Реферат: Аркфункции
Примеры: в нижеследующихпримерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданныхформулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
Пример №1.Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y)и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-юфункцию
y
/>/>/>y
/>/>/> y =arcsin(1/x)/>
π/2
/>/>-π/2
Д(f): | 1/x | ≤ 1,/>/> | x | ≥ 1 ,
( — ∞; -1 ]U [ 1; + ∞ )
/> /> /> /> /> /> /> <td/>y
/> /> /> /> /> />x
Функция нечетная
( f(x) убывает напр. [0;1], f(y)убывает на пр. [0;π/2] )
y
/>Заметим, что функцияy=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откудаπ
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)/>
Д(f): ( — ∞; -1 ] U [ 1; +∞ )
/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> />/>Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
π/2
Решение:/>/>Д(f):[-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
/>/>
-1
/>f(x) возрастаетна пр. [-1;0]/> /> /> /> />1
<td/>x
/>/>Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
/>Решение: Пусть z =arccos(x), тогда y = z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от πдо 0.
/>f(y) убывает напр. [-1;1] от π2 до 0.
/>
Пример №4. Исследоватьфункцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( — ∞; -1 ) U ( -1;1 ) U ( 1; +∞ )
Т.к. функция четная, тодостаточно исследовать функцию на двух промежутках:
y
[ 0; 1 ) и ( 1; +∞ )/>
/>/>
π/2
/>/>X < x < 1 < x < +∞
1
-1
u=1/(x2-1) -1 ↘+ ∞
— ∞
↘/>/>/>
/>x
y=arctg(u) — π/4 ↘π/2
— π/2
↘ /> /> /> /> /> /> />-π/4
-π/2
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того жеаргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результатевыполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункцийполучается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x, cos(arccos(x))= x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x))= x
(справедливо при любых x)
Графическое различие междуфункциями, заданными формулами:
y=x и y=sin(arcsin(x))
/> /> /> /> /> /> /> /> />Сводкаформул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрическихопераций над аркфункциями.
/>
Аргумент
функция
arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) sin sin(arcsin(x))=x/>
/>
/>
cos/>
x/>
/>
tg/>
/>
x 1 / x ctg/>
/>
1 / x xСправедливостьвсех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенныхниже:
1. Т.к. cos2x +sin2x = 1 и φ = arcsin(x)
/>
/>
Передрадикалом />следует взять знак “+”,т.к. дуга />принадлежит правойполуокружности (замкнутой) />, на которой косинус неотрицательный.
Значит,имеем
/>
2. Из тождества />следует:
/>
3. Имеем
/>
4. />
Нижеприведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведенияформул.
Пример№1. Преобразовать выражение />
Решение:Применяем формулу />, имеем: />
Пример№2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
/>
/>
Пример№3. Пользуясь ...
/>
Пример №4.Аналогично можно доказать следующие тождества:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Пример №5. Положив в формулах
/>, и />
/>, получим:
/>, />
Пример №6. Преобразуем />
Положив в формуле />, />
Получим:
/>
Перед радикалами взят знак “+”,т.к. дуга />принадлежит I четверти,а потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциямиСоотношения первого рода – соотношения междуаркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциямидополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
/>
arccos(x)
arcsin(x)
/>/>/>/>
-1
1
y
x
/>/>Соотношения второго рода – соотношения междуаркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрическихфункций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятсяпреобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены водной и той же полуокружности.
Пусть, например, рассматривается дуга α, заключеннаяв интервале (-π/2; π/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса,так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга />имеетсинус, равный sinα и заключена, так же как иα, в интервале (-π/2; π/2), следовательно
/>
Аналогично можно дугу α представить в видеарктангенса:
/>
А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0;π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и ввиде арккотангенса:
/>
Так, например:
/>
/>
Аналогично:
/>
Формулы преобразования одних аркфункций в другие,значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой иливерхней).
1. Выражение/>/>черезарктангенс.
Пусть />, тогда
/>
Дуга />, по определениюарктангенса, имеет тангенс, равный /> ирасположена в интервале (-π/2; π/2).
Дуга />имеет тот же тангенс ирасположена в том же интервале (-π/2; π/2).
Следовательно,
/> (1)
(в интервале ( -1: 1 )
2. Выражение/>через арксинус.
Т.к. />, то /> (2)
в интервале />
3. Выражениеарккосинуса через арккотангенс. Из равенства />следует тождество
/> (3)
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которыхвыбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинуси арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значениетригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга),заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любойаркфункции; так, например,
/>
Поэтому каждая из аркфункций от положительногоаргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательногоаргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку отπ/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значениекоторой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга /> не может быть значениемарксинуса. В этом случае
/>
Формулы преобразования одних аркфункций в другие,значения которых выбираются в различных полуокружностях.
4. Выражение арксинуса черезарккосинус.
Пусть />, если />, то />. Дуга имеет косинус,равный />, а поэтому />
При />эторавенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
/>, а для функции />имеем: />
так как аргумент арккосинуса есть арифметическийкорень />, т.е. числонеотрицательное.
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
/> /> /> /> /> /> <td/> />Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0,а при положительных X>0, и
/>
Таким образом, имеем окончательно:
/>/>если />, (4)
/>,если />
/>
/>/>График функции />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/>-1
<td/>1
Область определения есть сегмент [-1;1];согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
/>
/> <td/> />/>, если />
/>, если />
5. Аналогично установим, чтопри />имеем:
/>, если же />, то
/>
Такимобразом:
/>/> />, если /> (5)
/>,если />
6. Выражение арктангенса черезарккосинус. Из соотношения
/> при />имеем:
/>
Еслиже х<0, то
/>
Итак,
/>/> />, если /> (6)
/>, если />
7. Выражение арккосинуса черезарктангенс. Если />, то />
При /> имеем:
/>
Итак,
/>/> />, если /> (7)
/>, если />
8. Выражение арктангенса черезарккотангенс.
/>/> />, если х>0 (8)
/>, если x<0
Приx>0 равенство (8) легко установить; если же x<0,то
/>.
9. Выражение арксинуса черезарккотангенс.
/>/> />, если /> (9)
/>, если />
10. Выражение арккотангенса через арксинус.
/>/> />, если 0<x (10)
/>, если х<0
11. Выражение арккотангенса через арктангенс.
/>/> />, если x>0 (11)
/>, если x<0
Примеры:
Пример№1. Исследовать функцию />
Решение.Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (прих=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
/> <td/>Y
/>/>y= 0, если x>0
-π, если x<0
/>
/>На чертеже изображен график
даннойфункции
/>
Пример№2. Исследовать функцию />
Решение: Первое слагаемое определено для значений />, второе – для тех жезначений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. />, тополучаем
/>,
откуда:
/> на сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать функцию />
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций непревосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определенадля всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
/>
Приняв во внимание равенство
/>/> />, если />
/>,если />
получим:
/>y = 0 , если/>
/> , если/>
Выполнение обратных тригонометрических операций надтригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
/>
следует принимать во внимание в какой четвертинаходится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции.Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
/>
Согласно определению арксинуса, y –есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;
/> и />
Областью определения функции /> служит интервал />, так как при всехдействительных значениях х значение промежуточного аргумента />содержится на сегменте />. При произвольномдействительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=π/6 имеем:
/>
но при х=5π/6
/>
В силу периодичности синуса функция arcsinxтакжеявляется периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее насегменте [-π/2;3π/2] величиной2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисойкоординатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], тов этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и,так как
/>, то имеем y=π-х;
в этом промежутке график функции совпадает с прямойлинией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то,пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если />, то
y=х-2πk
и если />, то
y=(π-х)+2πk
График функции />представленна рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.
/>
Рассмотрим функцию />
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где />
Областью определения данной функции является множествовсех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π.Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], тоy = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], тодуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и />, поэтому:
/>
Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеемy = 2π- x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], тоy = x — 2π
Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y= 4π – x
Вообще, если />,то y = x — 2πk
Если же />, то y = -x + πk
Графиком функции />являетсяломаная линия
/>
Формулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разностидвух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пустьдана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическуюоперацию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выраженапосредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних итех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости отпромежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
/>
Решение: эта сумма является суммой двух дуг α иβ, где
/>; />
В данном случае /> (т.к./>, а следовательно, />), а также />, поэтому />.
Вычислив синус дуги γ, получим:
/>
Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то
/>
Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную впредыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:
/>
Откуда
/>
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму />
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего)дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. />,а />. Вычисляем />
В рассматриваемом примере />,так как дуги γ и />заключены вразличных интервалах,
/>, а />
В данном случае />
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную впредыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем
/>
Обе дуги γ и />расположеныв верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дугиравны: />
Так как суммы и разности любых аркфункций можновыражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самыеразнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощиоднотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формулсложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различныхпрочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительныхаргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные впромежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
/>, и />
Сумма α + β заключена в верхнейполуокружности />, следовательно,ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том жеинтервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
/>;
/>
Разность α – β заключена в правойполуокружности: />
Следовательно, она может быть представлена в видеарксинуса, а также в виде арктангенса:
/>;
/>
Так как значение всякой аркфункции от положительногоаргумента заключено в интервале (0; π/2) то суммудвух аркфункций от положительных аргументов можно представить в видеарккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций отположительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в видеарктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус />, где /> и />
Имеем:
/>
Откуда
/>
2. Аналогично
/>, где 0 < x <1, 0 < y < 1
/>, где 0 < x <1, 0 < y < 1
/>
/>
/>
Формулы сложения аркфункций от произвольныхаргументов.
1. Выразить сумму />через арксинус
По определению арксинуса
/> и />,
откуда
/>
Для дуги γ возможны следующие три случая:
Случай 1: />
Есличисла x иy разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, тоимеет место случай 1.
Всамом деле, при />и />, имеем:
/>, и />,
откуда
/>
Приx > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двухсистем неравенств:
а)/> б) />
Необходимым и достаточным признаком, позволяющимотличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
/> в случае а) и /> вслучае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг другасоотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия /> и />(соответственно), а потомуэти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данныхсоотношений.
Вычислив />,получим:
/>
При x> 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а)т.е. />или
/>
Откуда
/> и,следовательно, />
Наличие случая 1 при x <0, y < 0 означает выполнениенеравенств
/>;
но тогда для положительных аргументов –x и–y имеетместо случай 1, а потому
/> или />
Случай 2. />
В этом случае x >0, y > 0, т.е. выполняетсянеравенство б); из условия />получим />
Случай 3. />
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и />
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущемуслучаю:
/>
откуда />
Дуги γ и /> имеютодинаковый синус, но (по определению арксинуса) />,следовательно в случае 1 />;
в случае 2 /> и вслучае 3 />.
Итак, имеем окончательно:
/> /> , /> или />
/> />; x > 0, y > 0, и /> (1)
/>; x < 0, y <0, и />
Пример:
/>
/>; />
2. Заменив в (1) x на –xполучим:
/> /> , /> или />
/> />; x > 0, y > 0, и /> (2)
/>; x < 0, y <0, и />
3. Выразить сумму />черезарккосинус
/> и />
имеем
/>
Возможны следующие два случая.
Случай 1: />если />, то
/>
Приняв во внимание, что обе дуги />и />расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
/>
и следовательно, />, откуда />
Случай 2: />. Если />, то
/>,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим,получим />. Из сопоставлениярезультатов следует, что случай 1 имеет место, если />,а случай 2, если
/>.
Изравенства /> следует, что дуги
/> и /> имеют одинаковый косинус.
Вслучае 1 />, в случае 2 />, следовательно,
/>/> />, />
/>, /> (3)
4.Аналогично
/>/> />, />
/>, /> (4)
пример: />
5.
/> />; xy < 1
/> />; x > 1, xy > 1 (5)
/>; x < 0, xy > 1
При xy=1не имеетсмысла
6.
/> />; xy > -1
/> />; x > 0, xy < -1 (6)
/>; x < 0, xy < -1
7.
/> />; />
/> />; /> (7)
/>; />
8.
/>/> />; /> (8)
/>; />
9.
/> />;/>
/> />; x > 1 (9)
/>; x < -1
10. /> (10)
/> (11)
/>/> /> , если /> (12)
/>, если />