Реферат: Аксиоматический метод

Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором :
1. выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом) ;
2. входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории;
3. фиксируются правила определения и правила выбора данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других ;
4. все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из 1 на основе 3.

В математике А. м. зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единственным вплоть до 19 в. образцом применения А. м. была геометрич. система, известная под назв. «Начал» Евклида (ок. 300 до н. э.). Хотя в то время не вставал еще вопрос об описании логич. средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрич. теории чисто дедуктивным путем из нек-рого, относительно небольшого, числа утверждений — аксиом, истинность к-рых представлялась наглядно очевидной.

Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяй (J. Bolyai) явилось толчком к дальнейшему развитию А. м. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно развивать чисто логич. путем геометрич. теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить специальное внимание на дедуктивный способ построения математич. теорий, что повлекло за собой возникновение новой проблематики, связанной с самим понятием А. м., и формальной (аксиоматической) математич. теории. По мере того как накапливался опыт аксиоматич. изложения математич. теорий — здесь надо отметить прежде всего завершение логически безупречного (в отличие от «Начал» Евклида) построения элементарной геометрии [М. Паш (М. Pasch), Дж. Пеано (G. Реаnо), Д. Гильберт (D. Hilbert)] и первые попытки аксиоматизации арифметики (Дж. Пеано),- уточнялось понятие формальной аксиоматич. системы (см. ниже); возникала специ-фич. проблематика, на основе к-рой выросла так наз.доказательств теория как основной раздел современной математич. логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более или менее отчетливой форме уже в 19 в. При этом, с одной стороны, уточнение основных понятий и сведение более сложных понятий к простейшим на точной и логически все более строгой основе проводились гл. обр. в области анализа [ О. Коши (A. Cauchy), теоретико-функциональные концепции Б. Больцано (В. Bolzano) и К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), континуум Г. Кантора (G. Cantor) и Р. Дедекинда (R. Dedekind)]; с другой стороны, открытие неевклидовых геометрий стимулировало развитие А. м., возникновение новых идей и постановку проблем более общего метаматематич. характера, прежде всего проблем, связанных с понятием произвольной аксиоматич. теории, таких, как проблемы непротиворечивости, полноты и независимости той или иной системы аксиом. Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций, к-рый грубо может быть описан следующим образом. Пусть каждому исходному понятию и отношению данной аксиоматич. теории Т поставлен в соответствие нек-рый конкретный математич. объект. Совокупность таких объектов наз. полем интерпретации. Всякому утверждению теории Т естественным образом ставится теперь в соответствие нек-рое высказывание об элементах поля интерпретации, к-рое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение теории Т, соответственно, истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства сами обычно являются объектом рассмотрения к.-л., вообще говоря другой, математич. теории T1, к-рая, в частности, тоже может быть аксиоматической. Метод интерпретаций следующим образом позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, т. е. доказывать суждения типа: «если теория Т 1 непротиворечива, то непротиворечива и теория Т». Пусть теория Т проинтерпретирована в теории Т 1 таким образом, что все аксиомы теории Т интерпретируются истинными суждениями теории Т 1. Тогда всякая теорема теории Т, т. е. всякое утверждение А, логически выведенное из аксиом в Т, интерпретируется в Т 1 нек-рым утверждением, выводимым в Т 1 из интерпретаций аксиом Аi , и, следовательно, истинным. Последнее утверждение опирается на еще одно неявно делаемое нами допущение известного подобия логич. средств теорий Т и T1, но практически это условие обычно выполняется. (На заре применения метода интерпретаций об этом допущении специально даже не задумывались: оно представлялось само собой разумеющимся; на самом деле в случае первых опытов доказательства теорем об относительной непротиворечивости логич. средства теорий Т и T1 просто совпадали — это была классич. логика предикатов.) Пусть теперь теория Т противоречива, т. е. нек-рое утверждение Аэтой теории выводимо в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказанного следует, что утверждения и будут одновременно истинными утверждениями теории Т 1 т. е., что теория T1 противоречива. Этим методом была, напр., доказана [Ф. Клейн (F. Klein), А. Пуанкаре (Н. Poincare)] непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечива геометрия Евклида; а вопрос о непротиворечивости гильбертовой аксиоматизации евклидовой геометрии был сведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечивости арифметики. Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома Атеории Т не зависит от остальных аксиом этой теории, т. е. не выводима из них, и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксиома Абыла бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Иной формой этого способа доказательства независимости Аявляется установление непротиворечивости теории, к-рая получается, если в данной теории Таксиому Азаменить ее отрицанием. Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней — к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена на достаточно точной основе особая роль арифметики как такой математич. теории, к вопросу о непротиворечивости к-рой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.

Дальнейшее развитие — а в известном смысле это была вершина — А. м. получил в работах Д. Гильберта и его школы в виде так наз. метода формализма в основаниях математики. В рамках этого направления была выработана следующая стадия уточнения понятия ак-сиоматич. теории, а именно понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математич. теории как точные математич. объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом соблазнительной представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обоснования математики. Основным понятием этого направления является понятие формальной системы. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений — формул, в к-ром нек-рым точным образом выделяется подкласс формул, наз. теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы непосредственно не несут в себе никакого содержательного смысла, и их можно строить из произвольных, вообще говоря, значков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технического удобства. На самом деле способ построения формул и понятие теоремы той или иной формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применять для выражения, возможно более адекватного и полного, той или иной конкретной математической (и не математической) теории, точнее, как ее фактич. содержания, так и ее дедуктивной структуры. Общая схема построения (задания) произвольной формальной системы Sтакова.

I. Язык системы S:

а) алфавит- перечень элементарных символов системы;

б) правила образования (синтаксис) — правила, по к-рым из элементарных символов строятся формулы системы S; при этом последовательность элементарных символов считается формулой тогда и только тогда, когда она может быть построена с помощью правил образования.

II. Аксиомы системы S. Выделяется нек-рое множество формул (обычно конечное или перечислимое), к-рые наз. аксиомами системы S.

III. Правила вывода системы S. Фиксируется (обычно конечная) совокупность предикатов на множестве всех формул системы S. Пусть — к.-л. из этих предикатов если для данных формул утверждение истинно, то говорят, что формула непосредственно следует из формул по правилу

7. Теория вероятности:

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

К понятию «вероятность» существует несколько подходов.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход называется теоретико-множественным.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω: .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События Ak (k=1, 2, …, n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Вероятностью событияА называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m — число элементарных исходов, благоприятствующих A; n — число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Св о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,

Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 < Р (А) < 1

.Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 <= Р (A) < 1.