Реферат: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине: Высшаяматематика
на тему: Асимптоты(определение, виды, правила нахождения)
Выполнила:студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил: РошальА.С.
Москва 2002 год
2
Содержание Введение 32. Нахождениеасимптоты 4
2.1 Геометрический смысласимптоты 5
2.2 Общий метод нахожденияасимптоты 6
3. Виды 8
3.1 Горизонтальная асимптота 8
3.2 Вертикальнаяасимптота 9
3.3 Наклонная асимптота 10
Использованнаялитература 123
ВведениеАсимптота, так называемая прямая или кривая линия,которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда непересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малойвеличиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическоманализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы,конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождениеасимптоты
Пусть функция f (x) определенадля всех x >а (соответственно для всех
x < а). Еслисуществуют такие числа k и l,что f(x) — kx — l = 0 при х ® + ¥(соответственно при х ® — ¥),то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функцииf (x) при x® + ¥ (соответственно при х ® — ¥).
Существование асимптоты графика функции означает, что прих ® + ¥
(или х ® — ¥)функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейнойфункции на бесконечно малую.
/> x/> — 3x — 2
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1
Разделив числитель на знаменатель поправилу деления многочленов,
/>/> 2 2
получим y = x — 4 + x + 1 Таккак x + 1 = 0 при х ®± ¥,то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,
так и при х ® — ¥.
5
2.1Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М/> - проекция этойточки на ось Ох, АВ – асимптота,
q — угол междуасимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹/>,
MP – перпендикуляр, опущенный източки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямойММ/> с асимптотой АВ (рис.1).
/>
(рис.1)
Тогда ММ/> = f (x), QM/> =kx + l, MQ = MM/> - QM/> = f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos q. Таким образом, MPотличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® — ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, инаоборот. х ® + ¥
х ® + ¥
Отсюда следует, что асимптота может быть определена какпрямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремитсяк нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится,оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+ ¥или, соответственно, х ® — ¥).
6
2.2 Общийметод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то естьспособ определения коэффициентов k и lв уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ®- ¥рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеетасимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx +l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®+ ¥.Тогда
lim /> = k.
х ® + ¥
Используя найденное значение k, получимиз f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
/> х ® + ¥
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такиечисла k и l, что выполняетсяусловие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
х ® + ¥
асимптотой графика функции f (x).В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
/> х ® + ¥
lim[f(x) — (kx + l)] = 0,
х ® + ¥
то есть прямая y = kx + l действительноудовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim /> = k. и l = lim (f (x) – kx)
х ® +¥ х ® + ¥
сводят задачу отыскания асимптот y = kx +l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что еслисуществует
представление функции f в виде f (x) = kx+ l + 0, то k и l выражаются по формулам lim /> = k. и l = lim (f (x) – kx)
х ® + ¥ х ® + ¥
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = />,
найденную нами выше другим способом:
7
/>
то есть мы, как и следовалоожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x – 4, какпри х ® + ¥, так и при х ® — ¥.
В виде y = kx+ l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy.Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.
8
3. Виды
3.1Горизонтальная асимптота
Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f(x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всегоимеет такой вид (при x ® +¥)(рис.2)
/> <td/> />(рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)
/>
(рис.3)
9
3.2Вертикальная асимптота
/> <td/> />(рис.4)
Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥.Тогда говорят, что прямая x = a является
х ® ¥
вертикальной асимптотой f (x). Графикфункции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя,конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или — ¥.
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
/>.
Тогда вертикальные асимптоты находятсякак корни уравнения
/>
10
3.3 Наклоннаяасимптота
/>
(рис.5)
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b.Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x).Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f(x) стремится к 0 при х ® ± ¥
lim [f (x) – (ax + b)] = 0.
x ® ¥
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремитсяк нулю величина />
Но тогда мы имеем />
и так как последний предел равен нулю, то
/>
Зная а, можно найти и b из исходногосоотношения
/>
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
Пример
/>
/>
то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.
11
Аналогично можно показать, что при x ® — ¥ асимптотаимеет вид y = — x.
Сам график функции /> выглядиттак (рис.6)
/>
(рис.6)
12
Использованнаялитература
1. Р.Б.Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
2. Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
3. Лекции поматематике