Реферат: Дифференциальные уравнения
Задача №1
Даны вершины треугольникаАВС.
Найти: 1) длину стороныАВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол Ав радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнениеокружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств,определяющих треугольник АВС.
А(-7;5), В(5;-4),С(3;10).
Решение
1. Расстояние d между точками M1(x1; у1)и М2(х2; у2) определяется по формуле:
/>
Подставив в эту формулукоординаты точек А и В имеем:
/>
2. Уравнение прямой, проходящей черезточки М1(х1; у1) и М2(х2; у2),имеет вид:
/>
Подставив в формулу (2)координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
/>
Для нахождения угловогокоэффициента kab прямой АВ разрешим полученное уравнениеотносительно у:
/>
Отсюда
kab = — 3/4.
Подставив в формулу (2)координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.
/>
Для нахождения угловогокоэффициента kaс прямой АС разрешим полученное уравнениеотносительно у:
/>
Отсюда
kaс = 1/2.
3. Угол α между двумя прямыми,угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяетсяпо формуле:
/>
Угол А, образованныйпрямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее
k1= kab= -3/4, k2 = kac = 1/2.
/>
< А = arctg 2 = 1,11рад.
4. Так как высота CD перпендикулярнастороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине ипротивоположны по знаку, т.е.
/>
Уравнение прямой,проходящей через данную точку М1(х1; у1) взаданном угловом коэффициенте k имеет вид:
у – у1 = k(х –х1).(4)
Подставив в формулу (4)координаты точки С и kcd = 4/3, получим уравнение высоты CD:
у – 10 = 4/3(х – 3), у –10 = 4/3х – 4, 4х – 3у + 18 = 0. (CD)
Для нахождения длины CDопределим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):
/>
Подставив в формулу (1)координаты точек C и D, находим:
/>/>СD= √(-3 -3)2 + (2 -10)2 = √36+ 64 = 10 .
5. Уравнение окружности радиуса R сцентром в точке E(a;b) имеет вид:
(х – а)2 + (у– b)2 = R2 (5)
Так как СD являетсядиаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD.Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
/>
Следовательно E(0;6) и R= CD/2 = 5. Используя формулу (5), получимуравнение искомой окружности:
(х – 0)2 + (у– 6)2 = 25, х2 + (у – 6)2 = 25.
6. Множество точек треугольника АВС естьпересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ исодержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограниченапрямой АС и содержит точку В. Для получениянеравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащуюточку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
3* 3+ 4*10 +1 = 50 >0.
поэтому искомое неравенствоимеет вид:
3х + 4у +1 ≥ 0.
Для составлениянеравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащуюточку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек Ви С:
/>
Подставив в последнееуравнение координаты точки А, имеем:
7* (- 7) + 5 – 31 = — 75< 0.
Искомое неравенство будет
7х + у – 31 ≤ 0.
Подобным образом составимнеравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащуюточку В:
5 – 2(- 4) + 17 = 30 >0.
Третье искомоенеравенство
х – 2у + 17 ≥ 0.
Итак, множество точектреугольника АВС определяется системой неравенств:
/>
Задача №2
Даны векторы a1, a2, a3, b. Показать, что векторы a1,a2, a3 образуют базис трехмерного пространства и найтикоординаты вектора b в этом базисе.
a1(5;3;1), а2(-2;-1;2), а3(-2;1;4), b(3;0;1)
Решение
1. Система векторов /> впространстве Rn линейно независима тогда и только тогда, когдаотличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы:
/>
/>/>/>Подставив в формулу (1) координатывекторов a1,a2, a3 найдем определитель:
/>
Так как определитель неравен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственноони образуют базис трехмерного пространства.
2. Вычислим координаты вектора b в новомбазисе. А – матрица перехода.
b = А * bnew
Нам необходимо определитькоординаты bnew.
bnew = A-1* b(2)
Для нахождения обратнойматрицы применяется формула
/>
Необходимо найти всеэлементы для составления обратной матрицы:
/> />
Подставляем полученныеэлементы в формулу (3) и найдем А-1:
/>
Подставив значения А-1и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе:
/>
Задача №3
Систему уравненийзаписать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:
/>
Решение
Обозначим через матрицу А– матрицу коэффициенты при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z;H – матрицу-столбец свободных членов:
/>
С учетом этих обозначенийданная система уравнений принимает следующую матричную форму:
А*Х = Н(1)
Если матрица А –невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратнуюматрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1,получим:
А-1 * А * Х =А-1 * Н
Но А-1 * А = Е(Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому
Х = А-1 * Н(2)
Равенство (2) называетсяматричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решениясистемы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Пусть имеем невырожденнуюматрицу
/>
где Аij(i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителематрицы А, которое является произведением (- 1)ij на минор(определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбцав определителе матрицы А.
Вычислим определительΔ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.
/>
Следовательно матрица Аимеет обратную матрицу А-1.
/>
Тогда
/>
По формуле (2) находимрешение данной системы уравнений в матричной форме:
/>
Отсюда
х = — 1; у = 1; z = 0.
Задача №4
Вычислить пределы.
/>
Решение
а) Подстановка предельного значенияаргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида />.
Для устранения этойнеопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократимна множитель (х – 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х –3) отличен от нуля при х →3:
/>
б) При х→∞ выражение /> даетнеопределенность вида /> . Для устранения этойнеопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения />двух функций,бесконечно больших при х→∞, можно рассматривать отношение ихпроизводных />.Еслионо стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределустремится и отношение /> .
/>
в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tgу и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первогозамечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем:
/>
г)При х→∞выражение />являетсянеопределенностью вида 1∞. Для устранения этойнеопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малойпри х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела:
/>
Тогда имеем:
/>
Пусть 3х – 1 = — у.Тогда 6х + 4 = — 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя кпеременной у, получим:
/>
Задача №5
Найти производныефункций:
/>
Решение
а) Последовательно применяя правилодифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
/>
в) В данном случае функциональнаязависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужнопродифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функциейот х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ .
3у2у′ +еху (у + ху′) = 0, 3у2у′ + уеху +хеху у′ = 0,
Из последующего уравнениянаходим у′:
у′ (3у2+ хеху) + уеху = 0, />
Задача №6
Исследовать функцию />методамидифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функциирекомендуется проверить по следующей схеме:
1) найти областьопределения функции;
2) исследовать функцию нанепрерывность;
3) определить, являетсяли данная функция четной, нечетной;
4) найти интервалывозрастания и убывания функции и точки ее экстремума;
5) найти интервалывыпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти асимптотыграфика функции.
Решение
1. Функция определена при всехзначениях аргумента х.
2. Данная функция являетсяэлементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. наинтервале (- ∞; ∞).
3. Для установления четности инечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) –четная функция) или f(-x) = — f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х изобласти определения функции:
/>
Следовательно, f(-х) ≠f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, нинечетной.
4. Для исследования функции на экстремумнайдем ее первую производную:
/>
у′ = 0 при х1 = — 3, х2= 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать областиопределения функции.
Разобьем числовую ось натри интервала: (- ∞; — 3), (- 3; 3), (3; ∞).
/>
В первом и третьеминтервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функцияубывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. Припереходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса наплюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:
уmin = у(-3) = 0
Значит, А(-3;0) – точкаминимума.
При переходе через точку х= 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точкефункция имеет максимум:
уmax = у(3) = 2
Значит, В(3;2) – точкамаксимума.
На рис. 1 знаками +, — указаныинтервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание иубывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегибаграфика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
/>
/>/>у′′ = 0 при х1 = 0, х2 = — 3√3, х3= 3√3.
/>Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3),(-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3; ∞).
/>
рис.2
На первом, втором ичетвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дугаисследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна –дуга выпукла.
При переходе через точких = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.
Следовательно С(0;1) –точка перегиба графика функции.
При переходе через точкух = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 — абсциссаточки перегиба.
Следовательно />– точкаперегиба графика функции.
6. Так как точек разрывау данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Дляопределения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:
/>
Тогда
/>
/>
При вычислении пределовиспользовалось правило Лопиталя.
у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1
Значит прямая у=1 естьгоризонтальная асимптота графика исследуемой функции.
/>
рис. 3
Задача №7
Найти неопределенныеинтегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.
/>
Решение
а) Применяя свойстванеопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:
/>
Задача №8
Вычислить объем тела,образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4;у=0. Сделать чертеж.
Решение
/>
Объем тела, образованноговращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:
/>
Подставим в формулу (1) у= 4/х, х1 = 1, х2 = 4, получим:
/>
Ответ: объем телавращения равен 12π