Реферат: Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение

(С *d ( D Q) /С C *dt) + D Q= 2*I0*R* D I/ С C *F (1)

D I/ I = XВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а D Q/ Q0= Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:

D Q = Q0*Хвых и D I = I * XВХ

Тогда

С* Q0* d Хвых / СC * F* dt + Q0Хвых = 2* I02 * R* XВХ / СC * F

Разделив обе части уравнения на Q0, п олучим:

С* d Хвых / СC * F* dt + Хвых = 2* I02 * R* XВХ / СC * F* Q0

Обозначим:

С / С C * F= Т 2* I02 * R/ С C *F* Q0= R

Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,

С [дж/град ]/ С C [вт/см2 *град ]* F [ см ]= С/ С C * F [дж*см2 *град/град*вт*см2 ]

Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:

2* I02 [А2 ]* R [Ом ]/ С C [ вт/см2 *град ]* F [ см ]* Q0 [град ] =

= 2* I02 * R/ С C * F* Q0 [А2 *Ом*см2 *град/Вт*см2 *град ] =

= 2* I02 * R/ С C *F* Q0 [ ] = К

Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:

Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2)

Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:

Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх

Будем искать решение этого уравнения в виде

Х вых = С*е rt + K* Х вх 0

Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х/ вых в уравнение (2). Получим

Т* С* r*е rt + С*е rt = 0

Сокращая на С*е rt будем иметь:

Т* r + 1 = 0

Откуда r = — 1/Т и решение примет вид

Х вых = К* Х вх 0(1-е- t/ T )

При t = 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх 0. тогда уравнение кривой разгона будет:

Х вых = К* Х вх 0 ( 1-е- t/ T )

График кривой разгона:

При t = ¥ выходная величина Х вых достигает предельного значения

Х вых. уст = К* Х вх 0

Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:

К = Х вых. уст/ Х вх 0

Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.

Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.