Реферат: Аркфункции

Примеры: в нижеследующихпримерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданныхформулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

            Пример №1.Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y)и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-юфункцию

y

  />/>/>

y

  />/>/>            y =arcsin(1/x)

/>

π/2

  />/>

-π/2

  Д(f): | 1/x | ≤ 1,

/>/>            | x | ≥ 1 ,

( — ∞; -1 ]U [ 1; + ∞ )

/> /> /> /> /> /> /> <td/>

y

  /> /> /> /> /> />

x

 

Функция нечетная

( f(x) убывает напр. [0;1], f(y)убывает на пр. [0;π/2] )

y

  />Заметим, что функцияy=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

π

  y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

/>


Д(f): ( — ∞; -1 ] U [ 1; +∞ )

/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> />

/>Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

π/2

  Решение:

/>/>Д(f):[-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

/>/>

-1

    />f(x) возрастаетна пр. [-1;0]/> /> /> /> />

1

  <td/>

x

  />

/>Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

/>Решение: Пусть z =arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от πдо 0.

/>f(y) убывает напр. [-1;1] от π2 до 0.

/>


Пример №4. Исследоватьфункцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( — ∞; -1 ) U ( -1;1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, тодостаточно исследовать функцию на двух промежутках:

y

  [ 0; 1 ) и ( 1; +∞ )

/>


/>/>

π/2

  />/>X < x < 1 < x < +∞

1

 

-1

  u=1/(x2-1) -1 ↘

+ ∞

— ∞

/>/>/>

  />

x

  y=arctg(u) — π/4 ↘

π/2

— π/2

↘ /> /> /> /> /> /> />

-π/4

 

-π/2

 

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того жеаргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результатевыполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункцийполучается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x,                                           cos(arccos(x))= x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x ,                                              ctg(arcctg(x))= x

            (справедливо при любых x)

Графическое различие междуфункциями, заданными формулами:

                                y=x                                  и                                  y=sin(arcsin(x))

/> /> /> /> /> /> /> /> />

Сводкаформул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрическихопераций над аркфункциями.

/>


Аргумент

функция

arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) sin sin(arcsin(x))=x

/>

/>

/>

cos

/>

x

/>

/>

tg

/>

/>

x 1 / x ctg

/>

/>

1 / x x

Справедливостьвсех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенныхниже:

1.   Т.к. cos2x +sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

/>

/>

Передрадикалом />следует взять знак “+”,т.к. дуга />принадлежит правойполуокружности (замкнутой) />, на которой косинус неотрицательный.

Значит,имеем

/>

2.   Из тождества />следует:

/> 

3.   Имеем

/>

4.   />

Нижеприведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведенияформул.

Пример№1. Преобразовать выражение />

Решение:Применяем формулу />, имеем: />

Пример№2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

/>

/>

Пример№3. Пользуясь ...

/>

            Пример №4.Аналогично можно доказать следующие тождества:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Пример №5. Положив в формулах

/>,       и          />

/>, получим:

/>,                        />

Пример №6. Преобразуем />

Положив в формуле />,              />

Получим:

            />

Перед радикалами взят знак “+”,т.к. дуга />принадлежит I четверти,а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения междуаркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциямидополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

/>

arccos(x)

 

arcsin(x)

  />/>/>

/>


-1

 

1

 

y

 

x

  />/>

Соотношения второго рода – соотношения междуаркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрическихфункций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятсяпреобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены водной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключеннаяв интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса,так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга />имеетсинус, равный sinα и заключена, так же как иα, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

/>

Аналогично можно дугу α представить в видеарктангенса:

/>

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0;π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и ввиде арккотангенса:

/>

Так, например:

/>

/>

Аналогично:

/>

Формулы преобразования одних аркфункций в другие,значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой иливерхней).

1.    Выражение/>/>черезарктангенс.

Пусть />, тогда

/>

Дуга />, по определениюарктангенса, имеет тангенс, равный /> ирасположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга />имеет тот же тангенс ирасположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

/>                                                                                 (1)

(в интервале ( -1: 1 )

2.    Выражение/>через арксинус.

Т.к. />,    то        />                      (2)

в интервале />

3.    Выражениеарккосинуса через арккотангенс. Из равенства />следует тождество

/>                                                                               (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которыхвыбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинуси арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значениетригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга),заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любойаркфункции; так, например,

/>

Поэтому каждая из аркфункций от положительногоаргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательногоаргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку отπ/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значениекоторой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга /> не может быть значениемарксинуса. В этом случае

/>

Формулы преобразования одних аркфункций в другие,значения которых выбираются в различных полуокружностях.

4.   Выражение арксинуса черезарккосинус.

Пусть />, если />, то />. Дуга имеет косинус,равный />, а поэтому />

При />эторавенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

/>, а для функции />имеем: />

так как аргумент арккосинуса есть арифметическийкорень />, т.е. числонеотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

/> /> /> /> /> /> <td/> />

                        Х>0                                                                 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0,а при положительных X>0, и

/>

Таким образом, имеем окончательно:

/>/>если />,                    (4)

                 />,если />

/>


/>/>График функции />

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/>

-1

  <td/>

1

 

Область определения есть сегмент [-1;1];согласно равенству (4),  закон соответствия можно выразить следующим образом:

/>

/> <td/> />
                        />, если />

/>, если />

5.   Аналогично установим, чтопри />имеем:

/>, если же />, то

/>

Такимобразом:

/>/>       />, если />                                               (5)

                        />,если />

6.   Выражение арктангенса черезарккосинус. Из соотношения

/> при />имеем:

/>

Еслиже х<0, то

/>

Итак,

/>/>         />, если />                                                   (6)

                        />, если />

7.   Выражение арккосинуса черезарктангенс. Если />, то />

При /> имеем:

/>

Итак,

/>/>       />, если />                                                (7)

                        />, если />

8.   Выражение арктангенса черезарккотангенс.

/>/>         />, если х>0                                                                (8)

                        />, если x<0

Приx>0 равенство (8) легко установить; если же x<0,то

/>.

9.   Выражение арксинуса черезарккотангенс.

/>/>       />, если />                                              (9)

                        />, если />

10.  Выражение арккотангенса через арксинус.

/>/>       />, если 0<x                                                       (10)

                        />, если х<0

11.  Выражение арккотангенса через арктангенс.

/>/>         />, если x>0                                                                  (11)

                        />, если x<0

Примеры:

Пример№1. Исследовать функцию />

Решение.Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (прих=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

/> <td/>

Y

 

/>/>y=        0, если x>0

            -π, если x<0

/>


/>На чертеже изображен график

даннойфункции

/>


Пример№2. Исследовать функцию />

Решение: Первое слагаемое определено для значений />, второе – для тех жезначений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. />, тополучаем

/>,

откуда:

/> на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию />

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций непревосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определенадля всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

/>

Приняв во внимание равенство

/>/>      />, если />

                        />,если />

получим:

/>y =       0 ,                                если/>

            /> , если/>

Выполнение обратных тригонометрических операций надтригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

/>

следует принимать во внимание в какой четвертинаходится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции.Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

/>

Согласно определению арксинуса, y –есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

/>    и          />

Областью определения функции /> служит интервал />, так как при всехдействительных значениях х значение промежуточного аргумента />содержится на сегменте />. При произвольномдействительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

/>

но при х=5π/6

/>

В силу периодичности синуса функция arcsinxтакжеявляется периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее насегменте [-π/2;3π/2] величиной2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисойкоординатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], тов этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и,так как

/>, то имеем  y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямойлинией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то,пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если />, то

y=х-2πk

и если />, то

y=(π-х)+2πk

График функции />представленна рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

/>


Рассмотрим функцию />

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где />

Областью определения данной функции является множествовсех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π.Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], тоy = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], тодуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и />, поэтому:

/>

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеемy = 2π- x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], тоy = x — 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y= 4π – x

Вообще, если />,то y = x — 2πk

Если же />, то y = -x + πk

Графиком функции />являетсяломаная линия

/>


Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разностидвух  (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пустьдана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическуюоперацию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выраженапосредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних итех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости отпромежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

/>

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α иβ, где

/>;               />

В данном случае /> (т.к./>, а следовательно, />), а также />, поэтому />.

Вычислив синус дуги γ, получим:

/>

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

/>

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную впредыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

/>

Откуда

/>

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму />

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего)дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. />,а />. Вычисляем />

В рассматриваемом примере />,так как дуги γ и />заключены вразличных интервалах,

/>, а   />

В данном случае />

Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную впредыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

/>

Обе дуги γ и />расположеныв верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дугиравны: />

Так как суммы и разности любых аркфункций можновыражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самыеразнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощиоднотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формулсложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различныхпрочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительныхаргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные впромежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

/>, и   />

Сумма α + β заключена в верхнейполуокружности />, следовательно,ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том жеинтервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

/>;

/> 

Разность α – β заключена в правойполуокружности: />

Следовательно, она может быть представлена в видеарксинуса, а также в виде арктангенса:

/>;

/>

Так как значение всякой аркфункции от положительногоаргумента заключено в интервале (0; π/2) то суммудвух аркфункций от положительных аргументов можно представить в видеарккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций отположительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в видеарктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

1.   Преобразуем в арккосинус />, где /> и />

Имеем:

/>

Откуда

            />

2.   Аналогично

/>, где 0 < x <1, 0 < y < 1

/>, где 0 < x <1, 0 < y < 1

/>

/>

/>

Формулы сложения аркфункций от произвольныхаргументов.

1.   Выразить сумму />через арксинус

По определению арксинуса

/>        и          />,

откуда

               />

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1: />

Есличисла x иy разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, тоимеет место случай 1.

            Всамом деле, при />и />, имеем:

            />,         и          />,

откуда

            />

Приx > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двухсистем неравенств:

а)/>                б) />

Необходимым и достаточным признаком, позволяющимотличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

/> в случае а)  и  /> вслучае  б)

В самом деле, взаимно исключающие друг другасоотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия /> и />(соответственно), а потомуэти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данныхсоотношений.

Вычислив />,получим:

/>

При x> 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а)т.е. />или

/>

Откуда

            /> и,следовательно,  />

Наличие случая 1 при x <0, y < 0 означает выполнениенеравенств

            />;

но тогда для положительных аргументов –x и–y имеетместо случай 1, а потому

            /> или  />

Случай 2. />

            В этом случае x >0, y > 0, т.е. выполняетсянеравенство б); из условия />получим />

Случай 3. />

            Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и />

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущемуслучаю:

            />

откуда   />

            Дуги γ и /> имеютодинаковый синус, но (по определению арксинуса) />,следовательно в случае 1  />;

в случае 2  /> и вслучае 3  />.

Итак, имеем окончательно:

/>                                                /> , /> или  />

/>               />; x > 0, y > 0, и />     (1)

                                                />; x < 0, y <0, и />

Пример:

/>

/>;         />

2. Заменив в (1) x на –xполучим:

/>                                                /> , /> или  />

/>               />; x > 0, y > 0, и />     (2)

                                                />; x < 0, y <0, и />

3. Выразить сумму />черезарккосинус

/>          и          />

имеем

            />

Возможны следующие два случая.

Случай 1:  />если  />, то

/>

Приняв во внимание, что обе дуги />и />расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

/>

и следовательно,  />, откуда  />

Случай 2: />. Если />, то

/>,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим,получим />. Из сопоставлениярезультатов следует, что случай 1 имеет место, если />,а случай 2, если

/>.

            Изравенства  /> следует, что дуги

/> и  /> имеют одинаковый косинус.

            Вслучае 1  />, в случае 2  />, следовательно,

/>/>              />,  />

                                                />, />                         (3)

4.Аналогично

/>/>              />,  />

                                    />, />                         (4)

 

пример: />

5.

/>                                                />;  xy < 1

/>                   />; x > 1, xy > 1                                                (5)

                                                />; x < 0, xy > 1

При xy=1не имеетсмысла

6.

                                               

/>            />;  xy > -1

/>                   />; x > 0, xy < -1                                   (6)

                                                />; x < 0, xy < -1

7.

/>                                    />;  />

/>                 />; />                                          (7)

                                    />; />

8.

/>/>                />;  />                                                     (8)

                                    />;  />

9.

/>                                    />;/>

/>                  />; x > 1                                                            (9)

                                    />; x < -1

10.       />                                                                 (10)

            />                                                                              (11)

/>/>                /> , если />                                 (12)

                                    />, если />

еще рефераты
Еще работы по математике