Реферат: Дифференциальные уравнения

Задача №1

Даны вершины треугольникаАВС.

Найти: 1) длину стороныАВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол Ав радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнениеокружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств,определяющих треугольник АВС.

А(-7;5), В(5;-4),С(3;10).

Решение

1. Расстояние d между точками M1(x1; у1)и М2(х2; у2) определяется по формуле:

/>

Подставив в эту формулукоординаты точек А и В имеем:

/>

2. Уравнение прямой, проходящей черезточки М1(х1; у1) и М2(х2; у2),имеет вид:

/>

Подставив в формулу (2)координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

/>

Для нахождения угловогокоэффициента kab прямой АВ разрешим полученное уравнениеотносительно у:

/>

Отсюда

kab = — 3/4.

Подставив в формулу (2)координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

/>

Для нахождения угловогокоэффициента kaс прямой АС разрешим полученное уравнениеотносительно у:

/>

Отсюда

kaс = 1/2.

3. Угол α между двумя прямыми,угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяетсяпо формуле:

/>

 

Угол А, образованныйпрямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k1= kab= -3/4, k2 = kac = 1/2.

/>

< А = arctg 2 = 1,11рад.

4. Так как высота CD перпендикулярнастороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине ипротивоположны по знаку, т.е.

/>

Уравнение прямой,проходящей через данную точку М1(х1; у1) взаданном угловом коэффициенте k имеет вид:

у – у1 = k(х –х1).(4)

Подставив в формулу (4)координаты точки С и kcd = 4/3, получим уравнение высоты CD:


у – 10 = 4/3(х – 3), у –10 = 4/3х – 4, 4х – 3у + 18 = 0. (CD)

Для нахождения длины CDопределим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

/>

Подставив в формулу (1)координаты точек C и D, находим:

/>/>СD= √(-3 -3)2 + (2 -10)2 = √36+ 64 = 10 .

5. Уравнение окружности радиуса R сцентром в точке E(a;b) имеет вид:

(х – а)2 + (у– b)2 = R2 (5)

Так как СD являетсядиаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD.Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

/>

Следовательно E(0;6) и R= CD/2 = 5. Используя формулу (5), получимуравнение искомой окружности:

(х – 0)2 + (у– 6)2 = 25, х2 + (у – 6)2 = 25.

6. Множество точек треугольника АВС естьпересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ исодержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограниченапрямой АС и содержит точку В. Для получениянеравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащуюточку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

3* 3+ 4*10 +1 = 50 >0.

поэтому искомое неравенствоимеет вид:

3х + 4у +1 ≥ 0.

Для составлениянеравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащуюточку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек Ви С:

/>

Подставив в последнееуравнение координаты точки А, имеем:

7* (- 7) + 5 – 31 = — 75< 0.

Искомое неравенство будет

7х + у – 31 ≤ 0.

Подобным образом составимнеравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащуюточку В:

5 – 2(- 4) + 17 = 30 >0.


Третье искомоенеравенство

х – 2у + 17 ≥ 0.

Итак, множество точектреугольника АВС определяется системой неравенств:

/>

Задача №2

Даны векторы a1, a2, a3, b. Показать, что векторы a1,a2, a3 образуют базис трехмерного пространства и найтикоординаты вектора b в этом базисе.

a1(5;3;1), а2(-2;-1;2), а3(-2;1;4), b(3;0;1)

Решение

1. Система векторов /> впространстве Rn линейно независима тогда и только тогда, когдаотличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы:

/>

/>/>/>Подставив в формулу (1) координатывекторов a1,a2, a3 найдем определитель:


/>

Так как определитель неравен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственноони образуют базис трехмерного пространства.

2. Вычислим координаты вектора b в новомбазисе. А – матрица перехода.

b = А * bnew

Нам необходимо определитькоординаты bnew.

bnew = A-1* b(2)

Для нахождения обратнойматрицы применяется формула

/>

Необходимо найти всеэлементы для составления обратной матрицы:

/> />

Подставляем полученныеэлементы в формулу (3) и найдем А-1:


/>

Подставив значения А-1и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе:

/>

Задача №3

Систему уравненийзаписать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

/>

Решение

Обозначим через матрицу А– матрицу коэффициенты при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z;H – матрицу-столбец свободных членов:

/>

С учетом этих обозначенийданная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А*Х = Н(1)

Если матрица А –невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратнуюматрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1,получим:

А-1 * А * Х =А-1 * Н

Но А-1 * А = Е(Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х = А-1 * Н(2)

Равенство (2) называетсяматричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решениясистемы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденнуюматрицу

/>

где Аij(i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителематрицы А, которое является произведением (- 1)ij на минор(определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбцав определителе матрицы А.

Вычислим определительΔ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

/>

Следовательно матрица Аимеет обратную матрицу А-1.

/>

Тогда

/>

По формуле (2) находимрешение данной системы уравнений в матричной форме:

/>

Отсюда

х = — 1; у = 1; z = 0.

Задача №4

Вычислить пределы.


/>

Решение

а) Подстановка предельного значенияаргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида />.

Для устранения этойнеопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократимна множитель (х – 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х –3) отличен от нуля при х →3:

/>

б) При х→∞ выражение /> даетнеопределенность вида /> . Для устранения  этойнеопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения />двух функций,бесконечно больших при х→∞, можно рассматривать отношение ихпроизводных />.Еслионо стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределустремится и отношение /> .

/>


в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tgу и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первогозамечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем:

 

/>

г)При х→∞выражение />являетсянеопределенностью вида 1∞. Для устранения этойнеопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малойпри х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела:

/>

Тогда имеем:

/>

Пусть 3х – 1 = — у.Тогда 6х + 4 = — 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя кпеременной у, получим:

/>

Задача №5

Найти производныефункций:

/>

Решение

а) Последовательно применяя правилодифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

/>

в) В данном случае функциональнаязависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужнопродифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функциейот х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ .

3у2у′ +еху (у + ху′) = 0, 3у2у′ + уеху +хеху у′ = 0,

Из последующего уравнениянаходим у′:

у′ (3у2+ хеху) + уеху = 0, />


Задача №6

Исследовать функцию />методамидифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функциирекомендуется проверить по следующей схеме:

1) найти областьопределения функции;

2) исследовать функцию нанепрерывность;

3) определить, являетсяли данная функция четной, нечетной;

4) найти интервалывозрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

5) найти интервалывыпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти асимптотыграфика функции.

Решение

1. Функция определена при всехзначениях аргумента х.

2. Данная функция являетсяэлементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. наинтервале (- ∞; ∞).

3. Для установления четности инечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) –четная функция) или f(-x) = — f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х изобласти определения функции:

/>

Следовательно, f(-х) ≠f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, нинечетной.

4. Для исследования функции на экстремумнайдем ее первую производную:

/>

у′ = 0 при х1 = — 3, х2= 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать областиопределения функции.

Разобьем числовую ось натри интервала: (- ∞; — 3), (- 3; 3), (3; ∞).

/>

В первом и третьеминтервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функцияубывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. Припереходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса наплюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:

уmin = у(-3) = 0

Значит, А(-3;0) – точкаминимума.

При переходе через точку х= 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точкефункция имеет максимум:

уmax = у(3) = 2

Значит, В(3;2) – точкамаксимума.

На рис. 1 знаками +, — указаныинтервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание иубывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегибаграфика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

/>

/>/>у′′ = 0 при х1 = 0, х2 = — 3√3, х3= 3√3.

/>Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3),(-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3; ∞).

/>

рис.2

На первом, втором ичетвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дугаисследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна –дуга выпукла.

При переходе через точких = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.

Следовательно С(0;1) –точка перегиба графика функции.

При переходе через точкух = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 — абсциссаточки перегиба.

Следовательно />– точкаперегиба графика функции.

6. Так как точек разрывау данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Дляопределения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:

/>

Тогда

/>

/>

При вычислении пределовиспользовалось правило Лопиталя.

у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1

Значит прямая у=1 естьгоризонтальная асимптота графика исследуемой функции.

/>

рис. 3


Задача №7

Найти неопределенныеинтегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

/>

Решение

а) Применяя свойстванеопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:

/>

Задача №8

Вычислить объем тела,образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4;у=0. Сделать чертеж.

Решение

/>

Объем тела, образованноговращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:

/>

Подставим в формулу (1) у= 4/х, х1 = 1, х2 = 4, получим:

 

/>

 

Ответ: объем телавращения равен 12π

еще рефераты
Еще работы по математике