Реферат: Елементи інформаційних технологій в математичному програмуванні
Розв'язати графічним способом при умовах:
Розв'язування
Зобразимо розв’язок системи нерівностей та вектор F (1;2):
Максимум функції досягається в точці А:
Мінімум функції досягається в точці В:
Завдання 2
Розв'язати транспортну задачу методом потенціалів.
Спочатку перевіримо задачу на замкненість:
.
Задача є замкненою.
Вихідна таблиця:
| А/В | 10 | 20 | 25 | 40 |
| 25 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 15 | 9 | 3 | 4 | 6 |
| 35 | 8 | 5 | 9 | 3 |
| 20 | 2 | 1 | 7 | 4 |
Складемо початковий план методом мінімального елементу:
| А/В | 10 | 20 | 25 | 40 |
| 25 | 4 | 7 | 2 | 5 |
| 25 | ||||
| 15 | 9 | 3 | 4 | 6 |
| 10 | 5 | |||
| 35 | 8 | 5 | 9 | 3 |
| 35 | ||||
| 20 | 2 | 1 | 7 | 4 |
| 20 |
Опорний план є виродженим, адже число зайнятих клітинок менше ніж m+n-1=8. Зробимо його невиродженим, розміщуючи базисні нулі в клітину з координатами (i,j)=(1,1) та (4,1). Вирішимо задачу методом потенціалів:
| А/В | 10 | 20 | 25 | 40 | U | ||
| 25 | 4 | 7 | 2 | 5 | |||
| 25 | |||||||
| 15 | 9 | — | 3 | + | 4 | 6 | 5 |
| 10 | 5 | ||||||
| 35 | 8 | 5 | 9 | 3 | 2 | ||
| 35 | |||||||
| 20 | 2 | + | 1 | - | 7 | 4 | -2 |
| 20 | |||||||
| 4 | 3 | 2 | 1 | 295 |
Сформуємо оціночну матрицю з елементів :
| Оціночна матриця | |
| 4 | 4 |
| -5 | -3 |
| 2 | 5 |
| 7 | 5 |
План не є оптимальним, адже є від’ємні елементи.
Переміщуємо по циклу вантаж величиною 10 одиниць, додаючи цю величину у клітинах зі знаком «+», та віднімаючи її від клітин зі знаком «- ».
Маємо,
| А/В | 10 | 20 | 25 | 40 | U | ||
| 25 | 4 | - | 7 | 2 | 5 | + | |
| 25 | |||||||
| 15 | 9 | 3 | + | 4 | 6 | — | |
| 10 | 5 | ||||||
| 35 | 8 | 5 | 9 | 3 | -3 | ||
| 35 | |||||||
| 20 | 2 | + | 1 | — | 7 | 4 | -2 |
| 10 | 10 | ||||||
| V | 4 | 3 | 2 | 6 | 245 |
| Оціночна матриця | ||
| 4 | -1 | |
| 5 | 2 | |
| 7 | 5 | 10 |
| 7 |
План не є оптимальним, адже є від’ємні елементи.
Переміщуємо по циклу вантаж величиною 0 одиниць, додаючи цю величину у клітинах зі знаком «+», та віднімаючи її від клітин зі знаком «- ».
Отримаємо,
| А/В | 10 | 20 | 25 | 40 | U |
| 25 | 4 | 7 | 2 | 5 | |
| 25 | |||||
| 15 | 9 | 3 | 4 | 6 | 1 |
| 10 | 5 | ||||
| 35 | 8 | 5 | 9 | 3 | -2 |
| 35 | |||||
| 20 | 2 | 1 | 7 | 4 | -1 |
| 10 | 10 | ||||
| V | 3 | 2 | 2 | 5 | 245 |
Оціночна матриця | |||||
| 1 | 5 | ||||
| 5 | 1 | ||||
| 7 | 5 | 9 | |||
| 6 |
Як бачимо усі . Адже отриманий план є оптимальним.
При цьому загальна вартість перевезень складає 245 і є мінімальною.
Розв'язати задачу ЛП симплекс-методом:
Розв'язування
Запишемо в канонічному виді:
Вирішимо задачу симплекс методом.
| Базис | БП | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x4 | 6 | 1 | 3 | -3 | 1 | |
| x5 | 4 | -2 | 1 | 1 | 1 | |
| ИС | 3 | -2 | -1 | |||
| Обрано ключовий елемент (1,2) | ||||||
| Базис | БП | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x2 | 2 | 1/3 | 1 | -1 | 1/3 | |
| x5 | 2 | -7/3 | 2 | -1/3 | 1 | |
| ИС | 4 | 11/3 | -3 | 2/3 | ||
| Обрано ключовий елемент (2,3) | ||||||
| Базис | БП | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
| x2 | 3 | -5/6 | 1 | 1/6 | 1/2 | |
| x3 | 1 | -7/6 | 1 | -1/6 | 1/2 | |
| ИС | 7 | 1/6 | 1/6 | 3/2 |
Отримано оптимальний план x* = (0, 3, 1). За нього fmin = (x*) = -7.
1. Бурий В.В., Шевченко І.В. Математичне програмування. — К.: НАУ, 2007. — 168с.
2. Єгоршин О.О., Малярець Л.М. Математичне програмування. — Х.: ВД "ІНЖЕК", 2006. — 383с.
3. Жильцов О.Б., Кулян В.Р., Юнькова О.О. Математичне програмування (з елементами інформаційних технологій) / Міжрегіональна академія управління персоналом / Олена Олександрівна Юнькова (ред.). — К.: МАУП, 2006. — 184с.
4. Зеленський К.Х. Математичне програмування. — К.: Університет «Україна», 2007. — 241c.
5. Івченко І.Ю. Математичне програмування. — К.: Центр учбової літератури, 2007. — 232с.
6. Лебідь М.Т., Синявіна Ю.В. Математичне програмування. — Х., 2007. — 72с.