Реферат: Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число, и — целые числа, , , — =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где — натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

3. Судить о возможности существования частного решения уравнения при( илиb = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , гдеа – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где — натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

**********

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

≥

ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

1. Уравнение (, — натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .

***********

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая

для показателя q:

1) при — натуральном;

2) при — натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя

Часть 1

Уравнение (, — натуральные числа, где при — натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

**********

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.

*********

Часть первая (Утверждения 1)

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для — простого.

Докажем данное «Утверждение 1 » методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1 » справедливо.

Из уравнения (1) следует:

(2),

где — четное целое число, т.к. и — нечетные;

≠ 0, т.к. и — взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

— нечетное целое число при и — нечетных, — простом.

********

Примечание

То, что — нечетное число при и — нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

— сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

— сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени — простой можно доказать, что при и нечетных

(3) — сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23).

*******

Пусть (4),

где — нечетное число (на основании (3) ).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где — четное число, которое можно представить в виде

(6),

где — целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где — целое число (), — натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.

(8),

где — целое число (, т.к. и — взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>

Откуда (11) — нечетное число при — нечетном и — четном, т.к. , причем (12) (явно) при .

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13) — нечетное число ;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14) (явно) при .

Этодополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

(15),

где — целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(16) — нечетное число при — нечетном;

(17) — нечетное число при — нечетном;

(18) — нечетное число при — нечетном;

(19) — четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 иr =0 (при t =0 и — четные из (16) и (17), при r =0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) ,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел ) являются:

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где — целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество .

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К ,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняется Условие 1 .

Условие1 (начало).

с = С

b = B

n = N

Случай «+».

(16+) = С — нечетное число при — нечетном;

(17+) = В — нечетное число при — нечетном;

(18+) =N — нечетное число при — нечетном;

(19+) = К — четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

т.е. пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5 ), !

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+» является не нечетным, а четным числом , что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если — четное, то (в (16+) и (17+)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа — четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15) есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :

Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

******

Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы»(Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5 )), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-» является не нечетным, а четным числом , что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если — четное, то (в (16-)и (17-)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа — четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию ( в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание .

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), тос иb могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями ( C иВ). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с =B

b =С

n = N

«Новые» случаи «+» и «-».

(16´±) c =±В

(17´±) b =±С

(18±) =±N

(19±) =±К

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5 )), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом , что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если — четное, то (в ( (16´±)и ( (17´±)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа — четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях«+» и«-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев ( пояснение ниже ), рассматривающих «новые свойства », когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Уравнение (15) симметрично и для n и для (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N иК). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n именяютсясвоими выражениями ( N иК )).

Условие 3

c = C

b = B

n = К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(16±) с =± С = ± ()

(17±) b = ± В =± ()

(18´±) n = ± К = ± ()

(19´±) =± N= ± ()

Согласно одному из Выводов (формула (14)) (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±) =±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях«+» и«-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же =± N= ± ( ) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » ( пояснение следует )), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть .

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

********

Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).

Запишем Условия (1, …, 3).

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

с = С с =B c = C c =B

b = B b =С b = B => b = C

n= N n = N n = К n = К

Если теперь поменять обозначения между собойвУсловии 2+3 с на b , аb на c

в верхних двух строчках и n на , а на n внижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:

Условие 2+3 Условие 1

c =B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К n = N

n = N

Вывод.

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 ,

Уравнение (1) (, — натуральные числа, где при — натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1» ( для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения1)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Условие 1 (продолжение ).

Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки .

Пояснение.

Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m= 4 элементов ( c , b , n и) по n= 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели — это 2 случая: Случаи «-» и«+» соответственно):

********

Случай 1.

(16)

(17′)

(18)

(19)

Тогдасумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b :

, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (35), получим => .

Теперь, с учетом (38), можно получить окончательное выражение для с (из (34)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

, ,

где — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.

, ,

где — взаимно простые нечетные целые числа .

*******

Случай 3

(16)

(17′)

(18)

(19′).

Тогдасумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :

-=> (26′).

Выразим из (25) и (26′) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(30′), (31′), а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19´) с учетом (29) выразим :

, т.е. (33´).

Т.о., , ,

где ,

т.е. (34´), (35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b :

, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (35´), получим => () .

Теперь, с учетом (), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):

, т.е. (39´´).

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:

(39´´),(38´´), где — взаимно простые нечетные

, (33´), целые числа.

********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.

(39´´´),(38´´´), (37´), (33),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (16) 2. (16´) (39´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (18´) (38´)

(19) (33) (19´) (33´)

3. (16) (39´´) 4. (16´) (39´´´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (38´´) (18´) (38´´´)

(19´) (33´) (19) (33)

*********

Рассмотрим еще 10 случаев .

5. с = С 6. с = — С 7. c= C 8. c= — C

b = — B b= B b= — B b= B

n= — N n= N n= — N n= N

9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С

b = Bb = -Bb = Bb = -B

n =- Nn = Nn = Nn =- N

13. с = С 14. с = -С

b = Bb =- B

n =- Nn = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5

(16)

(17´)

(18´)

(19).

Тогдасумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10 ).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

т.к. , т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса » такое же, как и у единицы в (29 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность ( b - n )- n :

где .

Т.к. b+ c=2n, то b-2n= b- (b+ c) = — c= -1 => c = 1 (40).

Учитывая (34), получим => (38´) .

Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b ( из (35)):

, т.е. (41).

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:

(41), , где — взаимно простые нечетные целые (40),(38´), числа

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е.

(40´),(38),

(41´), (33´), где — взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай7

(16)

(17´)

(18´)

(19´)

Тогда сумма имеет вид :

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность :

=> (26´).

Выразим из (25) и (26´) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(30´), (31´), а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19´), с учетом (29), выразим :

, т.е. (33´).

Т.о., , , т.е.

(34´),

(35´),

выражени я которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

т.к. , т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность ( b - n )- n :

где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n= b-(b+c) = -c= -1 => c = 1 (40) .

Учитывая (34´), получим => (38´´´).

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):

, т.е. (41´´).

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

(40),(38´´´),

(41´´), (33´), где — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

(40´),(38´´),

, (33), где — взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .

Случай 9

(16)

(17)

(18´)

(19)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно,

==> 2 t = 4 r (≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = 2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*********

Случай 10

(16´)

(17´)

(18)

(19´),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

— => .

Следовательно, -=-=> 2 t = 4 r (≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = 2 r (32´) => в (16´) и (17´) c и b – четные, чего не должно быть.

********

Случай 11

(16)

(17)

(18)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

— => .

Следовательно, =-=> 2 t = — 4 r (≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Случай 12

(16´)

(17´)

(18´)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно, -==> 2 t = — 4 r (≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

*******

Случай 13

(16)

(17)

(18´)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

— => .

********

Случай 14

(16´)

(17´)

(18)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно, -==> 2 t = — 4 r (≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2 r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

***********

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено .

**********

Условие 2 (продолжение ).

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтомус и b могут меняться своими выражениями ( C иВ). Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрелидва «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

( Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с= С, b = -В , n = N , K )

с= — В ( 16-B),

b = С ( 17+C),

n = N ( 18),

K ( 19) — это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8 , т.е.

(40´),(38´´),

, (33),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма имеет вид :

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10 ).

Теперь найдем сумму с :

т.к. , т.е. .

Теперь, учитывая (32), получим значение для с :

т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (34), получим => .

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где — взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с= — В ( 16-B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

K ( 19), K ( 19) .

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В ), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с иb .

«Общие свойства для с и b »:

с b = -СВ , с – b = -С -В , с – b =2К

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета ). Имеем:

с (- b )= СВ , с+ (– b )= -С -В = 2К .

Отсюда получаем квадратное уравнение

— 2К + С В = 0 => X 1,2 = К ,

где, например, Х1 = - b , а Х2 = с, то есть

Х1 = - b = К + =+ = += + = -В => b = В ,

где на основании и Х1 = — b = -

Х2 = с= К- = - = -= — = -С => с= — С,

где на основании (40´) и Х2 = Таким образом, мы получили случай 8 :

Случай 8

с= — С ( 16´),

b = В ( 17),

n = N ( 18),

K ( 19),

где

, а — взаимно простые нечетные целые числа .

Теперь обозначим Х1 = с, а Х2 = - b . Тогда получим:

Х1 = с= К+ =+ = += + = -В => с = -В ,

где на основании (40´) и Х1 = с = -1.

Х2 = - b = К- = - = -= — = -С => — b = -С => b = С,

где на основании и Х 2 = -

Таким образом, мы получили случай 15 :

Случай 15

с= -В ( 16-B),

b = С ( 17+C),

n = N ( 18),

K ( 19),

где

, а — взаимно простые нечетные целые числа .

Таким образом, одно и то же квадратное уравнение — 2К + С В = 0, дает одинаковые решения X 1,2 = К ( X 1( 2) =-Х2(1 ) = -1) идля Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:

, а — взаимно простые нечетные целые числа .

В этом мы непосредственно и убедились.

Следовательно, «Общие свойства для с иb » ( с b = -СВ , с – b = -С -В , с – b = 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с иb и отличающиеся друг от друга у нихвыражениями (С и В ), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений . Этой похожестью с иb , их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с иb » мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.

*********

Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с иb » ( с b = const ´ , с – b = const ´´ , с – b = const ´´´ ) , то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.

*********

«Новый» случай 16

( Отличающийся «новым свойством » от случая 2 : с= — С, b = В , n = - N , - K )

Случай 16. Случай 7.

с= В с= С

b = -С b = -В

n = - N n = - N

- K - K

Окончательные решения в случае 7 :

(40),(38´´´),

(41´), (33´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = С+В = const ´´, с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40),(38´´´),

(41´), (33´),

где — взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.

********

«Новый» случай 17

( Отличающийся « новым свойством » от случая 3 : с= С, b = -В , n = N , - K )

Случай 17. Случай 6.

с= — В ( 16-B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´), - K ( 19´).

Окончательные решения в случае 6 :

(40´),(38),

(41´), (33´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = -С –В = const ´´ , с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40´),(38),

(41´), (33´),

где — взаимно простые целые нечетные числа.

*********

«Новый» случай 18

( Отличающийся «новым свойством » от случая 4 : с= — С, b = В , n =- N , K )

Случай 18. Случай 5.

с= В ( 16+B), с= С ( 16),

b =- С ( 17-C), b = - В ( 17´),

n =- N ( 18´), n = - N ( 18´),

K ( 19), K ( 19) .

Окончательные решения в случае 5:

(40),(38´),

(41), ,

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = С +В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(41), ,

где — взаимно простые нечетные целые (40),(38´), числа.

********

«Новый» случай 19

( Отличающийся «новым свойством » от случая 5 : с= С, b =- В , n =- N , K )

Случай 19. Случай 4.

с= — В ( 16-B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n =- N ( 18´), n = - N ( 18´),

K ( 19), K ( 19)

Окончательные решения в случае 4:

(39´´´),(38´´´),

(37´), (33),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = -С — В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39´´´),(38´´´),

(37´), (33),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

********

«Новый» случай 20

( Отличающийся «новым свойством » от случая 6 : с= — С, b = В , n = N , - K )

Случай 20. Случай 3.

с= В ( 16+B), с= С ( 16),

b = - С ( 17-C), b = - В ( 17´),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´), - K ( 19´).

Окончательные решения в случае 3 :

(39´´),(38´´),

, (33´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = С + В = const ´´ , с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39´´),(38´´), где — взаимно простые нечетные

, (33´), целые числа.

********

«Новый» случай 21

( Отличающийся «новым свойством » от случая 7 : с= С, b = -В , n = - N , - K )

Случай 21. Случай 2.

с= -В ( 16-B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n =- N ( 18´), n = - N ( 18´),

- K ( 19´), - K ( 19´).

Окончательные решения в случае 2 :

где — взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = — С — В = const ´´ , с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

где — взаимно простые нечетные целые числа .

*********

«Новый» случай 22

( Отличающийся «новым свойством » от случая 8 : с= - С, b = В , n = N , K )

Случай 22. Случай 1.

с= В ( 16+B), с= С ( 16),

b = - С ( 17-C), b =- В ( 17´),

n = N ( 18), n = N ( 18),

K ( 19), K ( 19)

Окончательные решения в случае 1:

, ,

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = — СВ = const ´ , с – b = С + В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

, ,

где — взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Вывод

Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили .

*********

«Новый» случай 23

( Отличающийся «новым свойством » от случая 9 : с= С, b = В , n = - N , K )

Случай 23. Случай 12.

с= В ( 16+B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = — В ( 17´),

n = — N ( 18´), n = — N ( 18´),

K ( 19), K ( 19)

Окончательный вывод в случае 12: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = -С + В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

********

«Новый» случай 24

( Отличающийся «новым свойством » от случая 10 : с= - С, b = -В , n = N , - K )

Случай 24. Случай 11.

с= -В ( 16-B), с= С ( 16),

b =- С ( 17-C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´), - K ( 19´).

Окончательный вывод в случае 11: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = С — В = const ´´ , с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

*******

«Новый» случай 25

( Отличающийся « новым свойством » от случая 11 : с= С, b = В , n = N , - K )

Случай 25. Случай 10.

с= В ( 16+B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = — В ( 17´),

n = N ( 18), n = N ( 18),

- K ( 19´), - K ( 19´).

Окончательный вывод в случае 10: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b ( с b = СВ = const ´ , с – b = -С + В = const ´´ , с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

*********

«Новый» случай 26

( Отличающийся «новым свойством » от случая 12 : с= — С, b =- В , n = - N , K )

Случай 26. Случай 9.

с= — В ( 16-B), с= С ( 16),

b = — С ( 17-C), b = В ( 17),

n = — N ( 18´), n = — N ( 18´),

K ( 19), K ( 19).

Окончательный вывод в случае 9: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = С — В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

********

«Новый» случай 27

( Отличающийся «новым свойством » от случая 13 : с= С, b = В , n = - N ,- K )

Случай 27. Случай «-».

с= В ( 16+B), с= — С ( 16´),

b = С ( 17+C), b = — В ( 17´),

n = — N ( 18´), n = — N ( 18´),

- K ( 19´), - K ( 19´).

Окончательный вывод в случае «-»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » ( с b = СВ = const ´ , с – b = — С + В = const ´´ , с – b = — 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

********

«Новый» случай 28

( Отличающийся «новым свойством » от случая 14 : с= -С, b = -В , n = N , K )

Случай 28. Случай «+».

с= — В ( 16-B), с= С ( 16),

b = — С ( 17-C), b = В ( 17),

n = N ( 18), n = N ( 18),

K ( 19), K ( 19).

Окончательный вывод в случае «+»: c и b – четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b ( с b = СВ = const ´ , с – b = С — В = const ´´ , с – b = 2К = const ´´´ ) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили .

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены .

*********

Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемоеуравнение (, — натуральные числа, где при — натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .

************

Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод 1. Уравнение (1) (, — натуральные числа, при — натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо , либо .

*******

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример .

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение (42), где — натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a , b , c . ( Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с + b — число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах ) .

При «Исключением» являются , или .

(При «Исключением» являются, например, или , при которых а = 2 ивыполняется тождество(этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 — b2 (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

a = α2 – δ2 — четное число при α и δ– нечетных или четных.

c = α3 + 3αδ2 — четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2 δ + δ3 — четное число при α и δ – нечетных или четных.

( Такой же результат получается(a, c, b – четные числа) для любого уравнения

(42), где — натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 — b2 .

«Исключением» являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

при которых получаем соответственно тождества:

1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2

2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2

**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателяпростом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при простом. Имея дело с уравнением (44) , гдепростое, a, b, c — целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a | > p, | b | > p, | c | > p(Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. — С. 13).

Вывод: Великая теорема Ферма для степенипростом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение ( — четное,q = 4 = 2 m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

Часть первая (Утверждения 2)

Уравнение ( — четное,q = 4 = 2 m , где m = 2 )не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

Доказательство

Итак, имеем уравнение (1), где — четное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a .

Из уравнения (1) следует: => (2).

Пусть (3), где и β — целые числа, отличные от нуля и c 2 + b 2 = 2 β (4), где β – нечетное число при c и b — нечетных.

*********

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошоизвестный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b иc в виде :

b = 2 n 1 + 1; c = 2 n 2 + 1,

где n 1 и n 2 — произвольные целые числа. Тогда

b 2 + c 2 = (2 n 1 + 1)2 + (2 n 2 + 1)2 = 2 [2 (n12 +n22 +n1 +n2 ) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

= , где c 2 + b 2 ≠ 0, т.к. c ≠ , b ≠ 0, т.е.

(5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое числоk — четное число , т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с – нечетных числа => 2 l -2 k – четное число при).

Из соотношений (4) и (5) определяем b 2 и c 2 :

=> =>

Откуда β = b 2 + 2 l -2 k (8) — нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2 l -2 k — четном .

*********

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) — нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. — четное число .

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

т.е. (11),

где — целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(12) — нечетное число при — нечетном ;

(13) — нечетное число при — нечетном ;

(14) — нечетное число при — нечетном ;

(15) — четное число .

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 иr =0 (при t =0 и — четные из (12) и (13), при r =0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .

*******

Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят«плюсы» и выполняетсяУсловие1.

********

Условие1 (начало)

с 2 = С

b 2 = B

= N

Случай «+».

(12+) — нечетное число при — нечетном ;

(13+) — нечетное число при — нечетном ;

(14+) — нечетное число при — нечетном ;

(15+) — четное число .

Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при — нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36 )), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2» , допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом , что возможно (из (14)) при — четном .

Однако, если — четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа — четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где — четное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-» ), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)

********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 2 .

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с 2 и b 2, (для уравнения (11) они равнозначны), тос 2 и b 2 могут меняться своими выражениями ( C иВ). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с 2 = В

b 2 = С

= N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c 2 =±В

(13´±) b 2=±С

(14±) =±N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36 )), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом , что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если — четное, то (в ( (12´±)и ( (13´±)) являются четными , т.е. в уравнениях (2) и (1) числа — четные , а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).

Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Уравнение (11) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями ( N иК). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняютсясвоими выражениями ( N иК)).

Условие 3 .

с 2 = С

b 2 = B

= К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c 2 = ± () = ± С

(13±) b 2 = ± () = ± В

(14´±) = = ±К

(15´±) = ±N

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) =±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же =± N= ± ( ) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10 ), подобное для при доказательстве Утверждения 1 ), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть .

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где — четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения 2» ( для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения 2)

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c — четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Условие 1 ( продолжение).

Случай 1.

(12)

(13′)

(14)

(15) ,

которые также являются решениями уравнения (11)

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

=> .

Выразим из (17) и (16) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c 2 + b 2 = 2 β, то => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20 ). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (23), получим значение для b 2 :

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится .

Учитывая (26), получим

=> .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

(28), ,

где — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), => c = (30´), (29´)

(28´), => b = 1 (28´), (24´), где

— взаимно простые нечетные целые числа .

Случай 3

(12)

(13′)

(14)

(15′) ,

которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогдасумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

-=> .

Выразим из (31) и (16) :

=> (32)

=> (33).

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c 2 + b 2 = 2 β, то и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

, т.е. (24´) .

Т.о., , ,

где, т.е.

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20 ). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b 2 :

, т.к. из (20) получается

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится .

Учитывая (26´), получим => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):

, т.е. (30´´).

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´), ,

(28), (24´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

(30´´´), =>(30´´´), (29´´´), (28´), =>b = (28´ ), (24),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К.

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14)(29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

Рассмотрим еще 4 случая .

5. с2 = С 6. с2 = — С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b 2 = — B b 2 = B b2 = — B b2 = B

= — N = N = — N = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),

(14´),

(15), которые также являются решениями уравнения

(11)

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):

(41), , где — взаимно простые нечетные целые (40),(38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

(32) => b (32), (24)

(31) => с = (31), (29´),

где взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

(31´),(29),

(32´), (24´), где — взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7

(12),

(13´),

(14´),

(15´), которые также являются решениями уравнения

(11).

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующиерешения уравнения (15):

(40),(38´´´),

(41´´), (33´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

(31) => с = (31), (29´´´),

(32´) => b (32´´), (24´),

где — взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

(31´),(29´´),

, (24), где — взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):

1. (16) 2. (16´) (39´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (18´) (38´)

(19) (33) (19´) (33´)

3. (16) (39´´) 4. (16´) (39´´´)

(17´) (37) (17) (37´)

(18) (38´´) (18´) (38´´´)

(19´) (33´) (19) (33).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14)(29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)

с 2 и b 2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

********

Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами , либо c и b – четные числа , чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где — четное натуральное число, т.е. либо , либо .

*******

Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. — С. 13) , что для четных степеней уравнения ( где, q=2 q ) — показатели четные при ≠ 0 и q≠ 0 — натуральных, в уравнении целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:

|| > 2, | | > 2, | c | > 2 => |a | > 1, | b | > 1, |c | > 1,

т.е. в уравнении a 2 + b 4 = c 4 b и c => в уравнении (1) при — четном числе b и c ,

т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1 )ОТСУТСТВУЮТ.

********

Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.

*******

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1) , где ≥2 — четноене имеет решений в попарно простых целых числах a , b , и c таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.

*******

Примечание

1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2 m приm >2 – натуральном.

2. Если уравнение al + b 4 = c 4 , где≥2 — четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a , b , иc , то и уравнение a 4 + b 4 = c 4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах ( не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).

Вывод : Великая теорема Ферма для показателя l = q = 4 доказана.

3. Результат доказательства, а именно четность чисел a , b , c в уравнении al + b 4 = c 4 ( ≥2 — четное), а, следовательно, в уравнении a 4 + b 4 = c 4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.

На основанииВыводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.

Окончательный «Вывод»: Великая теорема Ферма доказана.

********

Утверждение 3

Часть 1

Уравнение (≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2 m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1 .

*********

Часть первая (Утверждения 3)

Доказательство

Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».

Итак, имеем уравнение (1), где ≥ 3– нечетное натуральное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a .

Из уравнения (1) следует:

=> (2).

Пусть (3), где и β — целые числа, отличные от нуля и c 2 + b 2 = 2 β (4), где β – нечетное число при с и b – нечетных.

******

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошоизвестный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).

Представим нечетные числа b иc в виде :

b = 2 n 1 + 1; c = 2 n 2 + 1, где n 1 и n 2 — произвольные целые числа. Тогда

b 2 + c 2 = (2 n 1 + 1)2 + (2 n 2 + 1)2 = 2 [2 (n12 +n22 +n1 +n2 ) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):

= , где c 2 + b 2 ≠ 0, т.к. c ≠ , b ≠ 0, т.е.

(5),

где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.

Из соотношений (4) и (5) определяем b 2 и c 2 :

=> =>

Откуда β = b 2 + 2 l -2 k (8) — нечетное число (из (4)) при b – нечетном и 2 l -2 k — четном , т.к.≥ 3 – нечетное натуральное число.

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) — нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. — четное число .

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

т.е. (11),

(12) — нечетное число при — нечетном ;

(13) — нечетное число при — нечетном ;

(14) — нечетное число при — нечетном ;

(15) — четное число .

Для простоты опять ( как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К ,

Условие1 (начало).

с 2 = С

b 2 = B

= N

Случай «+».

(12+) — нечетное число при — нечетном ;

(13+) — нечетное число при — нечетном ;

(14+) — нечетное число при — нечетном ;

(15+) — четное число .

Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом , что возможно (из (14)) при -четном .

*******

Вывод . Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где — нечетное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

*********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы). Но об этом — во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с 2 и b 2, (для уравнения 11 они равнозначны), тос 2 и b 2 могут меняться своими выражениями ( C иВ). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало) .

с 2 = В

b 2 = С

= N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12´±) c 2 =±В

(13´±) b 2=±С

(14±) =±N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36 )), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих«Новых» случаях «+» и«-» является не нечетным, а четным числом , что возможно(из (14±)) при -четном.

Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы).

Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.

********

Условие 3 .

с 2 = С

b 2 = B

= К

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c 2 = ± () = ± С

(13±) b 2 = ± () = ± В

(14´±) = = ±К

(15´±) = ±N.

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) =±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях«+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения(1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, гдеопять же =± N= ± ( ) и передС, В, N, К стоятвсевозможные знаки(плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » ( пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1 ), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть .

********

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3уравнение (1) (1), где ≥ 3– нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3» ( для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения3)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либоb и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно толькочасть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки .

Случай 1.

(12)

(13′)

(14)

(15), которые также являются решениями уравнения

(11) .

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

=> .

Выразим из (17) и (16) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c 2 + b 2 = 2 β, то => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20 ). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b 2 :

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится .

Учитывая (26), получим => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):

, т.е. .

, ,

(28), ,

где — взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

(30´), => c = (30´), (29´)

(28´), => b = 1 (28´), (24´), где

— взаимно простые нечетные целые числа .

**********

Случай 3.

(12)

(13′)

(14)

(15′), которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогдасумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

-=> .

Выразим из (31) и (16) :

=> (32)

=> (33)

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c 2 + b 2 = 2 β, то и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

, т.е. (24´).

Т.о. , , где, т.е.

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

Теперь, учитывая (23), получим значение для b 2 :

, т.к. из (20) получается

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится .

Учитывая (26´), получим => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):

, т.е. (30´´).

(30´´), ,

(28), (24´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

(30´´´), =>(30´´´), (29´´´), (28´), =>b = (28´ ), (24), где

— взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14)(29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

Рассмотрим еще 4 случая .

5. с2 = С 6. с2 = — С 7. c2 = C 8. c2 = -C

b 2 = — B b 2 = B b2 = — B b2 = B

= — N = N = — N = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),

(14´),

(15), которые также являются решениями уравнения

(11).

(41), , где — взаимно простые нечетные целые (40),(38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

(32) => b (32), (24)

(31) => с = (31), (29´),

где — взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

(31´),(29),

(32´), (24´),

где — взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7.

(12),

(13´),

(14´),

(15´), которые также являются решениями уравнения

(11).

(40),(38´´´),

(41´´), (33´),

где — взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

(31) => с = (31), (29´´´),

(32´´) => b (32´´), (24´), где —

взаимно простые целые нечетные числа.

*********

Случай 8

(31´),(29´´),

, (24),

где — взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений ) в следующих целых числах:

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .

**********

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .

********

Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.

Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14)(29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14)(29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.

*********

Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2 ) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:

либо , либо , либо c и b не являются целыми числами , либо c и b – четные числа , чего не должно быть.

********

Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где — нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются .

*******

Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.

В результате исследования уравнения (1), мы имеем:

Вывод:

1. Уравнение (1) (≥ 3 – нечетное натуральное,q = 4 = 2 m , где m = 2 ) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы — было четным, и — нечетными целыми числами.

Возможны случаи : либо , либо .

2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.

*******

Примечание

Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al + b 4 = c 4 при ≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m, где m > 2 – натуральном.

**********

На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».

ОБЩИЙ ВЫВОД

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .

Таким образом, «Общее утверждение» доказано .

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. — №10. – С. 23.

2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 — С. 13.

Май 2009 г., Скворцов А.П.

Уважаемые любители математики и специалисты !

Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.

Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.

Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.

Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике ( я сам учитель физики ) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.

Работы по математике :

1. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков .

2. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков .

3. Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

4. Решение уравнения в целых числах при — натуральном.

5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р1 + р2 = р3, где произведение р1 р2 р3 = R 3 , R – рациональное число (или рациональная функция ), р1, р2 и р3 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями .

6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы

р1 +р2 +р3 =р4

р1 р2 р3 р4 = ,

где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4 , и р1, р2, р3 и р4 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.

Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan @ mail . ru

Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,

м/р-н Геолог, д.18, кв.11

тел.: 8 (38 254) 5 79 59.

С уважением, А.П. Скворцов.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток

20 Июня 2015

Реферат по математике

Дроби