Реферат: Геометрия Лобачевского

Тема: «ГеометрияЛобачевского»

Выполнила: Зайнулина Г.

Г.Бишкек 2010


Н.И. Лобачевский и егогеометрия

До начала XIX столетия ниодна из попыток доказательства V постулата не увенчалась успехом. Такимобразом, проблема V постулата оставалась неразрешимой. И только в начале XIX в.были получены результаты, которые привели к решению этой проблемы. Основнаязаслуга в этом принадлежит знаменитому русскому ученому Н.И. Лобачевскому. НиколайИванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький). Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанскийуниверситет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 г. Н.И. Лобачевский — профессор того же университета, с 1827 по 1846 г. — ректор университета. С 1846 по 1855 г.— помощник попечителя Казанского учебного округа. Н.И.Лобачевский скончался 24 февраля 1856 г. В течение первых лет преподавательскойдеятельности в Казанском университете Н.И. Лобачевский настойчиво пыталсядоказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток его предшественниковпривели его к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальныхпостулатов геометрии. Чтобы это доказать, Н.И. Лобачевский построил логическуюсистему, в которой, сохраняя основные посылки Евклида, он отвергает V постулати заменяет его противоположным допущением. Он пришел к выводу, что эталогическая схема представляет собой новую геометрию, которая может быть развитатак же успешно, как и геометрия Евклида. 7 февраля (по старому стилю) 1826 г. Н. И. Лобачевский представил физико-математическому факультету Казанского университета докладпо теории параллельных под названием «Рассуждения о принципах геометрии». В 1829 г. в «Ученых записках Казанского университета» он поместил статью «О началах геометрии». Этобыла первая опубликованная работа по новой геометрии. В последующие годыЛобачевский издал еще ряд сочинений по геометрии. В этих сочинениях он первымотчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что V постулат Евклиданельзя вывести из остальных аксиом геометрии. Лобачевский развивает свою геометриюна плоскости и в пространстве до тех же пределов, до каких была развитаЕвклидова геометрия, включая и формулы тригонометрии. Эту новую геометрию онназвал «воображаемой» (впоследствии ее стали называть геометрией Лобачевскогоили гиперболической геометрией). Открывая все новые и новые факты, Лобачевскийне встретил в своей геометрии каких-либо логических противоречий. Исследования,проделанные им, привели к убеждению, что его логическая схема свободна отлогических противоречий. Желая показать, что его геометрия никогда не приведетк противоречию, Лобачевский дает ее аналитическое исследование и решаетпроблему непротиворечивости своей геометрии вполне удовлетворительно для тоговремени. Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой приложенав математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него неподдавались вычислению. Примерно в одно время с Н.И. Лобачевским теориейпараллельных прямых занимались великий немецкий математик Гаусс (1777—1855) ивыдающийся венгерский математик Я. Бояи (1802— 1860). Но Гаусс не опубликовалничего по теории параллельных, боясь, что его не поймут. После смерти Гаусса вего бумагах были найдены наброски отдельных наиболее простых теоремгиперболической геометрии. Я. Бояи опубликовал в 1832 г. (через три года после публикации Лобачевского и, не зная о последней) на латинском языкепроизведение «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве,независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...». В этой работе,составившей приложение к математическому трактату его отца Фаркаша Бояи, ЯношБояи изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но в значительно менее развитойформе. Результаты Лобачевского оказались настолько необычными для математиков,воспитанных на идеях геометрии Евклида, что не были поняты большинством из егосовременников (и даже академиком М.В. Остроградским — одним из крупнейшихматематиков XIX в.). Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликованапереписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержалисьвосторженные отзывы об исследованиях Лобачевского и Бояи, внимание математиковвсего мира было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочисленныеисследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами«Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г. В ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрияЛобачевского. Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф. Клейн(1849—1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказалнепротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ееправомерности. Исследования Лобачевского получили широкое признание после егосмерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собойновый этап в развитии естествознания (недаром английский математик XIX в.Клиффорд называл Лобачевского Коперником геометрии). До Лобачевского евклидовугеометрию считали единственно возможным учением о пространстве. РаботыЛобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометриии их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики иастрономии. Выше было отмечено, что с научной точки зрения систему аксиом ипостулатов Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклидапри изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения,которые явно не высказаны и не доказаны. В конце 60-х годов прошлого столетияперед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарнойгеометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок нанаглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию. Эта задача сталаособенно актуальной после того, как идеи Лобачевского получили всеобщеепризнание и появились работы Б. Римана по эллиптической геометрии. В конце XIXи в начале XX в. появились многочисленные работы по обоснованию геометрии рядатаких крупнейших математиков, как Паш, Пеано, Пиери, Гильберт, Вейль и др.Наиболее исчерпывающими явились работы Гильберта и Вейля. Эти исследованияоказали большое влияние на формирование аксиоматического метода, которыйприменяется во всех разделах современной математики. Книга Гильберта «Основаниягеометрии», вышедшая в 1899 г., сыграла существенную роль в этой серииисследований. Она в 1903 г. была удостоена Международной премии имени Н.И.Лобачевского. В ней впервые дан список аксиом, достаточный для логическогопостроения евклидовой геометрии. Можно сказать, что с «Оснований геометрии»Гильберта начинается современный аксиоматический метод в математике. Вследующих двух параграфах рассмотрим краткий обзор системы аксиом Гильберта.

Системааксиом Гильберта (обзор)

ПоГильберту, предполагается, что даны три различных множества. Элементы первогомножества называются точками, элементы второго множества — прямыми, а элементытретьего множества — плоскостями (основные объекты). Точки, прямые и плоскостиобозначаются соответственно буквами А, В, С, ...; а, b, с, ...;α, β, γ, …. Элементы этих множеств находятся в определенныхотношениях, которые называются: «принадлежность», «лежать между» и«конгруэнтность» (основные отношения). Природа основных понятий, т. е. основныхобъектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должныудовлетворять определенным аксиомам, которые перечислены ниже.

СписокГильберта содержит 20 аксиом, которые разделяются на пять групп.

ГруппаI. Аксиомы принадлежности.

Аксиомыэтой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых иплоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит на», «проходит через»).Группа I содержит следующие восемь аксиом.

I1. Каковы бы ни были две точки А, В, существуетпрямая а, проходящая через эти точки.

I2. Каковы бы ни были две точки А и В, существуетне более одной прямой, проходящей через эти точки.

I3. На каждой прямой лежат по крайнеймере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на однойпрямой.

I4. Каковы бы ни были три точки А, В,С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость α, проходящая черезэти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой,существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I6. Если две точки А и В прямой а лежатв плоскости α, то каждая точка прямой а лежит в плоскости α.

Вэтом случае говорят, что прямая а лежит в плоскости α или плоскость αпроходит через прямую а.

I7. Если две плоскости α и βимеют общую точку А, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку В.

I8. Существуют по крайней мере четыреточки, не лежащие в одной плоскости.

Исходяиз этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьномкурсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны. Перечислимнекоторые из этих теорем.

1. Две прямые имеют не более однойобщей точки.

2. Если две плоскости имеют общуюточку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двухплоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на нейточку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только однаплоскость.

4. На каждой плоскости существуют триточки, не лежащие на одной прямой.

ГруппаII. Аксиомы порядка.

Предполагается,что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкамтой же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежитмежду точкой А и точкой С, то мы запишем так: А — В — С. При этом должны бытьудовлетворены следующие четыре аксиомы.

II1. Если А — В — С, то А, В, С — различные точки одной прямой и С— В — А.

II2.Каковы бы ни были две точки А и В, существуетпо крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А — В — С.

IIз. Среди любыхтрех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

ПоГильберту, отрезком АВ (или ВА) называется пара точек A и B.Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними,— внутреннейточкой отрезка или просто точкой отрезка.

II4 (аксиома Паша). Пусть А, В, С — триточки, не лежащие на одной прямой, а а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда еслипрямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точкуотрезка АС или ВС.

Можнодоказать, что утверждение, сформулированное в аксиоме Паша, верно и в томслучае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Нетрудно также доказать,что если прямая а пересекает какие-либо два из трех отрезков АВ, ВС и АС, то онане пересекает третий из этих отрезков.

Спомощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометриии вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что междулюбыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти квыводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержитбесконечное множество точек. Заметим, однако, что с помощью аксиом I и II групп нельзя доказать, что это множество несчетное. Вдополнение к аксиоме IIзможно доказать, что из трех точек прямой всегда одна точка лежит между двумядругими.

Аксиомыгрупп I и II позволяют ввести такие важные понятия геометрии, как понятияполуплоскости, луча и полупространства. В качестве примера введем понятиеполуплоскости. Предварительно докажем следующую теорему о полуплоскости.

Теорема. Прямая а, лежащая в плоскостиα, разделяет множество точек, этой плоскости, не лежащих на прямой а, надва непустых подмножества так, что если точки А и В принадлежат одномуподмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точкипринадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.

доказательство

Каждоеиз подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой, называется полуплоскостьюплоскости α с границей а.

ГруппаIII. Аксиомы конгруэнтности.

Предполагается,что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу).Это отношение выражается словом «конгруэнтен» и обозначается символом «/>». Должныбыть удовлетворены следующие пять аксиом.

III1. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', тосуществует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ /> А'В'.

Можнодоказать, что точка В' на данном луче единственная.

III2. Если А'В' /> АВ и А«В»/> АВ,то А'В' />А«В».

IIIз. Пусть А — В — С, А' — В' — С', АВ />А'В' и ВС/>В'С'.Тогда АС />А'С'.

III4. Пусть даны />hk и флаг (О', h',λ'). Тогда в полуплоскости λ’ существует один и только один луч k', исходящий из точки О', такой, что />hk /> />h'k'.

Каждыйугол конгруэнтен самому себе.

III5. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, и А',В', С' — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом

АВ /> А'В', АС /> А'С'. />BAC /> />В'А'С', то />АВС /> />А'В'С'.

Укажемнекоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности.

1. Отношение конгруэнтности отрезковявляется отношением эквивалентности на множестве отрезков.

2. В равнобедренном треугольнике углыпри основании равны.

ПоГильберту, треугольник ABC называетсяконгруэнтным треугольнику

А'В'С'(∆АВС /> ∆А'В'С’),если АВ />А'В', ВС />В'С', СА />С'А', АА />АА', АВ />АВ', АС />АС'.

3. Первый, второй и третий признакиравенства треугольников.

4. Отношение конгруэнтности угловявляется отношением эквивалентности на множестве углов.

5. Внешний угол треугольника большекаждого угла треугольника, несмежного с ним.

6. В каждом треугольнике противбольшей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежитбольшая сторона."

7. Любой отрезок имеет одну и толькоодну середину.

8. Любой угол имеет одну и только однубиссектрису.

ГруппаIV. Аксиомы непрерывности.

IV1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD — какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существуетконечное множество точек А1, А2, ..., Аn, таких, что выполняются условия: а) А — А1 — A2,, A1 — А2 — Аз, ..., An — 2 — An — 1 — An; б) АА1/> A1A2 /> … /> Аn– 1An/> CD; в) А— В — An.

IV2 (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а данабесконечная последовательность отрезков А1В1, A2B2, …,из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, длялюбого отрезка CD найдется натуральное число п, такое,что АnВn < CD. Тогда на прямой а существует точка М,принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

ГруппаV. Аксиома параллельности.

Пустьа — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда вплоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой,проходящей через A и непересекающей а.

В §3мы доказали, что эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида.

АксиомаЛобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому

ГеометрияЛобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а — произвольная прямая, а А — точка,не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а,существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающихпрямую а.

/>

Ясно,что все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрииЛобачевского. Из аксиомы V*непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, нележащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих черезточку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которыеобозначим через b и с, проходящие через точку А и непересекающие прямую а (рис. 2-1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке2-1 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней областиодного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда,очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальныхуглов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и d на рис. 2-1).

Вотличие от определения параллельных прямых по Евклиду в геометрии Лобачевскогопараллельными к данной прямой называются (только некоторые прямые из тех,которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимсясчитать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми.Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая,что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые намиточки на этой прямой лежат между точками U и V.

/>

Введемследующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни былиточки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВи CD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD(рис. 2-2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, топишут так: AB||CD.

Имеетместо следующий признак параллельности прямых.

Теорема1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуютточки Р и Q, такие, что Р є АВ и Q є CD, илюбой внутренний луч угла QPBпересекает луч QD, то AB||CD.

доказательство

Из предыдущегоизложения еще не следует, что существуют параллельные прямые по Лобачевскому.Докажем теорему о существовании параллельных прямых.

Теорема2. Пусть АВ — произвольнаянаправленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существуетодна и только одна прямая CD,проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD || AB.

/>

доказательство

ПустьМ — точка, не лежащая на прямой a, a MN — перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберемна прямой a две точки A и В так, чтобы А — N — В. Из теоремы 2 следует, что черезточку М проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF, параллельная направленной прямой ВА (рис. 2-7).

Входе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF—различные прямые. Докажем,что />DMN = />FMN. Пусть, напротив, />DMN ≠ />FMN, например />DMN > />FMN. Рассмотрим луч MF', симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF' не изображен на рис. 2-7). Этот луч является внутренним лучомугла DMN. Так как MF не пересекаетпрямую АВ, то и MF' не пересекает эту прямую. Но этопротиворечит определению параллельности прямых CD и АВ.

Такимобразом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят двепрямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуютравные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным източки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности вточке М относительно прямой а.

/>

Докажем,что величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки М допрямой а. На этом рисунке 2-8 NMD —угол параллельности в точке М относительно прямой a, a N'M'D' — угол параллельности в точке М' относительнопрямой а', α = />NMD, x = MN, α' = />N'M'D', x' = M'N'. Докажем, что если х = х', то α = α'. Пусть,напротив, α' ≠ α, например α' > α. Тогдасуществует внутренний луч h’ угла N'M'D', такой, что угол между лучами M'N' и h' равенα. Луч h' пересекает прямую а' в некоторой точке F'. На прямой а от точки N отложим отрезок NF = N'F' так, чтобы точки F и D лежали в однойполуплоскости с границей MN. Получим треугольник MNF, равный треугольнику МN'F' (треугольник MNF на рис. 2-8 не изображен). Так как />NMF = α, то лучи MD и MF совпадают. Мы пришли к выводу, чтопрямые MD и а пересекаются. Это противоречитопределению параллельных прямых. Таким образом, α. = α'.

Итак,α — функция от х: α = П(х). Она называется функцией Лобачевского ииграет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложенияясно, что функция П(х) определена для каждого положительного х и что 0 < П(х)< />.

Н.И.Лобачевский получил аналитическое выражение этой функции:

/>,

где k — некоторое положительное число.

Изэтой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая непрерывная функция. Изэтой формулы следует также, что П(х) принимает все значения, лежащие между О и />. Другимисловами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точкеотносительно данной прямой.

Такимобразом, в геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми илинейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского отгеометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; вчастности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще однаособенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. Вгеометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, напримерпрямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант несуществует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбратьединицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольныйотрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этомнеобходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можноусловиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можновыбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный />.

Треугольникии четырехугольники на плоскости Лобачевского

Всетеоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощиаксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющеебольшинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именнок этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенстватреугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношенияхмежду сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних угловтреугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке — вот далеконеполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так ив геометрии Лобачевского.

Нотреугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядомспецифических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

доказательство

Следствие.Сумма углов трегольни- ка непостоянна, т. е. не одна и та же для всехтреугольников.

доказательство

Теорема2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 2d.

доказательство

Теорема3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другоготреугольника, то эти треугольники равны.

доказательство

Выпуклыйчетырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие кодной стороне, прямые. Если ABCD —двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, астороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольникс равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотримнекоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то />С = />D и каждый из углов С и D острый.

/>

Рассмотримсимметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ (рис. 2-12). При этом, очевидно, точка А перейдетв точку В, а луч АD — в луч ВС (таккак />A = />B = d).B силу равенства AD =ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно,угол ADC — в угол BCD. Таким образом, />C = />D.

Потеореме 2 />А + />В + />С + />D < 4d, поэтому С + D <2d. Но так как />С = />D, то каждый из этих углов острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD < ВС, то />С < />D.

/>


Рассмотримсимметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ. При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В,а точка D — в точку D' луча ВС (рис. 2-13). Так как АD < ВС и AD = BD', то BD' < ВС, поэтому D' — точка отрезка ВС. ЧетырехугольникADD'В является четырехугольником Саккери, поэтому посвойству 1° />1 = />2. Но />1 < />ADC, a />2> />DCB (/>2 — внешний уголтреугольника CDD'). Таким образом, />DCB < /> АDC.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ />С < />D, то AD < ВС.

Взаимноерасположение двух прямых на плоскости Лобачевского

Лемма1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямых АВ и CD.

доказательство

Пользуясьэтой леммой, легко доказать, что отношение параллельности направленных прямыхудовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.

Теорема1. Если АВ || CD, то CD || АВ.

доказательство

Теорема2. Если АВ \\ EF, EF \\ CD ипрямые АВ и CD не совпадают, то АВ || CD.

Две(ненаправленные) прямые а и bпараллельными, если наэтих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.

/>


Двепрямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными),если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точкуМ, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая изкоторых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CD и EF параллельны прямой а в разныхнаправлениях (см. рис. 2-7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутривертикальных углов CMF и EMD, расходится с прямой а.

Такимобразом, на плоскости Лобачевского в отличие от плоскости Евклида имеются трислучая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны илирасходятся.

Теорема3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

доказательство

Следствие.На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельныхпрямых.

/>

Заметим,что две прямые не могут иметь более чем один общий перпендикуляр.Действительно, если, например, прямые а и b имеют два общих перпендикуляра АВ и А'В' (рис. 2-16), товыпуклый четырехугольник ABB'А'имеет четыре прямыхугла. Но это противоречит теореме 2 § 2 Гл. 2.Таким образом, если две прямые имеют общий перпендикуляр, то он единственный ипо теореме 3 эти прямые расходятся. В заключение докажем, что на плоскостиЛобачевского расстояние от переменной точки одной из двух параллельных илирасходящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этогопредварительно докажем следующую лемму.

Лемма2. Пусть лучи РР' и QQ' лежат в однойполуплоскости с границей PQ, ÐPQQ' прямой, a ÐQPP' прямой или тупой (рис. 2-18, а). Тогда если М — переменная точка луча РР', а Н —проекция этой точки на прямую QQ',то функция МН = f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.

/>

доказательство

ПустьАВ и CD — расходящиеся прямые, a PQ — общий перпендикуляр этих прямых (рис. 2-19). Фигуры BPQD и APQC удовлетворяют условиям леммы2, поэтому согласно этой леммерасстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р какв одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямыенеограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общегоперпендикуляра.

/>

Пустьтеперь АВ || CD, a PQ — перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 2-20). Так как />QPB острый, то смежный с ним />QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяетусловиям леммы2, поэтому согласно этой лемме расстояние от перемен- ной точки Мпрямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точкаМ удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется отточки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря,параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении,асимптотически приближаются в другом.

/>

Окружность,эквидистанта и орицикл

Наплоскости Лобачевского существуют три различных типа пучков, а именно: а) пучокпересекающихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, проходящих черезодну точку — центр пучка (рис. 2-21, а); б) пучок расходящихся прямых, т. е.множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой (рис. 2-21,б); в) пучок параллельных прямых — множество прямых, состоящее из некоторойнаправленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей (рис. 2-21, в).

Ясно,что если задан пучок, то через любую точку плоскости (отличную от центра пучкапересекающихся прямых) проходит одна и только одна прямая пучка.


/>

Скаждым пучком прямых связаны определенные линии.

Окружность. Как известно из школьного курсагеометрии, окружностью называется фигура, которая состоит из всех точекплоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Это определениеотносится к абсолютной геометрии, поэтому окружность линия как евклидовойплоскости, так и плоскости Лобачевского. Многие теоремы об окружности,известные учащемуся из курса геометрии средней школы, доказываются без помощиаксиомы параллельных, поэтому они справедливы и на плоскости Лобачевского.Прежде всего, отметим теорему о том, что любая прямая, лежащая в плоскостиокружности, пересекается с ней не более чем в двух точках. Перечислим другиесвойства окружности, которые относятся к абсолютной геометрии. При этомрассмотрим только те свойства, которые относятся к расположению точекокружности по отношению к пучку пересекающихся прямых с центром в центреокружности. Прямые этого пучка называются осями окружности.

1. Окружность симметрична относительнолюбой своей оси.

2. В каждой точке окружностисуществует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точкукасания.

Учитываяэто свойство, мы можем говорить, что окружность пересекает свои оси под прямымуглом или что окружность есть ортогональная траектория пучка прямых с центром вцентре окружности (рис. 2-22, а).

ПрямаяАВ, где А /> а и В /> Ь, называется секущейравного наклона к прямым а и b, если отрезок АВ составляет с этимипрямыми равные внутренние односторонние углы.

3. Прямая, содержащая хордуокружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям,проходящим через концы хорды.

/>

4. Серединный перпендикуляр к любойхорде окружности является ее осью.

/>

Невсе свойства окружности, известные нам из школьного курса геометрии, имеютместо на плоскости Лобачевского. Например, теорема о том, что угол, вписанный вокружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом, неверна наплоскости Лобачевского. В самом деле, пусть угол АСВ, вписанный в окружность сцентром О, опирается на диаметр АВ (рис. 2-23). Проведем радиус ОС и рассмотримдва равнобедренных треугольника ОАС и ОВС. Так как />A = />АСО и />B = />BCO, то />A + />В = />АСО + />ВСО =/>АСВ. Следовательно,σABC = />A + />В + />АВС = 2/>АСВ. Значит,/>АСВ= />σABC. Так как σABC < 2d, то АСВ< d, т. е. />АСВ — острый угол.

Эквидистанта. Эквидистантой называется фигура,которая состоит из всех точек полуплоскости с границей и, равноудаленных отэтой прямой. Прямая и называется базой эквидистанты, а перпендикуляр, проведенныйиз любой точки эквидистанты на базу,— высотой. Высотой называется также длина h этого перпендикуляра.

Сэквидистантой связан пучок расходящихся прямых — множество всех прямых,перпендикулярных к базе эквидистанты. Прямые этого пучка называются осями эквидистанты.Многие свойства эквидистанты аналогичны свойствам окружности.

Убедимсяв том, что эквидистанта — кривая линия.

Теорема1. Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с эквидистантойне более, чем в двух точках.

доказательство

Рассмотримдругие свойства эквидистанты.

1. Эквидистанта симметричнаотносительно любой своей оси.

доказательство

2. В каждой точке эквидистантысуществует касательная, которая перпендикулярна к оси, проведенной через точкукасания.

доказательство

Учитываяэто свойство, мы можем говорить, что эквидистанта является ортогональнойтраекторией пучка расходящихся прямых, перпендикулярных к базе эквидистанты(см. рис. 2-22, б).

Хордойэквидистанты назовем любой отрезок, соединяющий две точки эквидистанты.

3°. Любая прямая, содержащая хордуэквидистанты, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концыхорды.

доказательство

4°. Серединный перпендикуляр к любойхорде эквидистанты является ее осью.

Орицикл. Прежде чем ввести понятие орицикла,докажем следующую лемму.

Лемма.Через каждую точку одной из двух параллельных прямых проходит одна и толькоодна секущая равного наклона к этим прямым.

доказательство

Пустьна плоскости задан пучок параллельных прямых. На множестве Ω всех точекплоскости введем бинарное отношение ∆ следующим образом. Будем говорить,что точки A и В находятся в отношении ∆,если они совпадают или прямая АВ является секущей равного наклона к прямымданного пучка, проходящим соответственно через точки А и В. Из этогоопределения непосредственно следует, что отношение ∆ удовлетворяетусловиям рефлексивности и симметричности. Можно также доказать, что оноудовлетворяет условию транзитивности. Каждый элемент фактор-множества Ω/∆называется орициклом (или предельной линией). Прямые данного пучка называются осямиорицикла. Если задан пучок параллельных прямых, то через каждую точку А плоскостипроходит один и только один орицикл, который представляет собой классэквивалентности КА по отношению ∆. Это множество состоит източки А и всех таких точек X плоскости, что АХ-секущая равного наклона к прямым данного пучка, проходящим через точки А и X.

Еслиданы направленная прямая UV и на нейнекоторая точка А, то тем самым однозначно определяется орицикл, проходящийчерез точку А с осью UV.

Свойстваорицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты.

Теорема2. Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с орициклом неболее чем в двух точках.

доказательство

Орициклсимметричен относительно любой своей оси и является ортогональной траекториейпучка его параллельных осей (см. рис 2-22, в).

Любыедва орицикла на плоскости Лобачевского равны.

Гиперболическоепространство

ПустьV — векторное пространство размерности пнад полем R (в дальнейшем будем рассматриватьзначения п = 2,3). Зададим билинейную форму g: V /> V → R,такую, чтобы квадратичная форма φ (/>) = g (/>,/>) была быневырожденной квадратичной формой индекса k > 0.Число g (/>,/>)/>R назовем скалярным произведением векторов/>,/> иобозначим через />·/>или />/>, а число /> длиной (нормой)вектора />. Таким образом, если />, то /> , а если/>,то />,где b > 0 и i2 = -1.

Векторноепространство V, в котором скалярное произведение определено при помощиуказанной выше билинейной формы g, называется псевдоевклидовым векторнымпространством индекса k.

Впсевдоевклидовом пространстве скалярный квадрат /> вектора />≠ 0 можетбыть положительным, отрицательным или нулем. Например, если в базисе В = (/>)квадратичная форма φ (/>) имеет нормальный вид:

φ(/>) = (x1)2+ …+ (xn-k)2 – (xn-k+1)2 – … – (xn)2 ,                              (1)

то,очевидно, для векторов базиса имеем:


/>, />,…, />,/>, …,/>.

Поэтомудлина каждого из векторов /> равна единице; это единичныевекторы. Каждый из векторов /> имеет мнимую длину i; назовем эти векторы мнимоединичными.

Вектор/> ≠/>,для которого /> = 0, называется изотропным.Длины этих векторов равны нулю. Каждый из векторов />, где /> и /> —векторы базиса В при р /> п — k, q > n — k, является изотропным, так как по формуле (1)

φ(/>) = 1 –1=0.

По-прежнемудва вектора />, /> будем называть ортогональными,если />/> = 0.Векторы базиса В, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид (1),попарно ортогональны, так как эти векторы попарно сопряжены относительнобилинейной формы g(/>,/>).

Такимобразом, базис В состоит из единичных и мнимоединичных попарно ортогональныхвекторов. Такой базис назовем ортонормированным. Так как индекс квадратичнойформы φ (/>) не зависит от способаприведения этой формы к нормальному виду, то все ортонормированные базисыпсевдоевклидова векторного пространства V содержат одинаковое число мнимоединичных векторов; это числоравно индексу пространства.

ПустьВ — ортонормированный базис, а векторы /> и /> в этом базисеимеют координаты (xi) и (уi). Тогда /> = хi/>и у = yi/>, поэтому


/>/>=x1y1 + x2y2 + …+ xn-kyn-k – xn-k+1yn-k+1 — …- xnyn .                    (2)

Докажемследующую теорему.

Теорема.В псевдоевклидовом векторном пространстве V индекса 1 для любых двух векторов мнимой длины справедливонеравенство

(/>/>)2/>/>/>

причемзнак равенства в этой формуле имеет место тогда и только тогда, когда векторы /> и /> коллинеарны.

доказательство

Следствие.В псевдоевклидовом векторном пространстве индекса 1 для любых двух векторов />, /> мнимойдлины справедливо неравенство

/>                                                                                      (3)

ПустьV — псевдоевклидово векторноепространство индекса размерности п + 1 над полем R (n = 2,3) и g (/>,/>) — билинейная форма, с помощью которой в пространстве V определено скалярное произведение. Мы будем рассматриватьтолько автоморфизмы пространства V, т. е. такие линейные преобразованияэтого пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов (изначит, сохраняют длины векторов). Обозначим через Ω* множество всехвекторов мнимой длины пространства V. Очевидно, чтоесли φ — автоморфизм пространства V, тоφ (Ω*) = Ω*.

МножествоЕ ≠ 0 называется п-мерным гиперболическим пространством Лобачевского (иобозначается через />), если задано отображение

π: Ω*→E,

удовлетворяющееследующим аксиомам:

1)π— сюръекция;

2)π(/>)= π(/>) тогда и только тогда,когда /> и/> коллинеарны.

Системуаксиом 1—2 пространства Лобачевского обозначим через />.

Элементымножества Е называются точками. Так же как и в случае проективного пространства,если X = π (/>), то будем говорить, чтоточка X порождена вектором />.

Расстояниемежду точками X, Y />/>, определяется следующим образом.Зададим положительное число r (одно и то же дляданного пространства />). Если точки X, Y порождаются векторами />, />/> Ω*, то назовем расстоянием между этими точкаминеотрицательное число δ(X, Y), удовлетворяющее равенству

/>                                                                   (4)

где ch t = /> - гиперболический косинусвещественной переменной t. Мы замечаем, что функция cht четная, определена на всей числовойоси и ее значения заполняют промежуток [1, + ∞]. Поэтому согласно формуле(3) расстояние между любыми двумя точками всегда существует и являетсяположительным числом.

Числоr > 0 называется радиусом кривизны пространства />.

Праваячасть формулы (4) показывает, что расстояние δ(X, Y) не зависит от выбора векторов,порождающих точки X и Y.

Всякийавтоморфизм φ псевдоевклидова векторного пространства индуцирует некотороепреобразование f пространства /> позакону:

если

φ(/>)= />,то f(X) = X’.

Изформулы (4) следует, что преобразование f сохраняет расстояние между любыми двумя точками пространства />. Такоепреобразование f называется движениемпространства />.

Изопределения пространства /> можно заключить, чтогиперболические пространства Лобачевского /> и />' одной и той жеразмерности изоморфны. Следовательно, система аксиом /> категорична,теория T (/>) однозначна и ее можноизучать, пользуясь любой интерпретацией.

Докажем,что система аксиом /> непротиворечива, еслинепротиворечива арифметика вещественных чисел. Для этого построим интерпретациюэтой системы, используя множество R вещественных чисел. Для простоты изложения ограничимся случаем, когда п =2, т. е. когда Е — плоскость Лобачевского.

Векторомпсевдоевклидова векторного пространства V индекса 1 размерности 3 назовем любой столбец вида />, где а1,a2, a3 — произвольные вещественные числа.Сумма векторов и умножение вектора на число вводятся обычным образом, т. е. каксумма столбцов и умножение столбца на число.

Скалярнымпроизведением векторов /> и /> назовем число a1b1 + а2b2 — а3b3. Мыполучили модель псевдоевклидова векторного пространства индекса 1 размерности3. Очевидно, множество Ω*всех векторов мнимой длины состоит из тех и только тех векторов />, длякоторых />.

Введемследующее обозначение. Множество всех троек чисел вида km1, km2, km3, где k — любое действительное число, отличное от нуля, а m1, т2, m3 — фиксированные числа, не равные одновременно нулю, обозначим через < m1, т2, m3>. ■

Точкой(т. е. элементом множества Е) назовем любое множество < m1, т2, m3> приусловии, что />. Отображение π: Ω*→Eопределим так: вектору /> поставим в соответствиеточку < m1, т2, m3>,такую, что (а1, а2, а3) /> < m1, т2, m3 >

Впостроенной интерпретации, очевидно, выполняются обе аксиомы системы />.

Рассмотренноевыше утверждение позволяет дать еще один способ доказательства независимостиаксиомы параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии .

Системааксиом /> Гильбертаевклидовой геометрии состоит из аксиом I, II, III, IV, V групп, где V — аксиома параллельных,эквивалентная (при сохранении аксиом I — IV) V постулату Евклида. Выше было доказано, что система аксиом /> непротиворечива,если непротиворечива арифметика вещественных чисел. В последующем мыограничимся геометрией на плоскости, поэтому все системы аксиом будемрассматривать лишь для плоскости.

Рассмотримсистему аксиом ∑* = (/>\V) U V*. где V* — аксиома Лобачевского. Обозначим через /> систему аксиом1—2 плоскости Лобачевского />. Выше мы доказали, что этасистема непротиворечива. При этом система аксиом /> категорична (все ее интерпретацииизоморфны). Можно доказать (с помощью достаточно длинных рассуждений), чтосистемы аксиом ∑* и /> эквивалентны.

Следовательно,для системы ∑* нашлась интерпретация — это та же интерпретация, что иинтерпретация системы />. Поэтому система аксиом ∑*(содержательно) непротиворечива. Но в таком случае из самого способасоставления этой системы аксиом следует, что аксиома параллельных V не зависит от остальных аксиом (/>\ V) евклидовой геометрии.

Замечание. Так как аксиома параллельных V эквивалентна V постулату Евклида, то полученныйрезультат можно еще сформулировать так: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом системы />.

МодельКэли — Клейна плоскостиЛобачевского

Этамодель называется также моделью Кэли — Клейна. Ее построил английский математикКэли, но он не понял, что введенная им геометрия в круге и есть геометрияЛобачевского; это сообразил позже, в 1870 г., немецкий математик Клейн.

1.Плоскость Лобачевского Λ2 порождена множеством Q* векторов мнимой длины трехмерного псевдоевклидовапространства V (индекса 1). Скалярное произведениевекторов пространства V определяется припомощи заданной билинейной формы g(х,у), такой, что g(x, х) —невырожденная квадратичная форма индекса 1.

Рассмотримпроективную модель плоскости Λ2. На проективной плоскости Р2,порожденной векторным пространством V, квадратичнаяформа g(х, х) определяет линию второго порядка Q: Ф (X) = 0,где Ф (X) = g(х, х), и вектор /> порождает точку XÎP2. При этом на плоскости Р2 рассматриваются не любые проективныепреобразования, а только те, которые порождены автоморфизмами псевдоевклидовавекторного пространства V. Такие проективные преобразованияобразуют стационарную подгруппу НQ кривойвторого порядка Q.

Пусть/>—ортонормированный базис пространства V, причем /> —мнимоединичный вектор. Если в этом базисе вектор /> имеет координаты/>/>, то,очевидно />. Базис В порождаетпроективный репер R = (А1, А2, A3,E) плоскости Р2. В этом репере в силу предыдущегоравенства линия Q определяется уравнением

/>.

Следовательно,Q — овальная линия второго порядка.

Напомним,что точка/>является внутренней точкойотносительно линии Q тогда и только тогда, когда />. Этоозначает, что точка М порождена вектором /> мнимой длины, т. е. />.

Такимобразом, при отображении определяющем проективную плоскость Р2, множествоp(W*)=Λ2 есть множество точек, внутреннихотносительно овальной линии Q.

Таккак при отображении pаксиомы ΣΛ выполняются, то множество p(W*)=Λ2 точек, внутренних относительно кривой Q, является моделью плоскости Лобачевского. Линия второгопорядка Q называется абсолютом плоскостиЛобачевского Λ2.

2.Выясним, как изображаются прямые, отрезки, лучи, полуплоскости и углы на моделиКэли — Клейна.

ПустьW — двумерное подпространствопространства V и W' =W∩W*≠Æ. Тогда фигура p(W*) называется прямой плоскостиЛобачевского Λ2. Так как /> есть прямая на проективнойплоскости Р2, то прямая /> плоскости Лобачевскогоявляется пересечением прямой а с внутренней областью абсолюта W. На рисунке 3-1, а проективные прямые а и b определяют прямые аΛ и bΛ плоскости Лобачевского, которые представляют собой хорды (безконцов) абсолюта W и выделены жирной линией. На том жерисунке проективные прямые с и d не определяютпрямых на плоскости Λ2, так как на них нет точек, внутреннихотносительно абсолюта. Таким образом, проективная прямая и определяет прямую иΛна плоскости Λ2 тогда и только тогда, когда />на ней лежит хотя быодна внутренняя точка относительно абсолюта W. Другими словами, проективная прямая и определяет прямую uΛ на плоскости Λ2 тогдаи только тогда, когда она пересекает абсолют в двух вещественных точках U и V. ПрямуюиΛ будем обозначать через UV или VU (рис. 3-1, б).

Мывидим, что прямыми плоскости Лобачевского являются хорды (без концов) абсолюта.Любые две точки А и В плоскости А2, лежащие на прямой UV, не разделяют пару точек U, V (рис. 3-1, б), т. е. (UV, АВ)> 0.

Введемпонятие «лежать между» для трех точек прямой на модели Кэли — Клейна.Предварительно докажем следующую теорему.

Теорема.Пусть А, В и М — три точки на прямой UV плоскости А2. Если (АВ,MU) <0,то и (АВ, MV) <0.

доказательство

ПустьА и В — две точки плоскости Λ2, лежащие на прямой UV. Будем говорить, что точка М прямой UV лежит между точками А и В (и писать: А —М — В), если пара точек А, В разделяетпару точек М, U (или пару точек М, V), т. e.(AB,MU) < 0 (или (АВ, MV) < 0).

/>

Легковидеть, что это определение не зависит от порядка, в котором берутся точки А иВ. В самом деле, так как (АВ, MU) = (BA,MU)-1, то если А — М — В, то В — М — А. Нетрудноубедиться в том, что на модели Кэли — Клейна выполняются и все другие аксиомыгруппы II Гильберта.

Далее,обычным путем определяются понятия отрезка, многоугольника, луча, угла иполуплоскости. На рисунке 3-2 изображены отрезок АВ и угол О, внутренняяобласть угла О заштрихована. На этом же рисунке одна из полуплоскостей сграницей UV заштрихована.

3.Выясним теперь, как интерпретируется на модели Кэли — Клейна расстояние междудвумя точками. Для этого воспользуемся общей формулой расстояния между двумяточками.

ПустьX, Y — две точки плоскости L2.

Найдемвекторы, порождающие точки пересечения прямой XY с абсолютом Q. Для этого записываем уравнениепроективной прямой XY в параметрическом виде и находимотношение /> (или />) из уравненияточек пересечения линии с прямой />. Если точки X, Y порождены векторами /> и />, то уравнениепринимает вид:

/>                                                                                                           (2)

Учитывая,что векторы/>, /> мнимой длины, мыможем их нормировать так, чтобы />, где r > 0 — тоже число, что и в формуле (4) §1 Гл.3. Из этойформулы находим

/>.

Уравнение(2) принимает вид:

/>,                                                                   (3)

гдеберется знак «плюс» в случае />×/>< 0 и знак «минус» в случае />×/>>0.

Рассмотримслучай />×/>>0. Учитывая, что />, изуравнения (3) находим:

/> и />.

Следовательно,если U и V — точки пересечения прямой XY с линией Q, то векторы /> и />, порождающиеэти точки, имеют вид:

/>.

Отсюданаходим (XY, UV) = е2t, поэтому />. Правая часть этогоравенства меняет знак при перемене мест точек U и V. Но так как t> 0, то надо считать, что

/>.

Такимобразом,

/>                                                                  (4)

Таккак (ХV, UV) = (XY, VU)-1, то расстояние между точками X, Y, вычисленное по этой формуле, независит от порядка, в котором берутся точки U и V в формуле (4). Таким образом, формулу(4) можно записать также следующим образом:

/>                                                                  (4’)

Вслучае />/> < 0мы получаем те же формулы (4) или (4').

4.Трехвершинник A1A2A3 называется автополярным трехвершинником второго рода для овальной линиивторого порядка Q, если точки A1, A2 лежат на этой линии, а прямые A1A3 и А2Азявляются касательными к ней в точках А1 и А2 соответственно.Следовательно, каждая из сторон такого трехвершинника является полярой одной изего вершин, а именно: А1А3 — поляра точки А1,А2А3 — поляра точки А2 и А1А2— поляра точки А3 (отсюда и термин «автополярный») .

ПустьA1A2A3 — автополярный трехвершинник второгорода для овальной линии Q. Выберем проективный репер R — (A1,A2,A3, E), гдеEÎQ. Тогда нетрудно заметить, что втаком репере кривая Q определяетсяуравнением

/>.

Рассмотримстационарную подгруппу HQ абсолютаQ в проективной группе плоскости Р2.Если f Î HQ, то fиндуцирует некоторое преобразование fΛ наплоскости Λ2, так как в преобразовании f внутренняя область абсолюта переходит в себя. Формула (4)показывает, что преобразование fΛ сохраняетрасстояние между любыми двумя точками плоскости Λ2, поэтому fΛ называется движением плоскости Λ2.Очевидно, множество всех движений плоскости Λ2 образует группу,которая индуцируется группой HQ.

Двефигуры F, F'Î Λ2 называются равными (конгруэнтными), если они HQ – эквивалентны.

Каждоепреобразование fÎHQ переводитлюбой автополярный трехвершинник второго рода для абсолюта Q в автополярный трехвершинник второго рода для этого жеабсолюта. Поэтому движение fΛ, которое индуцируетсяпреобразованием f, однозначноопределяется заданием упорядоченной пары реперов: R=(A1,<sub/>A2, A3, Е), R'=(A'1,<sub/>A'2, A'3, Е'), где A1A2A3 и A'1A'2A'3— автополярные трехвершинники второго рода для абсолюта Q и Е, Е'ÎQ.Обратно: пусть (A1,<sub/>A2, A3, Е) и (A'1,<sub/>A’2, A’3,Е') — два репера,удовлетворяющие вышеуказанным условиям. Тогда проективное преобразование f, которое переводит репер R в репер R', принадлежит стационарной подгруппе HQ, поэтому порождает некоторое движение fΛ. Мы доказали следующее утверждение: каковы бы ни были дварепера R=(A1,A2,A3, Е) и R'=(A'1,<sub/>A'2, A'3, Е'), где A1A2A3 и A'1 A'2 A'3— автополярные трехвершинники второго рода дляабсолюта Q, а Е, Е'ÎQ, существует одно и только однодвижение fΛ плоскости Λ2, котороеиндуцируется проективным преобразованием f e HQ, переводящим репер R в репер R'.

Замечание. Заметим, что плоскость Лобачевскогоможет быть реализована «в малом» на поверхности постоянной отрицательнойкривизны, т. е. на псевдосфере. Пусть F— гладкая элементарная поверхность достаточно малого размера. (Этозначит, что вся она лежит в некоторой e-окрестности одной из своих точек при достаточно малом e.) Тогда геодезические линииповерхности F являются аналогом прямых линий наплоскости. Если F лежит на псевдосфере, то (как и наплоскости Лобачевского) сумма углов геодезического треугольника поверхности F меньше p.Поэтому можно сказать, что на псевдосфере реализуется «в малом» геометрияЛобачевского.

Освойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского

1. Так как все интерпретации системыаксиом ΣΛ2 плоскости Лобачевского изоморфны, то всюгеометрию Á (ΣΛ2) можнополучить с помощью одной из них, например, с помощью интерпретации Кэли —Клейна.

/>

Возьмемна плоскости Λ2 прямую UV и точку А, не лежащую на этой прямой (рис.3-3). Через точку Апроведем прямые U'V и UV’. Рассмотрим прямые UV’ и U'V. Эти прямые не пересекаются на плоскости Лобачевского Λ2.Но для произвольной точки СÎUV любой внутреннийлуч AD угла CAV пересекает луч CV. Следовательно, по определениюпараллельных прямых на плоскости Λ2 (§1 Гл.2) прямая U'V параллельна прямой UV. Мы знаем, чтоотношение параллельности двух прямых на плоскости Лобачевского симметрично (§3Гл.2, теорема 1). Следовательно, и прямая UV параллельна прямой U'V. Мы скажем, что эти прямые параллельны в направлении V. Точно так же убеждаемся, что прямые VU и VU параллельны в направлении U.

Такимобразом, в интерпретации Кэли — Клейна параллельные прямые изображаются хордамиабсолюта Q, имеющими общий конец.

ПрямыеUV и MN на рисунке 3-3 расходятся. Можно сказать, что расходящиесяпрямые изображаются такими хордами абсолюта, что содержащие их проективныепрямые пересекаются в точке, внешней относительно абсолюта.

2. В§3 Гл.2 мы изучили некоторые свойства параллельных прямых на плоскостиЛобачевского. Рассмотрим еще два свойства, для доказательства которыхвоспользуемся моделью Кэли — Клейна, так как на этой модели эти свойствадоказываются значительно проще.

Теорема1. На плоскости Лобачевского отношение параллельности прямых в одном и том женаправлении транзитивно.

доказательство

Теорема2. Пусть на плоскости Лобачевского даны две пары параллельных прямых: прямые UV, U\V, параллельные внаправлении V, и прямые U'V, U\V, параллельные в направлении V (рис. 3-4). Тогда существует движение, которое переводитпервую пару параллельных прямых во вторую.

доказательство

3.Докажем теорему о перпендикулярных прямых на модели Кэли — Клейна.

Теорема3. Прямые АВ и CD на плоскости А2перпендикулярны тогда и только тогда, когда они изображаются хордами абсолюта Q, лежащими на проективных прямых,каждая из которых проходит через полюс другой.

доказательство

/>

 

 

 

 

 

 

Замечание. Используя доказанную теорему, легкорешить следующую задачу на модели Кэли — Клейна. На плоскости Λ2даны прямая UV и точка А, не лежащая на ней(рис.3-6, а). Построить прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную кпрямой UV. На плоскости Р2 строим полюс Р проективной прямой UV и проводим проективную прямую АР, которая пересекает абсолют Q в точках U1, V1 (рис.3-6, б). По доказанной теореме хорда U1, V1 является искомой прямой плоскости Λ2.

4. Мыотметили, что в интерпретации Кэли — Клейна две расходящиеся прямыеизображаются такими хордами абсолюта, что проективные прямые, содержащие этихорды, пересекаются во внешней точке относительно абсолюта. Выше было доказано,что если две прямые имеют общий перпендикуляр, то они расходятся (§3 Гл.1,теорема 3). Докажем обратную теорему.

Теорема4. Две расходящиеся прямые UV и U'V' имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Теорема 4. Дверасходящиеся прямые UV и U'V' имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

/>

ПустьР и Р' — полюсы проективных прямых UV и U'V’ соответственно,a S — точка пересечения проективных прямых UV и U'V’ на проективной плоскости Р2 (рис. 3-7). Прямая РР'проходит через полюсы прямых UV и U'V’, поэтомупо теореме взаимности поляритета проективные прямые UV и U'V’ проходят через полюс прямой РР'. Но UV∩U'V’=S, следовательно,S — полюс прямой РР'. По условию S — внешняя точка относительноабсолюта, и, значит, ее поляра — прямая РР' пересекает абсолют в двух точках U0и V0.

Таккак проективная прямая U0V0проходит через полюсы Р и Р' прямых UV и U'V (рис.3-7), то по теореме 3 U0V0^UV и U0V0^U’V’, т. е. прямая U0V0на плоскости Λ2 является общимперпендикуляром двух расходящихся прямых UV и U'V’. Такая прямая единственная, так как по этой же теоремеискомая хорда абсолюта должна лежать на проективной прямой, проходящей черезточки Р и Р', а через две точки проективной плоскости проходит только однапрямая.


Понятиео сферической геометрии

1. Сферическая геометрия изучает свойствафигур, лежащих на сфере евклидова пространства.

ПустьS — некоторая сфера с центром О радиусаr. Возьмем плоскость s, удаленную от точки О на расстояние, меньшее r. Тогда пересечение плоскости s и сферы S есть окружность, которую назовем большой окружностью, если ОÎs, и малойокружностью, если ОÎs.

Вгеометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. Здесьесть определенная аналогия: для любых двух точек А, ВÎS существует большая окружность,проходящая через эти точки. Но есть и отличие: большая окружность единственнаятолько тогда, когда точки А и В не являются диаметрально противоположными.Далее, на плоскости Евклида и на плоскости Лобачевского существуютнепересекающиеся прямые, тогда как на сфере любые две различные большиеокружности пересекаются в двух точках (диаметрально противоположных).

Известно,что любая большая окружность Q сферы S делит ее на две части, которыеназываются полусферами, а сама окружность Q — краем этих полусфер. В геометрии на сфере полусфера играетту же роль, что и полуплоскость в планиметрии.

ПустьА и В — две диаметрально противоположные точки сферы S, АСВ и ADB — двекакие-либо полуокружности с концами в точках А и В, а фигура Г — объединениеэтих полуокружностей (рис.3-8).


/>

Можнопоказать, что фигура Г делит фигуру S\Г на две части D' и D" (нарис. 3-8 одна из этих частей заштрихована). Каждая из фигур D1=D’ÈГ, D2=D"ÈГ называется двуугольником с вершинами в точках А и В.

Данныеполуокружности АСВ и ADB называютсясторонами этих двуугольников. Двуугольник — аналог угла на плоскости:двуугольник является или пересечением, или объединением двух полусфер, краякоторых не совпадают. Ясно, что двуугольник можно рассматривать как пересечениесферы S с двугранным углом С× АВ× D. Линейныйугол этого двугранного угла называется углом данного двуугольника. Его можнорассматривать как угол между касательными в точке А (или В) к большимокружностям, содержащим стороны двуугольника. Если этот угол прямой, тодвуугольник называется прямоугольным.

ПустьQ1 и Q2 — две большие окружности. Q1∩Q2 ={А, В}. Мы имеем здесь две пары вертикальных двуугольников,высекаемых на сфере S двумя парамивертикальных двугранных углов, полученных при пересечении плоскостей s1ÉQ1 и s2ÉQ2. Если один из этих двуугольников прямоугольный, то иостальные три прямоугольные. В этом случае большие окружности Q1 и Q2 называются перпендикулярными: Q1^Q2. Ясно, что окружности Q1 и Q2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда плоскости s1 и s2 перпендикулярны.

Если Q — большая окружность, а АВ — диаметрсферы, перпендикулярный к плоскости этой окружности, то точки А и В называются полюсамиокружности Q. Если точка M1 не является полюсом окружности Q, то существует, и притом единственная, большая окружность Q2, проходящая через точку M1 и перпендикулярная окружности Q. Чтобыполучить эту окружность Q2, надо пересечь сферу S плоскостью, которая проходит черезпрямую ОМ1 перпендикулярно плоскости окружности Q1. Если же точка M1 является полюсом большой окружности Q1, то любая большая окружность, проходящая через точку M1, перпендикулярна окружности Q1. В этом снова проявляется отличие сферической геометрии отгеометрии на евклидовой плоскости (или на плоскости Лобачевского), где черезлюбую точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная к даннойпрямой.

2.Возьмем две точки A,BÎS и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис. 3-9). Окружность Q является объединением двух своих дуг/> и/> сконцами в точках А и В. Длина той из этих двух дуг, которая не большеполуокружности, называется сферическим расстоянием между точками А и В иобозначается через d(A,B). Следовательно,для любых двух точек сферы S имеемd(A,B)£pr.

/>

Пусть/> меньшеполуокружности, и, значит, d(A,B) — длинаэтой дуги. Обозначим через а величину центрального угла АОВ, опирающегося надугу АМВ, и через r(А, В)– длину отрезка АВ. Как известно,

d(A,B) = ar.                                                                                    (1)

Изтреугольника АОВ (рис. 3-9) находим:

/>                                                                           (2)

Изформул (1), (2) следует:

/>                                                                  (3)

3. Движениемсферы называется всякое изометрическое отображение этой сферы на себя, т. е.такое отображение f<sub/>: S®S, которое удовлетворяет условию:каковы бы ни были точки А и В сферы, d(A,B) = d(f(A), f(B)). Из формулы (3) следует, что в этом случае r(А, В)=r(f(А), f(В)). Следовательно, любое движение f сферы Sпорождается некоторым движением f0пространства, причем f0(О)=О. Обратно: любое движение g0пространства,оставляющее точку О инвариантной, порождает определенное движение сферы S.

Отсюдазаключаем, что множество всех движений сферы S является группой, которая изоморфна стационарной подгруппе Н0точки О в группе движений пространства.

Двефигуры F, F'Ì S называются конгруэнтными или равными,если существует такое движение сферы S, которое переводит одну из этих фигур в другую. Следовательно, фигуры F, F' Ì S конгруэнтны, если они Н0–эквивалентны.

4.Возьмем на сфере S три точки А, В, С,не лежащие на одной большой окружности. Они определяют три полусферы, каждая изкоторых содержит точки А, В, С, причем две из этих точек принадлежат краюполусферы. Пересечение этих трех полусфер называется сферическим треугольником свершинами А, В, С. Дуги АВ, ВС, АС больших окружностей (меньшие полуокружности)называются сторонами сферического треугольника ABC.

ПустьABC — сферический треугольник, а = d(B,C), b = d(A,C), с = d(A,B) — длины его сторон, a, b, g соответственно углы ВОС, АОС и АОВ.

Докажемтеорему синусов для сферического треугольника.

Теорема.Пусть а=d{B,C), b=d{A,C), с=d{A,B) — сторонысферического треугольника ABC, a r — радиус сферы. Тогда

/>                                                                       (4)

доказательство

Можнодоказать, что справедливо следующее равенство, которое выражает теоремукосинусов для сферического треугольника ABC:

/>                                                                             (7).

Можнотак же доказать, что площадь сферического треугольника ABC вычисляется по формуле

/>,                                                                                    (8)

где /> — такназываемый избыток сферического треугольника. Так как площадь SABC>0, то из формулы (8) следует, что e> 0, т. е. />. Итак, суммауглов любого сферического треугольника больше p. Это — существенное отличие геометрии на сфере как от геометрии наплоскости Евклида, так и от геометрии на плоскости Лобачевского

МодельПуанкаре

МодельПуанкаре геометрии Лобачевского. (Французский ученый Анри Пуанкаре (1854—1912)— крупнейший математик. Описываемая далее модель была предложена им в 1882г.)Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость; роль прямыхвыполняют содержащиеся в ней полуокружности с центрами на ограничивающей еепрямой и лучи, перпендикулярные этой прямой. Роль наложений выполняюткомпозиции инверсий относительно этих полуокружностей и отражений в лучах. Всеаксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных(рис. 4-1, а), тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского.

/>

Опишемэту модель более подробно и докажем сказанное. Берем на обычной евклидовойплоскости какую-нибудь прямую р и ограниченную ею открытую полуплоскость Р. Прямуюр назовем граничной прямой. Полуплоскость Р будет играть роль плоскостиЛобачевского; мы будем называть ее «плоскостью» в кавычках. Точками в моделибудут точки этой «плоскости», т. е. полуплоскости Р. За «прямые» в моделипринимаем, во-первых, содержащиеся в Р полуокружности, центры которых лежат награничной прямой (рис. 4-1, а). «Отрезок» АВ в модели — это дуга такойполуокружности с концами A, В.

Подчеркнем,что конец «отрезка» не может быть концом полуокружности, представляющей прямую;ее концы исключены вместе с граничной прямой; «плоскость» — это открытаяполуплоскость. Точка «прямой» служит общим началом двух «лучей» — двух дугполуокружности (с исключенными концами). «Углом» назовем фигуру из двух «лучей»с общим началом, не содержащихся в одной «прямой» (рис. 4-1, а).

Помимоуказанных «прямых» есть еще «прямые» — это полупрямые, перпендикулярныеграничной прямой. Они являются пределами рассмотренных полуокружностей (рис.4-1, б). Когда центр полуокружности удаляется по граничной прямой, аполуокружность проходит через данную точку, то она «распрямляется» и в пределепереходит в полупрямую. Поэтому мы дальше будем мыслить указанные полупрямыесреди «прямых» модели в качестве полуокружностей, как «полуокружностибесконечного радиуса». Это позволит обойтись без скучных оговорок, касающихсяэтих полупрямых, причем, однако, следует помнить условность этого и бытьготовым проверять утверждения для таких «полуокружностей». («Отрезок» на такой«прямой» — это обычный отрезок, а «лучи» — один обычный луч, другой — отрезок сисключенным концом на граничной прямой.)

Рассмотримтеперь в этой модели те аксиомы, в которые не входит понятие о равенстве отрезкови углов.

Аксиомапараллельных для прямых относится к таким аксиомам. В данной модели она явно невыполняется: через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходит бесконечно много«прямых», не имеющих с а общих точек (рис. 4-1, а).


/>

/>

Всепрочие аксиомы, говорящие о связи точек и отрезков или точек и прямых, овзаимном расположении точек и прямых, здесь выполняются. Так, на рис. 4-2указано построение отрезка с данными концами. Далее, возьмем полуокружность,представляющую «прямую» в модели. Проведем прямую l, касающуюся этой полуокружности и параллельную граничнойпрямой. Спроектируем полуокружность из ее центра на прямую l (рис.4-3). Получим взаимно однозначное,сохраняющее порядок точек, соответствие между точками прямой и полуокружности,т. е. «прямой» модели. Все свойства, выраженные в аксиомах, будут одни и те же.Они также очевидно выполнены на полупрямых, представляющих «прямые» модели.Аксиома деления плоскости также выполняется. «Прямая» — полуокружность — делитплоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Это и будут «полуплоскости» внашей модели. Из одной в другую нельзя перейти по какой-либо дуге, не пересекаяразделяющую их «прямую» — полуокружность.

Остаетсяопределить равенство «отрезков» и «углов» так, чтобы выполнялисьсоответствующие аксиомы. Это мы сделаем, определив «наложение». Сначалаопределим «отражение в прямой». За «отражение в прямой» примем инверсию в тойокружности, полуокружность которой представляет данная «прямая». Если же«прямая» — это полупрямая, перпендикулярная граничной прямой, то «отражением» вней будет обычное отражение.

«Наложением»в модели называем любую композицию «отражений». «Равными» считаем фигуры, вчастности, «отрезки» и «углы», совмещаемые «наложением».

Этоопределение сразу приводит к выводу: углы, «равные» в модели, равны без кавычек— в обычном смысле. В самом деле, углы при инверсиях сохраняются, т. е.преобразуются в равные, но они «равны» в модели по определению. Обратно: углы,«равные» в модели, — это т.е., которые преобразуются друг в друга«наложениями», т. е. инверсиями, и, стало быть, они равны в обычном смысле.

Приинверсии в окружности с центром на граничной прямой эта прямая и полуплоскость Ротображаются на себя. Поэтому содержащаяся в Р полуокружность с центром награничной прямой отображается на такую же полуокружность. В модели этоозначает, что при «отражениях» «прямые» переходят в «прямые». Очевидно, чтотакже «лучи» переходят в «лучи» и «отрезки» — в «отрезки».

Обратимсяк откладыванию отрезков и углов в модели. Понятия, относящиеся к модели, будемпредварять знаком *.

/>


Пустьданы точка А, *луч а с началом А, *отрезок АВ на этом *луче и *угол ab с вершиной А, образованный *лучом а вместе с *лучом b. Пусть даны также точка А', исходящий из нее *луч а', иотмечена * полуплоскость Q,ограниченная *прямой, содержащей *луч а' (рис. 4-4, а). Нам нужно произвести*наложение, переводящее точку А в А’, *луч а — в а' и *луч b — в *луч, лежащий в *полуплоскости Q так, что *угол, *равный ab, отложитсяот а' в эту *полуплоскость.

Проведемпрямую АА', и пусть она пересекает граничную прямую р в точке О (рис. 4-4, б).Произведем инверсию с центром О, которая переведет А в А'. *Луч а перейдет в*луч а" с началом А', он образует с *лучом а' *угол а'а").

Проведемпрямую q (без кавычек), делящую *угол а'а"пополам, и построим окружность с центром на граничной прямой, касающуюся прямойq (кстати, укажите такое построение). Инверсияв этой окружности переведет *луч а" в а' (почему?). В смысле модели этозначит, что *отражение в соответствующей *прямой переводит *луч а" в а'. Такимобразом, два отражения переводят точку А в А' и *луч а — в а'. Вместе с *лучомвся содержащая его *прямая /> — полуокружность —переходит в *прямую /> — полуокружность,—содержащую *луч а'. *Полуплоскости, ограниченные *прямой />, отображаются на*полуплоскости, ограниченные *прямой />. *Луч b, служащий стороной данного *угла ab, переходитв *луч b" с началом А'. Но он может оказаться не в той*полуплоскости, которая была заранее отмечена. Тогда нужно произвести еще*отражение в *прямой, содержащей *луч а', т. е. инверсию в окружности,содержащей эту *прямую. При этом на самой *прямой /> ничего не происходит: всеее точки остаются неподвижными. И только *луч b" перейдетв *луч b, лежащий в указанной *полуплоскости.

Еслина *луче а была отмечена какая-нибудь точка В, и тем самым отмечен *отрезок АВ,то эта точка перейдет в определенную точку В' на *луче а' и *отрезок АВ — в*отрезок А'В' на этом * луче. Так мы получаем результат: на каждом *луче а' можноот его начала отложить *отрезок, *равный данному, т. е. для любого данного*отрезка АВ на данном *луче с началом А' есть такая точка В', что *отрезок АВ можноперевести в *отрезок А'В' путем *наложения.

Совершеннотак же то, что *луч b перейдет в *луч b', лежащий в нужной полуплоскости, что и *угол а'b' равен данному ab, позволяет утверждать:

Откаждого *луча от его начала по данную сторону от *прямой, его содержащей, можноотложить *угол, равный данному.

Остаетсядоказать, что *угол откладывается единственным образом, так же, как и *отрезок(или, по нашей аксиоме меньшего отрезка, отрезок, содержащийся в данном и несовпадающий с ним, не может быть равен ему).

Утверждениео единственности откладывания угла сводится, очевидно, к следующему:

Если*лучи b, с, исходящие из начала *луча а, образуют с ним равныеуглы и лежат с одной стороны от него (в одной полуплоскости), то они совпадают.

Но*углы, равные в модели, равны в обычном «евклидовом» смысле, а для обычныхуглов сказанное, очевидно, верно. *Лучи b, с содержатсяв окружностях с центрами на данной прямой р. Раз они образуют с *лучом а данныйугол, то, значит, дана касательная к указанным окружностям в точке А. Ноокружность с центром на данной прямой, касающаяся другой прямой в данной ееточке, только одна. Значит, *лучи b, с совпадают.Итак, *угол откладывается единственным образом.

*Отрезок,*равный данному, также откладывается на данном *луче единственным образом.Действительно, пусть *отрезок АВ, *равный данному, отложен на данном *луче а сначалом А. Если бы можно было отложить другой *отрезок, АС, равный тому же, тоэто значило бы, что есть *наложение (отличное от тождественного), отображающее*луч сам на себя. Оно отображает тогда на себя и всю содержащую его *прямую —полуокружность а. Если же *наложение переставляет *полуплоскости, ограниченные*прямой а, то добавив отражение в ней, можно добиться того, что и полуплоскостиэти будут отображаться каждая на себя.

Втаком случае, ввиду сохранения углов, все *лучи, исходящие из точки А, будутотображаться на себя. Значит, при такой композиции инверсий (и отражений ввертикальных лучах) все концы лучей на граничной прямой остаются на месте.Вместе с ними отображаются на себя все полуокружности с концами на граничнойпрямой, т. е. *прямые модели. Но каждую точку можно получить в пересечении этих*прямых. Поэтому все точки отображаются на себя — «остаются на месте» — так чторассматриваемое *наложение оказывается тождественным вопреки предположению.

Этимединственность откладывания на данном луче отрезка, равного данному, доказана.

Наэтом доказательство того, что в рассмотренной модели выполняется геометрияЛобачевского, заканчивается. Требование аксиомы меньшего отрезка, что в отрезокнельзя уместить ему равный, заведомо. Выполняется при том, что уже доказано.Впрочем, доказательство того, что оно выполнено, читатель может провести сам.

Описаннуюмодель плоскости Лобачевского можно еще назвать конформной, поскольку в нейналожения представляются инверсиями — преобразованиями, сохраняющими углы.

Модель геометрииЛобачевского в пространстве

Эта модель определяетсяаналогично модели на плоскости. За пространство принимается открытоеполупространство Р. «Плоскостями»» в нем служат содержащиеся в Р полусферы сцентрами на граничной плоскости, а также перпендикулярные ей открытыеполуплоскости. За «прямые»» принимаются полуокружности, перпендикулярныеграничной плоскости (т. е. касательные к ним в концах перпендикуляры этойплоскости; центры их лежат на граничной плоскости), а также перпендикулярные ейлучи. Роль «наложений»» играют композиции инверсий в сферах с центрами награничной плоскости и отражений в перпендикулярных ей плоскостях.

Модельгеометрии Лобачевского на поверхности

Оказывается,что геометрия Лобачевского реализуется на поверхностях постоянной отрицательнойкривизной: внутренняя геометрия такой поверхности и есть геометрия Лобачевского.Только не на всей плоскости, а на той ее части, которая может быть представленаданной поверхностью. Вместе с тем доказано, что не существует (в трехмерномевклидовом пространстве) никакой поверхности, которая своей внутреннейгеометрией представляла бы всю плоскость Лобачевского.

Вовнутренней геометрии поверхности роль прямолинейных отрезков играют кратчайшиелинии (отрезки геодезических); роль наложений — такие отображения фигур,содержащихся в поверхности, которые сохраняют расстояния, измеряемые по этимкратчайшим линиям.

Самаяизвестная из поверхностей постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера —изображена на рис. 4-5.

/>


Реализациюгеометрии Лобачевского на поверхностях постоянной отрицательной кривизныустановил итальянский математик Бельтрами (в 1861 г.).

Впрочем,еще за 30 лет до него это установил, собственно, Миндинг — профессоруниверситета в Дерпте (ныне Тарту), — но не понял этого.

Доказательствологической непротиворечивости геометрии Лобачевского

Мыдокажем непротиворечивость системы аксиом планиметрии Лобачевского, состоящейиз четырех групп I1-3, II1-4, III1-5, IV1-2 аксиом Гильберта (аксиомы абсолютной планиметрии) и аксиомы V* Лобачевского. При решении этойзадачи предполагается, что евклидова геометрия (т. е. система аксиом ∑H Гильберта) непротиворечива. Мыпостроим из объектов евклидовой плоскости модель плоскости Лобачевского,которая называется евклидовой моделью Кэли — Клейна. Рассмотрим на евклидовойплоскости некоторую окружность ω с центром О радиуса r = 1 и назовем ее абсолютом. Обозначим через Ω кругс границей ω, а через /> множество внутренних точекэтого круга.

Введемследующие соглашения. Неевклидовой точкой назовем любую евклидову точку М/>, а неевклидовойпрямой — любую хорду (без концов) окружности ω. Отношения «принадлежность»и «лежать между» понимаем в обычном смысле. Неевклидовы прямые будем обозначатьтак: UV, U1V1и т. д.,предполагая, что U, V, U1, V1 /> . Таким образом, неевклидовыми точками прямой UV будут те и только те евклидовы точки, которые лежат междуточками U и V.

Нетрудноубедиться в том, что при этих соглашениях выполняются все аксиомы I1-3, II1-4 Гильберта. Проверим в качестве примера аксиому. Пусть А и В —две неевклидовы точки, a UV — неевклидова прямая, на которой онилежат. Так как А и В — внутренние точки хорды UV, тона этой хорде существует хотя бы одна внутренняя точка С, такая, что А — В — С.Отсюда мы заключаем, что существует по крайней мере одна неевклидова точка С,такая, что неевклидова точка В лежит между неевклидовыми точками А и С.

Таккак в построенной модели выполняются все аксиомы групп I, II Гильберта, товыполняются и все следствия из этих аксиом, в частности имеют место теоремы, спомощью которых вводятся понятия луча и полуплоскости. Ясно, что неевклидовымлучом, исходящим из точки С, является множество всех внутренних точекпроизвольной полухорды CU окружности ω(CU — евклидов отрезок, где С —внутренняя точка круга Ω, a U — точка на его границе). Неевклидовойполуплоскостью является множество всех внутренних точек какого-нибудь сегментакруга Ω.

Длятого чтобы в нашей модели определить равенство отрезков и углов, введем рядвспомогательных понятий. Напомним, что на евклидовой плоскости простымотношением трех точек А, В и С, лежащих на одной прямой, называется число (АВ,С) = λ, такое, что />, а сложным отношениемчетырех точек А, В, С, D, лежащих на одной прямой,— число (АВ, CD) = />. Из этого определениянепосредственно вытекают следующие свойства.

1.Если (АВ, CD) = (АВ, CD'), то точки D и D' совпадают.

2.Для любых четырех точек А, В, С, D прямой имеем (АВ,CD) = (CD, AB)= = (ВА, DC) = (DC, BA).

Есличетыре точки на прямой заданы своими координатами M1(x1, у1), М2 (х2,y2), М3 (х3, у3) и M4 (х4, у4), то

/>.                                (1)

Однаиз этих формул теряет смысл, если данные точки лежат на прямой, параллельнойодной из координатных осей.

Биективноеотображение f: Ω → Ω назовем />-преобразованием,если выполнены следующие условия.

а)Внутренние точки круга Ω переходят во внутренние точки этого же круга, аграничные точки этого круга — в граничные точки.

б)Любая хорда окружности ω переходит в некоторую хорду этой же окружности, ипри этом сохраняется сложное отношение соответственных точек.

Рассмотримпримеры />-преобразований.

Пример1. Любое движение евклидовой плоскости, имеющее центр абсолюта своейинвариантной точкой, индуцирует во множестве Ω некоторое />-преобразование.В частности, тождественное преобразование множества Ω, вращение вокругцентра О круга Ω, отражение от любого диаметра круга Ω являютсяпримерами />-преобразований.

Пример2. Пусть отображение f:Ω → Ω в системе координат Оху задано формулами

/>, />, где |a| < 1                                                     (2)

Таккак для точек множества Ω: — 1 ≤ х ≤ 1, то 1 — ах ≠ 0,поэтому каждая точка множества Ω имеет образ. Из формул (2) получаем:

/>                                                                                                   (3)

/>,/>/>.                                                                  (4)

Изравенства (3) следует, что точки абсолюта ω при отображении f переходят в точки абсолюта, а точки множества /> — вточки того же множества />. Далее, из равенств (4) мызаключаем, что каждая точка (х', у') множества Ω имеет единственныйпрообраз (х, у), поэтому отображение (3) является биекцией множества Ω.

Отметим,что преобразование f, как показываютформулы (2) и (4), является инволютивным, т. е. f -1 = f.

Докажем,что для преобразования f выполняются такжеусловия б). Если точки M1, M2,, M3/> лежат на прямой Ах + By + С = 0, то, используя формулы (4), мы убеждаемся в том,что их образы M’1, M’2,, M’3/> также лежат на некоторой прямой.Таким образом, если UV — некоторая хорда окружности ω,а U = f(U), V = f(V), то все точки хорды UV переходят в точки хорды U'V’. Но так как f -1 = f, то все точки хорды U'V’ переходятв точки хорды UV. Таким образом, хорда UV переходит в хорду U'V’.

Остаетсядоказать, что преобразование (2) сохраняет сложное отношение четырех точек.Пусть M1(x1, у1), М2 (х2,y2), М3 (х3, у3), M4 (х4, у4)— четыре точки, лежащиена одной прямой, пересекающей ось Оу, а М'i(хi,уi), i= 1,2, 3, 4,— их образы. Используя первую из формул (4), находим:

/>

где i, j = 1,2, 3, 4, i ≠ j.

Отсюда,применяя формулу (1), получаем (М1М2, М3М4)= (М’1M’2, М'3M’4). Если точки Мi<sub/>лежат на прямой, параллельной оси Оу.или на оси Оу, то используя вторую из формул (4), приходим к тому же выводу.Итак, доказано, что формулами (2) задано инволютивное />-преобразование.

Рассмотримнекоторые свойства />-преобразований. Изопределения />-преобразованиянепосредственно следует утверждение.

1°.Если f и g — />-преобразования, то fg и f-1 являются />-преобразованиями.

2°.Любое />-преобразованиесохраняет отношение «лежать между» точек круга Ω.

□Пусгь А, В, С /> и А — В — С, а А', В', С' —образы этих точек. Обозначим через UV хорду,на которой лежат данные точки, а через U'V' образ этой хорды. Если точки А и Сявляются концами хорды UV (т. е. сов-падают с тачками U и V), то А' и С' являются концами хорды U'V'. В этом случае утверждение 2°очевидно. Предположим, что тачка U не совпадает ни содной из точек А и С. Тогда (АС, ВU) = (А'С', B'U') или />. Так как (АС, V) < 0, (А'С', V') < 0 и по условию (АС, В) > 0,то из последнего равенства следует, что (А'С', В') > 0. Это означает, что А'— В' — С.

/>

Отсюдамы заключаем, что при />-преобразовании отрезок,принадлежащий кругу Ω, переходит в отрезок; в частности, полухорда кругаΩ переходит в полухорду того же круга. Далее, любой сегмент круга Ωпереходит в сегмент того же круга.

ПустьUV — хорда круга Ω. AU — полухорда этой хорды, а /> — одни из сегментов,ограниченный хордой UV. Пару AU, /> назовем />-флагом и обозначим через (AU, />). На рисунке 1 изображены два />-флага (A1U1, />) и (A2U2, />). Из предыдущего ясно, что />-преобразование любой />-флагпереводит в />-флаг.

3.Какова бы ни была внутренняя точка А круга Ω. существует инволютивное />-преобразование,которое переводит точку А в центр О круга Ω, а точку О в точку А.

□В самом деле, пусть ОА = а. Выберем прямоугольную систему координат Оху так,чтобы точка А в этой системе имела координаты А(а, 0). Тогда -/>преобразование,заданное формулами (2), переводит точку А в точку О, а точку О в точку А.

4.Каковы бы ни были флаги I1 = (A1U1, />) и I2 = (A2U2, />), существует />-преобразование,которое I1 переводит в I2 (рис. 1).

□По свойству 3° существуют инволютивные />-преобразования f1 и f2, такие, что О = f1(A1) и О = f2(А2), где О — центр круга Ω. Пусть I1' = f1(I1) и I2' = f2(I2). Рассмотрим />-преобразование f0, такое, что I2' = f0(I1') (f0является вращением вокруг точки О или вращениемвокруг точки О с последующим отражением от диаметра круга Ω). Тогда f = f2f0f1 являетсяискомым />-преобразованием, так как f(I1) = f2f0f1(I1) = f2f0(I1 ') = f2(I2 ') = I2.

Отсюдаполучаем утверждение.

5°.Каковы бы ни были полухорды A1U1 и A2U2, существует/>-преобразование,которое полухорду A1U1 переводит в полухорду A2U2.

6°.Если />-преобразованиекакой-нибудь />-флаг переводит в себя, тооно является тождественным преобразованием круга Ω.

Вэтом пункте для простоты изложения неевклидовы отрезки, лучи, углы,полуплоскости будем называть просто отрезками, лучами, углами, полуплоскостями.Введем следующие соглашения. Будем считать, что отрезок АВ ранен отрезку А'В', еслисуществует такое />-преобразование, котороеотрезок АВ переводит в отрезок А'В'. Аналогично угол hk считается равным углу h'k', если существует />-преобразование f, которое угол hk переводит в угол h'k' (т. е. h' = f(h) и k' = f(k) или k' = f(h) и h' = f(k)).

Заметим,что если />hk = />h'k', товсегда найдется такое />-преобразование f', что h' = f'(h), k' = f'(k). Всамом деле, допустим, что равенство />hk = />h'k' означаетсуществование такого />-преобразования, что k' = f(h), h' = f(k). Рассмотрим инволютивное />-преобразованиеf1, которое вершину угла hk переводит в центр О круга Ω. (свойство 3°). Пусть h1 = f1(h), k1 = f1(k). Если f2 — симметрия с осью, содержащей биссектрису угла h1k1, то k1 = f2(h1), h1 = f2(k1). Поэтому f' = ff1f2f1 является искомым />-преобразованием.

Покажем,что все аксиомы группы IIIГильберта выполнены.

Ш1.Пусть АВ — данный отрезок, отложенный на луче h, a h' —луч, исходящий из точки А'. Докажем,что существует точка B' /> h', такая, что А'В' = АВ.

Обозначимчерез AU и A'U' полухорды крута Ω, на которыхлежат лучи h и h', а через UV и U'V' соответствующиехорды. Рассмотрим />-преобразование f, которое полухорду AU переводит в полухорду A'U' (свойство 5°). Тогда h' = f(h). Если В' = f(B), то В' /> h', и по определению А'В' = АВ.

Замечание. В нашей модели на луче h' существует единственная точка В', удовлетворяющая условию АВ= А'В'. В самом деле, U' = f(U), V' = f(V), поэтому(UV, АВ) = (U'V', А'В'). Если допустить, что на луче h' существует другая точка В", такая,что АВ = А'В", то аналогично получаем (UV, АВ) =(U'V', А'В"). Поэтому (U'V', А'В') = (U'V', А'В"). По свойству 1° сложного отношениячетырех точек точки В' и В" совпадают.

/>

III2. Выполнение этой аксиомы непосредственно следует нзсвойства 1° />-преобразований.

III3. Пусть А — В — С, А' — В' — С', АВ =А'В' и ВС = В'С'. Докажем, что АС = А'С'. Рассмотрим полухорды BU1, BU2, B'U'1, B'U'2, на которых лежат соответственно точки А, С, А' и С' (рис. 2).По свойству 5° существует такое /> — преобразование f, которое полухорду BU1переводит в полухорду B'U'1. При этом полухорда BU2 переходит в полухорду B'U'2. Пусть А1 = f(А), С1 = f(С).

Таккак ВА = В'А' по условию и ВА = В'А1 по построению, то точки А' и А1совпадают, т. е. А' = f(A) (см. замечание к аксиоме III1). Аналогично доказывается, что точки С и С1совпадают, поэтому С' = f(C). Таким образом, /> -преобразование f отрезок АС переводит в отрезок А'С',т. е. АС = А'С'.

III4. Пусть даны угол hk и флаг (A', h', λ'). Докажем, что существуетединственный луч k' /> λ'такой, что />hk = />h'k'. Для этого рассмотрим />-флаги I = (AU, />) и I' = (A'U', />'), которые выбраны так, что h /> AU, h' /> A'U', k />/>, λ' />/>'. По свойству 4° существуеттакое />-преобразованиеf, что I' = f(I). Луч k' = f(k) является искомым, так как k'/>λ', и по определениюравенства углов />hk = />h'k'.

Предположим,что k" — луч, удовлетворяющий условиям: />hk = =/>h'k'' и k" /> I'. Тогда,очевидно, />h'k' = />h'k", поэтому существует такое />-преобразованиеf, что h' = f(h'). k"= f(k'). Отсюдамы заключаем, что преобразование f /> -флаг I'переводит в себя. По свойству 6° f —тождественное преобразование круга Ω, следовательно, лучи h' и k" совпадают.

Ш5.Пусть в треугольниках ABC и А'В'Симеем АВ = А'В', АС = А'С' и />ВАС = />В'А'С'. Докажем,что />ABC = />А'В'С'.

Таккак />ВАС= />В'А'С',то существует такое />-преобразование f, которое переводит луч АВ в луч А'В',а луч АС в луч А'С'. Пусть В1 = f(B) и С1 = f(C). Таккак A' = f'(А),то АВ = А'В1. Нопо условию АВ = А'В'. поэтому точки В1 и В' совпадают, т. е. В' = f(B) (см.замечание к аксиоме III1). Аналогично доказывается, что С' = f(С). Таким образом, />-преобразованиеf точки А, В, С переводитсоответственно в точки А', В', С', поэтому />ABC = =/>А'В'С.

IV1 и IV2. Группа IVаксиом Гильберта эквивалентна предложению Дедекинда. Ясно, что предложениеДедекинда выполняется на построенной нами модели, поэтому выполняются аксиомы IV1 и IV2 Гильберта.

/>

V*. Возьмемпроизвольную прямую UV и точку А, не лежащую на ней.Рассмотрим прямые UU1 и VV1, проходящие через точку А (рис. 3). Эти прямые не пересекаютсяс прямой UV, так как евклидовы точки U и V не являются неевклидовыми точкамипрямой UV. Таким образом, имеет место аксиома V* Лобачевского.

Таким образом, построивевклидову модель Кэли — Клейна, мы тем самым доказали, что система аксиом I1-3, II1-4, III1-5, IV1-2, V* непротиворечива,если непротиворечива система аксиом ∑Н Гильберта.

Вывод: V постулат Евклида не зависит от остальных аксиом евклидовойпланиметрии.


Литература

Основная

1. Александров А.Д. Основания геометрии: Учебное пособиедля вузов. М..; Наука, 1987 г.

2. Атанасян Л… С, Базылев В.Г. Геометрия, ч П. М.; 1989 г.

3. Базылев В.Т., Дуничев К.И… Геометрия, ч П. М.; 1975 г.

4. Сборник задач по геометрии под редакцией В.Т.Базылева, М.; 1980 г.

5. Сборник задач по геометрии под редакцией Л.С.Атанасяна, ч П. М.; 1978г.

Дополнительная

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Гостехиздат, 1948 г.

2. Каган В.Ф. Основания геометрии, ч I.M.; Л.; Гостехиздат, 1949 г

3. Костин В.И. Основания геометрии. М.; Л.; Учпедиздат, 1946 г.

4. Погорелов А.В. Основания геометрии. М.; Наука, 1968 г.

еще рефераты
Еще работы по математике