Реферат: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА


РЕФЕРАТ


по дисциплине: Высшаяматематика

на тему: Асимптоты(определение, виды, правила нахождения)


Выполнила:студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: РошальА.С.


Москва 2002 год

 

2

Содержание Введение                                                                                                        3

2.   Нахождениеасимптоты                                                                                4

   2.1 Геометрический смысласимптоты                                                               5

   2.2 Общий метод нахожденияасимптоты                                                          6

   3.  Виды                                                                                                                8

    3.1 Горизонтальная асимптота                                                                           8

   3.2 Вертикальнаяасимптота                                                                               9

   3.3 Наклонная асимптота                                                                                   10                           

         Использованнаялитература                                                                       12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия,которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда непересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малойвеличиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическоманализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы,конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

4

2. Нахождениеасимптоты

  Пусть функция f (x) определенадля всех x >а (соответственно для всех

x < а). Еслисуществуют такие числа k и l,что f(x) — kx — l = 0 при х ® + ¥(соответственно при х ® — ¥),то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функцииf (x) при x® + ¥ (соответственно при х ® — ¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что прих ® + ¥

(или х ® — ¥)функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейнойфункции на бесконечно малую.                          

/>                                                                                         x/> — 3x — 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x +1

Разделив числитель на знаменатель поправилу деления многочленов, 

/>/>                                     2                         2

получим y = x — 4 +  x + 1   Таккак   x + 1   = 0 при х ®± ¥,то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ® — ¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2.1Геометрический смысл асимптоты

 

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М/> - проекция этойточки на ось Ох, АВ – асимптота,

q — угол междуасимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹/>,

MP – перпендикуляр, опущенный източки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямойММ/> с асимптотой АВ (рис.1).

/>

                             (рис.1)

Тогда ММ/> = f (x), QM/> =kx + l, MQ = MM/> - QM/> = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MPотличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® — ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, инаоборот.                                           х ® + ¥

       х ® + ¥                                                                                                

Отсюда следует, что асимптота может быть определена какпрямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремитсяк нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится,оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+ ¥или, соответственно, х ® — ¥).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2.2 Общийметод отыскания асимптоты

 

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то естьспособ определения коэффициентов k и lв уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ®- ¥рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеетасимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx +l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®+ ¥.Тогда

lim /> = k.

                                                        х ® + ¥

Используя найденное значение k, получимиз f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

/>                                   х ® + ¥

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такиечисла k и l, что выполняетсяусловие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

                                                 х ® + ¥       

асимптотой графика функции f (x).В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

/>                                                                                            х ® + ¥         

lim[f(x) — (kx + l)] = 0,

                                              х ® + ¥

то есть прямая y = kx + l действительноудовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim /> = k. и l = lim (f (x) – kx)

                                х ® +¥                 х ® + ¥          

сводят задачу отыскания асимптот y = kx +l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что еслисуществует

представление функции f в виде f (x) = kx+ l + 0, то k и l выражаются по формулам lim /> = k. и l = lim (f (x) – kx)

                  х ® + ¥                 х ® + ¥          

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = />,

найденную нами выше другим способом:

7

/>

то есть мы, как и следовалоожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, какпри х ® + ¥, так и при х ® — ¥.

В виде y = kx+ l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy.Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

8

3. Виды

3.1Горизонтальная асимптота

 

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f(x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всегоимеет такой вид (при x ® +¥)(рис.2)

/> <td/> />
                                                               (рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

/>

 

                             (рис.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

3.2Вертикальная асимптота

/> <td/> />
                        

                                (рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥.Тогда говорят, что прямая x = a является

                                   х ® ¥

вертикальной асимптотой f (x). Графикфункции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя,конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или — ¥.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

/>.

Тогда вертикальные асимптоты находятсякак корни уравнения

/>  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

3.3 Наклоннаяасимптота

 

/>
                        (рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b.Значение функции при аргументе х есть  d = ax + b – f (x).Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f(x) стремится к 0 при х ® ± ¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ® ¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремитсяк нулю величина   />

Но тогда мы имеем />

и так как последний предел равен нулю, то

/>

Зная а, можно найти и b из исходногосоотношения

/>

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

/>

/>

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11

Аналогично можно показать, что при x ® — ¥ асимптотаимеет вид y = — x.

Сам график функции /> выглядиттак (рис.6)

/>

                                 (рис.6)

12

 

Использованнаялитература

 

1.   Р.Б.Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2.   Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3.   Лекции поматематике

 

еще рефераты
Еще работы по математике