Реферат: Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
© Н.М. Козий, 2008, [UA]
Свидетельство Украины № 25256
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА
Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
N = A + B ,
где: А и В – простые числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]
Очевидно, что:
— количество членов прогрессии равно N;
— количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:
n = 0, 5 N.
Напишем возрастающую V и убывающуюU арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]
U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U :
U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:
V0= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]
U0= [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].
Приэтом:
V0i + U0i = N,
где V i и U i — i – тые члены прогрессий V 0 иU .
Приn – четном количество членов прогрессии V равно количеству членовпрогрессииU и равно:
K = 0,5∙n = 0,25· N . /1/
Напишем возрастающую V и убывающуюU арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V3 = [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U :
U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].
Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:
V0= [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]
U0= [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].
Приэтом:
V0i + U0i = N,
где V i и U i — i – тые члены прогрессий V 0 иU .
Приn –нечетном количество членов прогрессии V равно количеству членовпрогрессииU и равно:
К =0,5·( n +1) = 0,25·( N + 2). /2/
Количество пар чисел V i + U i прогрессий V 0 иU равно: П =К.
В общем случае обозначим:
Zpv – количество простых чисел в прогрессии V ;
Zsv — количество составных чисел в прогрессииV ;
Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U ;
Zsu — количество составных чисел в прогрессии U ;
П s / v – количество пар чисел V i + U i, состоящих из составных чисел прогрессии U и простыхчисел прогрессииV ;
П s / u – количество пар чисел V i + U i, состоящих из составных чисел прогрессии V 0 и простыхчисел прогрессии U ;
Пр -- количество пар чисел V i + U i, состоящих из простыхчисел прогрессий V иU .
Очевидно, что:
П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu; /3/
Zsv = K — Zpv; Zsu = K — Zpu .
Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:
-для чисел N ≤ 116: Zpv > Zsu ; Zpu > Zsv ;
— для чисел N = 118…136: Zpv = Zsu ; Zpu = Zsv ;
— для чисел N ≥138: Zpv < Zsu ; Zpu < Zsv .
Составим прогрессии V иU для произвольно взятых чисел N , разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv , Zsv , Zpu , Zsu , П s / v, П s / u , Пр и соотношения между ними как для прогрессий V иU в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.
ПРИМЕР 1. N =120; n =0,5 N =0,5·120 = 60 – четное число.
В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V i + U i равно:
П = К = 0,25· N =0,25∙120 =30.
V ={ V 01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V 02 =[ 15 17 19 21 23 ] V 03 =[ 25 27]
U ={ U 01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U 02 =[105 103 101 99 97 ] U 03 =[ 95 93]
Пр * * * * * *
V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06 = [ 37 39 41 43 45 47 ] V07 = [ 49 51 53 ]
U04 = [ 91 89 ] U05 = [ 87 85 ] U06 = [ 83 81 79 77 75 73 ] U07 = [ 71 69 67 ]
Пр * * * * *
V 08 = [ 55 57 59 ] }.
U 08 = [ 65 63 61 ] }.
Пр *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V 0 и U в целом имеем:
Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 12.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 17 – 5 = 12;
Ru = Zpu — Пs/u = 13 – 1 = 12.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует:
Rv =Ru =Пр = 12.
Для подпрогрессий V 01 иU 01 имеем:
Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 6 – 3 = 3; Ru = Zpu — Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V 02 иU 02 имеем:
Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0, Пs/v =Пs/u = 0,
Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 3 – 0 = 3; Ru = Zpu — Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V 04 иU 04 имеем:
Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u ,
Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu — Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.
Для подпрогрессий V 06 иU 06 имеем:
Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u ,
Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu — Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V 07 иU 07 имеем:
Zpv =1, Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v =0, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =2, Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu — Пs/u = 2 – 1 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.
Для подпрогрессий V 08 иU 08 имеем:
Zpv =1, Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v =0, Пs/v =Пs/u = 0,
Zpu =1, Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 1 – 0 = 1; Ru = Zpu — Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.
ПРИМЕР 2. N =154; n =0,5 N =0,5·154= 77 – нечетное число.
В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V i + U i равно:
П = К =0,5( n +1) = 0,25( N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V = {V 01 = [ 1 3 5 7 9 ] V 02 = [ 11 13 15 17 19 21 23 ]»
U ={ U 01 = [153 151 149 147 145] U 02 = [143 141 139 137 135 133 131 ] »
Пр * * * *
V 03 =[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V 04 = [ 41 43 45 47 49 51 53 ]
U 03 = [129 127 125 123 121 119 117 115] U 04 =[113 111 109 107 105103 101 ]
Пр * * *
» V 05 = [55 57 59 61 63 65 67 69] V 06 = [ 71 73 ] V 07 = [ 75 77 ] }.
» U 05 = [99 97 95 93 91 89 87 85] U 06 = [ 83 81 ] U 07 = [ 79 77 ] }.
Пр *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V 0 и U в целом имеем:
Zpv =21, Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v =13, Пs/v ≠Пs/u ,
Zpu =15, Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u =7, Пр = 8.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 21 – 13 = 8; Ru = Zpu — Пs/u = 15 – 7 = 8.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 8.
Для подпрогрессий V 01 иU 01 имеем:
Zpv =4, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =2, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =2, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 2.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 4 – 2 = 2; Ru = Zpu — Пs/u = 2 – 0 = 2.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2.
Для подпрогрессий V 02 иU 02 имеем:
Zpv =5, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =3, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =1, Пр = 2.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 5 – 3 = 2; Ru = Zpu — Пs/u = 3 – 1= 2.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2.
Для подпрогрессий V 04 иU 04 имеем:
Zpv =4, Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u,
Zpu =5, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =2, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 4 – 1 = 3;
Ru = Zpu — Пs/u = 5 – 2 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V 06 иU 06 имеем:
Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠Пs/u ,
Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv — Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu — Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv, Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.
Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv , Zsv , Zpu , Zsu , П s / v, П s / u , при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V i + U i, удовлетворяющие условию:
V i + U i = N :
Вариант 1: Zpv =Zpu, Zsv =Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v =Пs/u = 0 (подпрогрессия V02 -U02 для числа N =120);
Вариант 2: Zpv =Zpu, Zsv =Zsu, Zpv <Zsu, Zpu <Zsv, Пs/v = Пs/u = 0 ( подпрогрессияV08 -U08 для числа N =120);
Вариант 3: Zpv >Zpu, Zsv <Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v >Пs/u( подпрогрессии V01 -U01, V04 -U04, V06 -U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 -U01, V06 -U06 для числа 154);
Вариант 4: Zpv >Zpu, Zsv <Zsu, Zpv =Zsu, Zpu =Zsv, Пs/v >Пs/u (прогрессия V0-U0для числа N =120);
Вариант 5: Zpv >Zpu, Zsv >Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v >Пs/u (подпрогрессия V02 -U02 для числа N =154);
Вариант 6: Zpv <Zpu, Zsv >Zsu, Zpv =Zsu, Zpu =Zsv, Пs/v <Пs/u (подпрогрессия V07 -U07 для числа N =120);
Вариант 7: Zpv <Zpu, Zsv >Zsu, Zpv >Zsu, Zpu >Zsv, Пs/v <Пs/u (подпрогрессия V04 -U04 для числа N =154);
Вариант 8: Zpv >Zpu, Zsv <Zsu, Zpv <Zsu, Zpu <Zsv, Пs/v >Пs/u (прогрессия V0-U0для числа N =154).
В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv , Zsv , Zpu , Zsu , П s / v, П s / u .
Значения количества пар П p простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П p приведены в скобках рядом с числами N ):
80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).
Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П p простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П p для них.
Из изложенного следует, что любое четное число N >4 равно сумме двух и более пар П p простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:
6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА
Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:
М = A + B + C ,
где: A, Bи C – простые числа.
При этом:
A ≠ B ≠ С
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим:
A + B =N.
Очевидно, что N – четное число.
Тогда:
M = N + C.
Отсюда:
N = M – C.
Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:
M = N + C = A + B + С,
где: A , B и C – простые числа.
При этом:
A ≠ B ≠ С
Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик
E-mail: nik_krm@mail.ru
umbolic@gmail.com