется перемножением этих матриц.

Изсформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить нена всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А былоравно числу строк матрицы В.

Формула(1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейсяпроизведением матрицы  А на матрицу В. Это правило можносформулировать и словесно: элемент ci<sub/>jстоящий на пвресечении і-й строки и j-гостолбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующихэлементов і-й строки матрицы А и j-гостолбца матрицы В.

Вкачестве примера применения указанного правила приведем формулу перемноженияквадратных матриц второго порядка.

/>  ×/>/>    =  />

Изформулы (1.4)  вытекают следующие свойства произведения матрицы  А наматри-цу В:

1)сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

( A + B ) С = А С + В С  или  A ( В+ С ) = A В + А С.

Вопросо перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы Aна матрицу  В  имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц Aи В одинакового порядка.

Приведем важныечастные случаи  матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство.Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство,принято називать коммутирующими.

Средиквадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой изкоторых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждаядиа-гональная матрица порядка  п имеет вид

D = />                     (1.5)

где d1 , d2 , …, dn—какие угодно числа. Легко видеть, что если все этичисла равны между собой, т. е. d1 = d2  = … =dn  то для любой квадратной матрицы Апорядка п справедливо равенство АD=DА.

Средивсех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d1 = d2  = … =dn<sub/>= = dособо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d= 1, называется единичной матрицей n-гопорядка и обозначается символом  Е. Вторая матрица получается при d= 0, называется нулевой матрицей n-гопорядка и обозначается символом O. Таким образом,

E = />                                  O = />

Всилу доказанного выше А Е = Е А и  А О = О А. Более того, легкопоказать, что

А Е = Е А = А,   А О = О А = 0.           (1.6)

Перваяиз формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е,аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественныхчисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет нетолько вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

А+ 0 = 0 + А = А.

Взаключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и длянеквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементыкоторой равныї нулю).

 

Блочные матрицы

 Предположим,что некоторая матрица A= || aij<sub/>|| припомощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольныеклетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров иназывается блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможностьрассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б ло ч н о й) матрицыі А = || Aab<sub/>||, элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаембольшой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря,матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумяиндексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер«блочного» столбца.

Например, матрицу

/>

можно рассматривать как блочную матрицу

/>

элементами которой служатследующие блоки:

/>                        />

/>                        />

Замечательным является тот факт, что основные операции сблочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются собычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

Понятие определителя.

Рассмотримпроизвольную квадрат­ную матрицу любого порядка п:

A = />                              (1.7)

Скаждой такой матрицей свяжем вполне определенную числен­ную характеристику,называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Еслипорядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одногоэлемен-та аi<sub/>jопределителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовемвеличину этого элемента.

Еслидалее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеетвид

A = />                                   (1.8)

тоопределителем второго порядка, соответствующим такой мат­рице, назовем число,равное а11 а22 — а12 а21  иобозначаемое одним из символов:

/>

Итак,по определению

/>                             (1.9)

Формула(1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка поэлементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правилатакова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равенразности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второгои более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейныхуравнений.

Рассмотрим,как выполняются операции с матрицами в системе  MathCad.Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов.Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическомудействию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотримматричные и векторные операции MathCad 2001.  Векторы являются частным случаемматриц размерности n x 1,  поэтому для них справедливы все теоперации, что и для матриц, если ограничения осо­бо не оговорены (например,некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы толькодля векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря наодинако­вое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

/> <td/> />
При работе с матрицами используется панель инструментов “Матрицы”

 

Рис.1Панель инструментов  Матрицы

Дляввода матрицы:

q введите имя матрицы и знакприсваивания (двоеточие)

q щелкните по значку “создатьматрицу” в панели “Матрицы”.

q 

/> <td/> />
В появившемся диалоге задайте число строк истолбцов матрицы.

 

q После нажатия кнопки OKоткрывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элементматрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры числоили выражение.

Длятого, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:

q выделить матрицу и щелкнуть впанели по кнопке операции,

q или щелкнуть по кнопке в панели иввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню“Символы” содержит три операции — транспонирование, инвертирование,определитель.

Этоозначает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель.

Номерпервой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN.По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вестиотсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1,нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.

Функции,предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе“Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызываетсякнопкой  на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаныпозже.

 

Транспонирование

Рис.2  Транспонирование матриц

  /> <td/> />
Транспортированием называют операцию, переводящую матрицуразмерно­сти mxn в матрицу размерности n x m, делая столбцы исходной матрицы стро­ками, астроки — столбцами. Пример приведен в листинге на рис.2. Ввод символатранспонирования (transpose) осуществляется спомощью панели инстру­ментовMatrix(Матрица) или нажатием клавиш <Ctrl>+<1>.He забывайте, что для вставки символа транспонированияматрица должна находиться ме­жду линиями ввода. Напоминание о линиях вводапо отношению к матрицамприведеноранее.

Сложение

/> <td/> />
В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитатьих друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+> или <->соответст­венно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выда­носообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен суммесоответствующих элементов матриц-слагаемых (пример на рис.3)./> <td/>

Рис.3  Сложение матриц

 
/> <td/> />

Рис.4  Сложение матрицы со скаляром

  Кроме сложения матриц, MathCAD поддерживаетоперацию сложения матрицы со скалярной величиной, т.е. числом (пример нарис.4). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответст-вующегоэлемента исходной матрицы и скалярной величины.

 

Рис.5   Смена знака матрицы

  /> <td/> />
Результатсмены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобыизменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как передобычным числом  (пример на рис.4).

Умножение

При умножении следует помнить, что матрицу размерности mxn допустимо умножать только наматрицу-размерности nxp (рможет быть любым). В результате получается матрица размерности mх р.

/> <td/> />
Чтобы ввести символ умножения, нужнонажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментовMatrix(Матрица), нажав наней кнопку DotProduct(Умножение) (рис.1). Умножение матриц обозначается по умолчаниюточкой, как показано в примере на рис 6. Символ умножения матриц можно выбирать точнотак же, как и в скалярных выражениях.

Рис.6   Умножение матриц

  Обратитевнимание, что попытка перемножить матрицы Aи B несоответствующего(одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знакаравенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе MathCad выделяетсякрасным цветом. При установке курсора на это выражение, появляется сообщение онесовпадении числа строк первой матрицы числу столбцов второй матрицы./> <td/> />
Еще одинпример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и, наоборот, строкина вектор, приведен на рис. 7. Во второй строке этого примера показано, каквыглядит формула при выборе отображения оператора умноженияNoSpace(Вместе). Однако тот жесамый оператор умножения действует на два вектора по-другому.

Рис.8   Умножение матрицы

на скаляр

 

Рис.7   Умножение вeктopa и строки

  /> <td/> />
Аналогично сложению матриц со скаляромопределяется умножение и деление матрицы на скалярную величину (пример нарис.8). Символ умножения вво­дится так же, как и в случае умножения двухматриц. На скаляр можно ум­ножать любую матрицу размера  mxn.

Определитель квадратной матрицы

Определитель(Determinant)матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести операторнахождения определителя матрицы, можно нажать кнопкуDeterminant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (рис. 1) или набрать на клавиатуре<|> (нажав клавиши <Shift>+<\>). В результате любого из этих действийпоявляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобывычислить определи­ть уже введенной матрицы, нужно выполнить следующиедействия:

1.  Переместить курсор вдокументе таким образом, чтобы поместить матри­цу между линиями ввода(напоминаем, что линии ввода — это верти­кальный и горизон-тальный отрезкисинего цвета, образующие уголок, указывающий на текущую областьредактирования).

2.  Ввести оператор нахожденияопределителя матрицы.

3.  Ввести  знак равенства,чтобы вычислить определитель.

/> <td/> />

Рис.9  Поиск определителя квадратной матрицы

  /> <td/> />
Результат вычисления определителяприведен в примере на рис. 9.

Модуль вектора

/> <td/> />
Модуль вектора (vector magnitude) обозначается тем же символом, что и определительматрицы. По определению, модуль вектора равен квадратному корню из суммыквадратов его элементов (пример на рис.10)./> <td/>

Рис.10  Поиск модуля вектора

 

Скалярное произведение векторов

/> <td/> />
Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как ска­ляр, равный суммепопарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметьодинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность.Скалярное произведение двух векторов u и v равно u·v= | u| · | v| · cosj,где j— угол между векторами. Если векторы ортогональны, их скалярное произведениеравно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом умножения (примерна рис.11). Для обозначения скаляр­ного произведенияпользователь также может выбирать представление опе­ратора умножения./> <td/>

Рис.11 Скалярное произведение векторов

 

Никогда не применяйте для обозначенияскалярного произведения символ который является общеупотребительным символомвекторного произведения.

/> <td/> />
Состорожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разномурасставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такогоумножения см. в листинге на рис.12./> <td/>

Рис.12   Особенности скалярного произведения векторов

 
/> <td/> />
Векторное произведение

Рис.13 Векторное произведение векторов

  /> <td/> />
Векторное произведение (crossproduct)двух векторов u иv с углом a между нимиравно вектору с модулем | u| · | v|  · sina,направленным перпендикулярно носкости векторов uи v. Обозначаютвекторное произведение символом  х,  который можно ввести нажатием кнопкиCrossProduct(Векторное произвение) в панелиMatrix(Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<8>. Пример приведен на рис.13.

Задание 1.

/> <td/> />
Вычислите матрицу 2*A*B-3*C*D,  где:/> <td/> />
Ответ: