Реферат: Алгебра и начало анализа

Алгебра и начала анализа.

/>1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.

Ответ

/>2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график.

Ответ

/>3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).

Ответ

/>4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.

Ответ

/>5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график.

Ответ

/>6. Функция y = sin(x), её свойства и график.

Ответ

/>7. Функция y = cos(x), её свойства и график.

Ответ

/>8. Функция y = tg(x), её свойства и график.

Ответ

/>9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.

Ответ

/>10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.

Ответ

/>11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ответ

/>12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.

Ответ

/>13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.

Ответ

/>14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.

Ответ

/>15. Формулы приведения (с выводом).

Ответ

/>16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).

Ответ

/>17. Тригонометрические функции двойного аргумента.

Ответ

/>18. Тригонометрические функции половинного аргумента.

Ответ

/>19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).

Ответ

/>20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.

Ответ

/>21. Логарифм произведения, степени, частного.

Ответ

/>22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.

Ответ

/>23. Правила вычисления производной.

Ответ Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b — некоторые числа, называется линейной. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k />0. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 — тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

/>

 

Ответ№2. Опр.Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y= ax2 + bx + c, где х — независимая переменная, а, b и с — некоторыечисла, причем а />0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х />0,то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- />; 0] и возрастает в промежутке [0;+ />).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции[0; + />).

Свойства функции y = ax2 при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х />0,то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + />) и возрастает в промежутке (- />; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (-/>; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершинойкоторой является точка (m; n), где m = />, n= />. Осью симметрии параболы служитпрямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх,при a < 0 — вниз.

/>

Ответ 3

Еслипеременная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимостьвыражается формулой />, где /> — коэффициент обратнойпропорциональности.

Область определения функции /> — есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. />. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

/>

№4. Опр. Функция,заданная формулой y = ax, где а — некоторое положительное число, неравное еденице, называется показательной.

1. Функция y = ax при а>1
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то ax > 1;
е) если х < 0, то 0< ax <1;

2. Функция y = ax при 0< а <1
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< ax <1;
е) если х < 0, то ax > 1.

/>/>

№5.Опр. Функцию, заданнуюформулой y = loga x называют логарифмической функцией с основаниема.
Свойства функции y = loga x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0<x<1, то loga x < 0;
е) если x > 1, то loga x > 0.
Свойства функции y = loga x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то loga x = 0;
д) если 0 < x < 1, то loga x > 0;
е) если x > 1, то loga x < 0.

/>

 №6.Опр.Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, кгипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin />).

область определения — множество всех действительных чисел; множество значений — [-1; 1]; функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех />; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; sin(x) = 0 при x = />; sin(x) > 0 для всех />; sin(x) < 0 для всех />; функция возрастает на />; функция убывает на />.

/>

№7.Опр.Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, кгипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos />)

область определения — множество всех действительных чисел; множество значений — [-1; 1]; функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех />; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; cos(x) = 0 при />; cos(x) > 0 для всех />; cos(x) > 0 для всех />; функция возрастает на />; функция убывает на />

/>

№8.Опр. Отношение катета,противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащемук этому углу, называется тангенсом (обозначается tg />).

область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида/>; множество значений — вся числовая прямая; функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; tg(x) = 0 при х = />; tg(x) > 0 для всех />; tg(x) < 0 для всех />; функция возрастает на />.

/>

№9.Опр. Отношение катета,прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащемук этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg />)

область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида />; множество значений — вся числовая прямая; функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения; функция периодическая с наименьшим положительным периодом />; ctg(x) = 0 при x = />; ctg(x) > 0 для всех />; ctg(x) < 0 для всех />; функция убывает на />.

/>

Ответ № 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 — а1 = а3 — а2 =… = ak — ak-1 =…. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d. Если разность арифметической прогрессии — положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. />(1) Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2) Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: />(3) Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение /> Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 =… = bn:bn-1 = bn+1:bn =…. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Если q > 0 (/>), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18,… есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. />(1) Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: />(2) Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: />, />(3) Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. />, />(4) Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрическойпрогрессии при />

Пусть (xn) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где />и />. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию />, называется предел суммы n первых ее членов при />. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула />.

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x)= a

формула для корней уравнения sin(x) = a, где />, имеет вид: />
Частные случаи: sin(x) = 0, x = /> sin(x) = 1, x = /> sin(x) = -1, x = /> формула для корней уравнения sin2(x) = a, где />, имеет вид: x= />

Решение тригонометрических неравенстввида sin(x) > a, sin(x) < a

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х = />;
sin(x) = -1, если x = />>;
sin(x) > 0, если />;
sin(x) < 0, если />.

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравненияcos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где />, имеет вид: />. Частные случаи:
cos(x) = 1, x = />;
cos(x) = 0, />;
cos(x) = -1, x = /> Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где />, имеет вид: />.

Решение тригонометрических неравенстввида cos(x) > a, cos(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x); Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если />;
cos(x) = -1, если x = />;
cos(x) = 1, если x = />;
cos(x) > 0, если />;
cos(x) > 0, если />.

№14                             

Решение тригонометрического уравненияtg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: />. Частные случаи:
tg(x) = 0, x = />;
tg(x) = 1, />;
tg(x) = -1, />. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где />, имеет вид: />

Решение тригонометрических неравенстввида tg(x) > a, tg(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x). Важно знать, что:
tg(x) > 0, если />;
tg(x) < 0, если />;
Тангенс не существует, если />.

№ 15

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов />, />, />, />, выражаются через значения sin />, cos />, tg />и ctg />. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Функция />

Аргумент />

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

sin />

cos />

cos />

sin />

-sin />

-cos />

-cos />

-sin />

sin />

cos />

sin />

-sin />

-cos/>

-cos/>

-sin />

sin />

cos />

cos />

tg />

ctg />

-ctg />

-tg />

tg />

ctg />

-ctg />

-tg />

tg />

ctg />

tg />

-tg />

-ctg />

ctg />

tg />

-tg />

-ctg />

ctg />

Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов />, />к функциям угла />название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов />, />к функциям угла />название функции сохраняют;
б) считая />острым углом (т. е. />), перед функцией угла />ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов />, />, />.

Всевышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + />по абсолютной величине равна тойже функции угла />, если число n — четное, идополнительной функции, если число n — нечетное. При этом, если функция угла90°n + />.положительна, когда /> — острый угол, то знаки обеихфункций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
/>/>
      Рис.1             Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол />и на угол />(рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов />и />. Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы />и />. По определению скалярного произведения векторов:
/>/>/>= х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение />/>/>через тригонометрические функции углов />и />. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos />, y1 = R sin />, х2 = R cos />, y2 = R sin />.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
/>/>/>= R2cos/>cos/>+ R2sin/>sin/>= R2(cos/>cos/>+ sin/>sin/>).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
/>/>/>= />/>cos />BOC = R2cos />BOC.
Угол ВОС между векторами />и />может быть равен /> — />(рис.1), /> — (/> — />) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos />BOC = cos (/> — />). Поэтому
/>/>/>= R2 cos (/>- />).
Т.к. />/>/>равно также R2(cos/>cos/>+ sin/>sin/>), то
cos(/> — />) = cos/>cos/>+ sin/>sin/>.

cos(/>+ />) = cos(/> — (-/>)) = cos/> cos(-/>) + sin/> sin(-/>) = cos/>cos/>- sin/>sin/>.
Значит,
cos(/>+ />) = cos/>cos/>- sin/>sin/>. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin(/>+ />) = cos( />/2 — (/>+ />)) = cos(( />/2 — />) — />) = cos( />/2 — />) cos/>+ sin( />/2 — />) sin/>= sin/>cos/>+ cos/>sin/>.
Значит,
sin(/>+ />) = sin/>cos/>+ cos/>sin/>.

sin(/> — />) = sin(/>+ (-/>)) = sin/> cos(-/>) + cos/> sin(-/>) = sin/>cos/>- cos/>sin/>.
Значит,
sin(/> — />) = sin/>cos/>- cos/>sin/>.

№ 17

Формулы двойных углов

Формулысложения позволяют выразить sin 2/>, cos 2/>, tg 2/>, ctg 2/>через тригонометрические функцииугла />.
Положим в формулах
sin(/>+ />) = sin/>cos/>+ cos/>sin/>,
cos(/>+ />) = cos/>cos/> — sin/>sin/>,
/>,
/>.
/>равным />. Получимтождества:

sin 2/>= 2 sin />cos />;
cos 2/>= cos2/> — sin2/>= 1 — sin2/>= 2 cos2/> — 1;
/>; />.

№ 18

Формулы половинного аргумента

Выразив правую часть формулы cos 2/>= cos2 /> — sin2 />через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2/>= 1 — sin2 />, cos 2/>= 2 cos2 /> — 1.
Если в данных соотношениях положить />= />/2, то получим:
cos />= 1 — 2 sin2 />/2, cos 2/>= 2 cos2 />/2 — 1. (1) Из формул (1) следует, что
/> (2), /> (3). Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
/> (4). В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол />/2. Полезно знать следующую формулу:
/>.

№ 19

Формулы суммы и разности синусов,косинусов

  Суммуи разность синусов или косинусов можно представить в виде произведениятригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование,могут быть получены из формул сложения.
  Чтобы представить в виде произведения сумму sin />+ sin />, положим />= x + y и />= x — y и воспользуемсяформулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin />+ sin />= sin (x + y) + sin(x — y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy — cosx siny = 2sinx cosy.
  Решивтеперь систему уравнений />= x + y, />= x — y относительно x и y,получим х = />,y = />.
Следовательно,
   sin />+ sin />= 2 sin/>cos/>.
Аналогичным образом выводят формулы:
   sin />-sin />= 2 cos/>sin />;
   cos />+ cos />= 2 cos/>cos/>;
   cos />+ cos />= -2 sin/>sin />.

№ 20

Чтобынайти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q= 0, где />,достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенстваприбавить />.Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение/>= /> — q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешнимвидом: />стоитвместо x и /> — q — вместо m.Находим />= />. Отсюба х = — />/>. Эта формулапоказывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могутбыть и мнимыми, если />< q. Может такжеоказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если />= q.Возращаемся к обычному виду />.
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q= 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, апроизведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2= -р, а х1х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2= q, то х1 и х2 — корни уравнения x2 +px + q = 0.

№21

Опр. Логарифмом числа bпо основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвестиоснование а, чтобыполучить число b.
  Формулу />(где b > 0, a > 0 и a />1) называютосновным логарифмическим тождеством.
  Свойства логарифмов:

/>; />; Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
/>.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = />, y = />.
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = />/>/>= />.
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
/>.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3 Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
/>.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№22

Производной функции f(x) в точке х0называется предел отношения приращения />функции в точке х0к приращению />аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: />. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке. Существование производной функции f в точке х0эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен />. В этом состоит геометрический смысл производной. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) — это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№23

Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
/>. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0то их производные дифференцируемы в этой точке и
/>. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С — постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
/>. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0и
/>.
еще рефераты
Еще работы по математике