Реферат: Высшая математика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

Высшая математика

 

ЗАДАЧА 1.

 В декартовой прямоугольнойсистеме координат даны вершины пирамиды />.

Найдите:

а) длину ребра />;  

б) косинус угла междувекторами /> и />;

в)уравнение ребра />;

г) уравнение грани />С1;если А1 (-2,2,2), В1(1,-3.0), С1(6,2,4), D1(5,7,-1).

 

Решение.

/>а)Найдем координаты вектора А1В1 по формуле

/> где /> - координаты точки А1,/>-координаты точки В1.

Итак/> ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}.Тогда />= />=/>.

Итак, длина отрезка, />/>(илидлина векторе/>) равна />. Это иесть искомаядлинаребра.

б) Координаты />={3;-5;-2}уже известны, осталось определить координаты вектора />={6- (-2); 2 — 2; 4 — 2}={8,0; 2}.

Угол между векторами />и />вычислим по формуле

/>/>cosφ=       (А1В1, А1С1)

/>/>/>         |А1В1|·| А1С1|

/>/>где скалярое произведение векторов А1В1 и А1С1  равно (/>,/>)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

| />|=/>, | />|=/>=/>.

/>/>Итак, cosφ=     20      =       10

                  />·/>     />

в)Координатыточки А1(-2,2,2)обозначим соответственно Х0= -2, У0= 2, Z0= 2, а координаты точкиВ1(1,-3,0) через X1 = 1,У1 = -3, Z1 = 0и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

/>.

Следовательно, уравнение ребра/> имеет вид

/>.

г) Обозначим координатывекторов/>, и />черезХ1=3,У1= -5, Z1= -2и  Х2=8, У2= 0, Z2=2соответственно. Векторное произведениеданныхвекторовопределяется формулой

/>·A1C1 = {Y1·Z2-Y2·Z1;Z1·X2-Z2·X1;X1·Y2-X2·Y2} =

={(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный векторперпендикуляренграни/>С1,то можно воспользоватьсяуравнением плоскости, проходящейчерез точку(Х0У0, Z0) перпендикулярно вектору{А; В;С},котороеимеет вид A·(X-X0)+B·(Y-Y0)+С·(Z-Z0)=0.

Подставим координаты точки А1 (Хо=-2, У0=2, Z0=2)и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в этоуравнение:

— 10 ( X + 2 ) — 22 (У – 2) т 40 ( Z- 2) — 0. Раскроемскобкии приведем подобные члены — 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнениеграни/>,C1 имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0.

 

 

ЗАДАЧА 2.

Решитесистему линейных уравнений

  а)методом Крамера;

  б) методом Гаусса;

 

/>

 

Решение.

а) Решим данную системууравнений с помощью формул Крамера (см.[2]глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трехлинейных уравнений с тремя неизвестными:

/>

 

Решение.

а) Решимданную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр.268).

Тогда />, где

/>

Так как  Δx= -60; Δy= -60; Δz=60; Δ= -120,то x=/>; y=/>; z=/>.

6) решим данную систему уравненийметодомГаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарныхпреобразованийсистема уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого(или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнегоуравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составимрасширенную матрицу даннойсистемы.

/>

Поменяем местами первую и вторую строкиматрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

 

/>

Умножим каждый элемент первой строки матрицына 4 иприбавимполученные числа к соответствующимэлементам второй строки. Матрица примет вид.

/>/>/>/>

= 

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на -3. и прибавимполученные числа к соответствующимэлементам третьей строки. Получим:

/>/>

=  

Разделим каждый элемент второй строки матрицына 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы,стал равным 1.

/>

Умножим каждый элемент второй строки матрицына -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементамтретьей строки:

/>/>

/>

Данная матрицасоответствует системе уравнений />,решение которой совпадает с решением исходной системы. Начинай с последнегоуравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как z=/>=/> иy/>z=/>,то y />·

Отсюда, y/>-/>=/>=/>=/>. Из x-z=1 имеем =z+1=/>+1=/>

Ответ: x=/>,y=/>, z=/>.

 

Элементытеории вероятности и математической статистики

Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1—5.

 

ЗАДАЧА 3.

Наскладе университетахранится28 одинаковых упаковок писчейбумаги. Известно, что в четырехиз нихсодержитсябумага более низкого качества. Случайнымобразомвыбирают три упаковкибумаги,Вычислить вероятность того, что среди них;

А)нетупаковок с бумагой более низкого качества,

Б) есть однаупаковкатакой бумаги.

 

Решение. Общеечисловозможныхэлементарныхисходов для данных испытанийравночислуспособов, которымиможноизвлечь 3 упаковкибумаги из28 упаковок, то есть

/>=/>=/>=/>=13·9·28=3276 – числусочетаний из 28 элементов по 3.

а)Подсчитаемчислоисходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковоксбумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числуспособов,которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столькоупаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

/>=/>=/>=/>=11·23·8=2024

искомая вероятностьравна отношениючисла исходов, благоприятствующихсобытию, к числу всех элементарныхисходов:

P1=/>=/>≈0,62

б) Подсчитаем число исходов,благоприятствующих данному событию (среди трех упаковокбумагировно 1 упаковкасодержитбумагу болеенизкого качества):две упаковкиможно выбрать из 24 упаковок: />=/>=/>=/>=276 способами,при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: />=/>=/>=4 способами.Следовательно, число благоприятствующих исходов равно/>·/>=276·4=1104

Искомаявероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию,к числу всехэлементарныхисходов p2=/>=/>≈0,34

Ответ: а)p1 =0,62; б) р2=0,34.

ЗАДАЧА 4.

Магазинполучает электролампочкисдвух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно,чтодоля брака на этих заводах равна соответственно5 % и 10% от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет однулампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим черезАсобытие — «лампочкаокажетсябракованной». Возможныследующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H1-лампочка поступила с первогозавода, H2-лампочкапоступила со второгозавода. Так как доля первого заводасоставляет 25 %, то вероятности этих гипотез равнысоответственноp(H1)=/>=0,25;p(H2)=/>=0,75.

Условная вероятность того, что бракованнаялампочкавыпущенапервымзаводом– p(A/H1)=/>=0,05, вторымзаводом — p(A/H2)=/>=0,10 искомуювероятностьтого, что продавец взял бракованную лампочку,находим по формуле полной вероятности

р(А) = P(H1)·p(A/H1)+P(H2)·(A/H2)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решениязадачи5 см. [5]глава6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава8 § J—3.

ЗАДАЧА 5.

Задан закон распределения дискретнойслучайной величеныX:

 

X -4 -2 2 4 6 8

p

0,05

p

0,12 0,23 0,32 0,14 0,04

Найти:

а)      неизвестнуювероятность р.

б)      математическоеожидание М, дисперсию Dисреднее квадратическоеотклонение σданной случайной величены;

 

Решение:

а)      так каксумма всех, вероятностей должна равняться единице, тополучим уравнение

0,05-p +0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

Отсюда р+0,9 = 1ир=0,1.

б)      Математическое ожидание Мэто сумма всех произведенийзначенийслучайной величины на ихвероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 +4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4+ 2,9 = 2,5.

/>Дисперсия D=∑(x1)2·p1-M2=

/>

=(-4)·0.05+(-2)2·0,1+02·0,12+22·0,23+42·0,32+62·0,14+82·0,04-(2,5)2=

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ = /> = /> ≈2,9

ЗАДАЧА 6.

Построить выпуклыймногоугольник, заданный системой неравенств

/>x1-x2≥ — 2;

x1-3x2 ≥ — 10,

x1+2 x2≥4,

x1 ≤8,

x2≥0.

Пользуясь геометрической интерпретациейосновной задачи линейного программирования, найти минимум и максимумлинейной формы

L=2x1+x2

Решение. Построим прямоугольную системукоординат x1Ox2.  Если в этой системепостроить прямую ax1+ bx2= c, то она разобьет плоскость x1Ох2на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону отпрямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежитобеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости,удовлетворяют неравенству ах1+bx2≤c, а координаты точек, лежащих в другойполуплоскости,— неравенству.ах1+bx2≥c. Построимв плоскости x1Ox2граничныепрямые x1-x2=-2(AB), x1-3x2=-10(BC), x1+2 x2=4(AE), x1=8(CD) иx2=0(ED).

В результате получим пятиугольник ABCDE(рис. 12). Значения x1 и x2, удовлетворяющие системенеравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границенайденного пятиугольника.

x2

/>/>

E

 Dх1

/>

Рис. 1

/>/>Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения x1и x2, прикоторых линейная форма, L (2)имеет минимум, и те значения x1 и х2,при которых линейная форма Lдостигает максимума. Из рис. 1 видно, чтокоординаты всех точек, лежащих внутри или награнице пятиугольника, неявляются отрицательными, т. е. все значения x1 и х2больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости x1Ox2линейнаяформа Lпринимаетфиксированноезначение. Множество точек, прикоторых линейная форма Lпринимает значение L1,есть прямая 2x1+х2=L1(l1), которая перпендикулярнавектору N= 2i+j.Если прямую l1 передвигатьпараллельно самой себе в положительномнаправлениивектораN, то линейная форма Lбудет возрастать, аесли прямую передвигать в противоположном направлении —убывать. Построим прямую (l1) длятого случая, когда L =0, т.е. построим прямую 2x1+х2=0.Как видно из рис. 1, при передвижении прямой l1 в положительномнаправлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенногопятиугольника ABCDE. Вэтой вершине линейная форма Lимеет минимум. Следовательно, Lmin=2·0+1·2=2, При дальнейшем передвижениипрямой l1 параллельносамой себе в положительном направлении вектора N значение линейной формы Lбудет возрастать, и онодостигнет максимального значения в точке С(8;6). Таким образом, Lmax=2·8+1·6=22.