Реферат: Биекторы в конечных группах
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
Исполнитель:
студент группы H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
Заключение
Список использованных источников
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: «Биекторы конечных групп». Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.
Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.
Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.
В третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Так же рассмотрены два примера -биекторов, -биекторов, а так же пример, когда группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой.
В четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая и является названием данного пункта. Здесь показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).
При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.
1. Основные обозначения
группа | |
класс всех разрешимых групп | |
класс всех нильпотентных групп | |
является подгруппой группы | |
является нормальной подгруппой группы | |
прямое произведение подгрупп и | |
подгруппа Фраттини группы | |
фактор-группа группы по | |
множество всех простых делителей натурального числа | |
множество всех простых делителей порядка группы | |
коммутант группы | |
индекс подгруппы в группе |
Лемма Если — класс Шунка, то .
Лемма Пусть — класс Шунка и — конечная нильпотентная группа. Если — подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда — -холловская подгруппа.
Лемма Пусть — радикальный класс и — конечная нильпотентная группа. Если — подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда — -холловская подгруппа.
Теорема Если — класс Фиттинга и — гомоморф, то .
Следствие Если и — радикальные формации, то .
Теорема Если — разрешимый класс Шунка, а — разрешимая насыщенная формация, то — разрешимый класс Шунка.
Следствие Если и — разрешимые насыщенные формации, то — разрешимая насыщенная формация.
Теорема Если и — классы Фиттинга, то — класс Фиттинга и .
Лемма Пусть — разрешимая группа, тогда
1) если , то ;
2) если , то ;
3) если , то .
В частности, если и — разрешимые группы ;
4) .
Теорема Для любого класса Шунка в каждой разрешимой группе любой -проектор является -покрывающей подгруппой и любые две -покрывающие подгруппы группы сопряжены между собой.
Лемма Пусть — разрешимая группа. Тогда:
1) ;
2) .
Лемма Для любого гомоморфа и любой группы справедливы следующие утверждения:
1) если — -проектор группы и максимальна в , то — -покрывающая подгруппа группы ;
2) если — -покрывающая подгруппа в группе и , то — -покрывающая подгруппа в ;
3) если — -покрывающая подгруппа группы и , то — -покрывающая подгруппа фактор-группы ;
4) если и — -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой из .
Теорема Пусть — класс Фиттинга и — разрешимая группа. Тогда является -инъектором группы тогда и только тогда, когда будет -максимальной в и — -инъектор коммутанта .
Следствие Пусть — класс Фиттинга и — разрешимая группа. Если — -инъектор группы и , то — -инъектор в .
Теорема Если — максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
Определение. Пусть — группа и — класс групп. Если и , то — -подгруппа группы .
Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.
Определение. -проектором группы называется такая подгруппа группы , что , является максимальной в .
Определение. Пусть — класс групп. Подгруппа группы называется -инъектором, если для каждой субнормальной подгруппы группы пересечение является -максимальной подгруппой в .
Определение. Пусть — класс групп. Подгруппа группы называется -биектором, если является -максимальной подгруппой в , а является -максимальной в для каждой нормальной подгруппы .
Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .
Пример Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса всех -групп.
Пример В группе силовская 2-подгруппа является -биектором.
Пример Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.
4. Биекторы и их свойства
Для локальной формации каждая конечная разрешимая группа обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если — радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .
В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда совпадает с классам всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности это свойство нарушается.
Пусть — класс групп. Через обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество называется характеристикой класса .
Для любого множества простых чисел через обозначается класс всех нильпотентных -групп.
Лемма Если — класс Шунка, то .
Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если — произвольная примитивная факторгруппа группы , то имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка существует подгруппа индекса . Так как , то и . Лемма доказана.
Следствие Если — локальная формация, то .
Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.
Лемма Пусть — класс Шунка и — конечная нильпотентная группа. Если — подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда — -холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть — -проtктор в группе . Так как , то по лемме подгруппа является -подгруппой. Пусть — -холловская в подгруппа. Ясно, что . Nак как , то — -подгруппа и .
Обратно, пусть — -холловская подгруппа и пусть — -проектор в . Так как , то — -подгруппа и .
Лемма Если — радикальныи класс, то .
Доказательство. Если , то в существует субнормальная подгруппа простого порядка , для любого . Поэтому , , и .
Обратно, пусть , тогда для каждого в существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.
Лемма Пусть — радикальный класс и — конечная нильпотентная группа. Если — подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда — -холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть — -инъектор в . Так как , то будет -подгруппой в . Если — -холловская в подгруппа, то и — -подгруппа. Поэтому .
Обратно, если — -холловская подгруппа в , то . Если — -инъектор, то и — подгруппа, поэтому . Лемма доказана.
Пусть , где — пробегает все группы из . Если — разрешимый радикальный класс, то .
Следствие Пусть — радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .
Доказательство получаем из лемм и .
Следствие Пусть — радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .
Обозначим через совокупность всех -проекторов группы , а через совокупность всех -инъекторов.
Теорема Пусть — радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .
Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .
Пусть — подгруппа Фиттинга. Так как — -инъектор в , то по лемме подгруппа является -холловской подгруппой в .
Так как нильпотентна и является -проектором в , то будет -холловской подгруппой в по лемме. Поскольку , то — -подгруппа. Кроме того, и есть -число. Значит, — -холловская подгруппа.
Следствие Пусть — радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .
Замечание. Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .
Теорема Пусть — радикальный класс Шунка и — нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .
Доказательство. Предположим, что не содержится в , и пусть — группа наименьшего порядка из разности . Если имеет простой порядок , то и , противоречие. Значит, — группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в подгруппу . Так как и — -подгруппа в , то и .
Пусть — -биектор в . Тогда — -инъектор в и . Поскольку является -проектором в , то -максимальна в . Так как — гомоморф, то , а по выбору группы получаем, что , т. е. и , противоречие. Значит, допущение не верно и .
Следствие Если — радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .
Следствие Если — радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .
Для натурального числа через обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При имеем класс всех нильпотентных групп, а при — класс всех метанильпотентных групп.
Лемма Для любого натурального числа , класс является радикальной насыщенной наследственной формацией.
Доказательство. Применим индукцию по . При имеем класс всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)
Но класс состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому
Согласно следствию (2) класс насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.
Лемма Пусть — разрешимая группа и . Если — -проектор группы , то .
Доказательство. Поскольку — насыщенная формация, то -проектор в группе существует согласно следствию. Поскольку , то . Если , то и утверждение доказано. Пусть и . По лемме(2), , а поскольку — -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.
Теорема Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .
Применим индукцию по порядку группы. Пусть — -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что и . Тогда является -биектором подгруппы по лемме и следствию. По индукции , следовательно, — максимальная подгруппа группы .
Так как — -инъектор группы , то -радикал и . По теореме,
(2)
Поскольку — -проектор группы , то и согласно лемме. Следовательно,
(3)
Согласно лемме (2) , а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.
Заметим что в условии этой теоремы требование не является лишним. Для в симметрической группе силовская -подгруппа является -биектором.
Заключение
В данной курсовой работе было показано, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема1 Пусть — радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .
Теорема2 Пусть — радикальный класс Шунка и — нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .
Теорема 3 Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .
Список использованных источников
Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 — Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156
Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. — М.: Наука. -1989. — 256с.
Шеметков Л.А., Формации конечных групп. — М.: Наука. — 1978. — 272с.
W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. — Canberra: Austral. Nat. Univ. — 1979. — Vol. 11. — 100p.