Реферат: *-Алгебры и их применение
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________ |
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ……………………………………………………………………………..4
Глава I . Основные понятия и определения …………………………………….6
§ 1. * — алгебры ……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * — алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * — алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления ……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3. Тензорные произведения ……………………………………………………26
3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава II . Задача о двух ортопроекторах ………………………………………..31
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве …………………………..31
1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P 2 ……………………………….31
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P 2 ……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P 2 …………………………………35
1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве ……39
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P 2 …………………………...39
2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава III . Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45
§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве ……...45
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = а Р1 + b Р2(0<а< b ) ……………………..53
Заключение ………………………………………………………………………..55
Литература ………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н – гильбертово пространство, L (Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L (Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L (Н) ) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С *-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P 2
P 2 = С < p 1 , p 2 | p 1 2 = p 1 * = p 1 , p 2 2 = p 2 * = p 2 > ,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P 2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P 2. Неприводимые *-представления P 2 одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0( p 1 ) = 0, π0,0( p 2 ) = 0; π0,1( p 1 ) = 0, π0,1( p 2 ) = 1;
π1,0( p 1 ) = 1, π1,0( p 2 ) = 0; π1,1( p 1 ) = 1, π1,1( p 2 ) = 1.
И двумерные: , τ (0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1 +Р2, аР1 + b Р2 (0 < a < b ). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1 +Р2 или А = аР1 + b Р2, 0 < a < b , (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
Глава I . Основные понятия и определения
§ 1. — алгебры
1.1. Определение — алгебры.
Определение 1.1. Совокупность А элементов x , y , … называется алгеб-
рой, если:
1) А есть линейное пространство;
2) в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:
α (x y) = ( α x) y,
x ( α y) = α (x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x ( y + z ) = xy + xz для любых x , y , z А и любых чисел α.
Два элемента x , y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x * алгебры А в А, что
(i) (x*)* = x;
(ii) (x + y)* = x* + y*;
(iii) ( α x)* = x*;
(iv) ( x y )* = y * x * для любых x , y С .
Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства ( i ) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А .
1.2. Примеры
1) На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z ) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.
2) Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT: |f ( t ) | ε} компактно, f ( t ) А. Снабжая А отображением f → получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3) Пусть Н – гильбертово пространство. А = L ( H ) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А — *- алгебра.
4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А →А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .
Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе = х для всех х А (1.1.)
Элемент е называют единицей алгебры А .
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ — также единица в А, то
е΄х = хе΄ = х, для всех х А (1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е .
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, х А; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх, (α1 е + х1 ) + (α2 е + х2 ) = (α1 + α2 )е + (х1 + х2 ),
(α1 е + х1 )(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде
х΄ = αе + х, х А, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х А, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0 .
Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х А, в которой основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1 ) + (α2, х2 ) = (α1 + α2, х1 + х2 ),
(α1, х1 )(α2, х2 ) = (α1 α2, α1 х2 + α2 х1 + х1 х2 ), (1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х А и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e .
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye ,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х .
1.4. Простейшие свойства — алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то ( xy )*= y * x * = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х А элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z C , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 + i х2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 + i х2, следовательно:
, (1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 + i х2 .
Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х .
Заметим, что хх* = х12 + х22 + i (х2 х1 – х1 х2 ) ,
хх* = х12 + х22 — i (х2 х1 – х1х2)
так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е, то есть единица эрмитов элемент.
Если А — *-алгебра без единицы, а А΄ — алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при х А, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.
Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и
(х*)-1 = (х-1 )*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1 х = хх-1 = е,
получим х* (х-1 )*= (х*)-1 х*=е.
Но это означает, что (х-1 )* есть обратный к х* .
Подалгебра А1 алгебрыА называется *-подалгеброй, если из х А1 следует, что х* А1 .
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S .
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х, и если х-1 существует, то х-1 В .
Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1 )*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1 В .
Определение 1.6. Элемент х А — *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1 .
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то
((х y )*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y *)-1 = xy ,
поэтому xy унитарен, и так как ((х-1 )*)-1 = ((х*)-1 )-1 = х-1, то х-1 унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х, y А, α С. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).
Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:
(i) I ≠ A ;
(ii) Из х, y I следует x + y I ;
(iii) Из х I, аα А следует αх I .
Если I = А, то I называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х- y I. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A / I .
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х I следует х* I .
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A / I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х- y I, то х*- y * I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A / I есть *-алгебра.
Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A / I *-изоморфна *-алгебре А΄ .
Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х А в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A / I .
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1. Пусть А — *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L ( H ) .
Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L ( H ), что
π ( x + y ) = π( x ) + π( y ), π (α x ) = απ( x ) ,
π ( xy ) = π( x ) π( y ), π ( x *) = π ( x )*
для любых х, y А и α С .
Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.
Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х А, то есть
U π1(х) = π2(х) U для всех х А.
Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π(х) f (для всех х А ) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.
Определение 2.4. Подпространство Н1 Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А )Н1 Н1 .
Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х А ) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1 .
Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть ( f , g ) = 0 для всех g Н1. Тогда для любого х А (π(х) f , g ) = (f, π(х) *g ) = (f, π(х*) g ) = , так как π(х*) g Н1. Следовательно, вектор π(х) f также ортогонален к Н1 .
Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1 Н1 .
Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1 .
Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f Н1, но также π(х) f Н1. Отсюда для любого вектора f Н
π(х) Р1f Н1
следовательно, Р1 π(х) Р1f = π(х) Р1f ,
то есть Р1 π(х) Р1 = π(х) Р1 .
Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также
Р1 π(х) Р1 = Р1 π(х) .
Следовательно, Р1 π(х) = π(х) Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f Н1
Р1 π(х) f = π(х) Р1f = π(х) f ;
Следовательно, также π(х) f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.
Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида
h = f 1 + … + fn, где f 1 ,… ,fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х) h = π(х) f 1 +…+ π(х) fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х) g .
2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi ) i I — семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н i (i I ). Пусть
|| πi ( х) || ≤ сх
где сх – положительная константа, не зависящая от i.
Обозначим через Н прямую сумму пространств Н i , то есть Н = Н i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Н i . Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое πi или π1 …..πn в случае конечного семейства представлений (π1 …..πn ). Если (πi ) i I – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления πi обозначается через с π. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.
Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f ≠ – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х) f , где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H -Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1 .
Обозначим через М совокупность всех систем {Н α }, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2 }. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н α } М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н α }. Но тогда Н= Н α; в противном случае в инвариантном подпространстве Н -(Н α ) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Н α }Н0 М, содержащую максимальную систему {Н α }, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н .
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо. Приf Н, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х) f, х А, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство
{αf | α C } инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н .
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А ) в L ( H ) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х); в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f ) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0такое, что E(λ) =0 при λ<λ0и E(λ) =1 при λ>λ0. Отсюда
В=λ dE(λ) = λ01.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*) В)* = (Вπ(х*))* = π(х) В*
Поэтому эрмитовы операторы В1 =, В2 =также перестановочны со всеми операторами π (х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1 +i В2 кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т: Н → Н΄ такой, что Т π(х)= π΄ (х) Т для любого х А, называется оператором сплетающим π и π΄ .
Пусть Т: Н → Н΄ — оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т *: Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ иπ, так как
Т *π΄ (х) = (π΄ (х) Т )* = (Т π (х*) )* = π(х) Т *
Отсюда получаем, что
Т *Т π(х)= Т *π΄ (х) Т = π(х) Т *Т (2.1.)
Поэтому | T | = (T *T )1/2 перестановочен с π( А ). Пусть Т = U | T | — полярное разложение Т. Тогда для любого х А
U π(х) | T | = U | T | π(х) = Т π(х) = π΄ (х) Т= π΄ (х) U | T | (2.2.)
Если KerT ={0}, то | T | (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует
U π(х) = π΄ (х) U (2.3.)
Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT *={0}, то U является изоморфизмом Н иН΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.
Пусть π и π΄ — неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н иН΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т: Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т *Т и ТТ * — скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1 …..πn, где πi неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ< q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄ <q, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1 …..πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А ). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi. Итак, перегруп-
пировав πi, получаем, что π = ν 1 …..ν m, где каждоеν i есть кратное ρ i ν i ΄ неприводимого представления ν i ΄, и ν i ΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н i, отвечающих ν i, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н i. Это доказывает, что каждое пространство Н i определяется однозначно: Н i – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν i ΄. Таким образом, доказано предложение.
Теорема 2.8. В разложении π = ρ1 ν 1 ΄ …..ρm ν m ΄ представления π, (где ν 1 ΄ ,…, ν m ΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ i и классы представлений ν i ΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т В, Ø В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.
Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f : Т1 → Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1 .
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т .
Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε= ((H (t ))t T, Г ), где (H (t ))t T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i ) Г – векторное подпространство Н (t );
(ii) существует последовательность (х1, х2 ,…) элементов Г таких, что для любого t T элементы х n ( t ) образуют последовательность H (t );
(iii) для любого х Г функция t → ||x ( t ) || μ – измерима;
(iv) пусть х – векторное поле; если для любого y Г функция t → (x ( t ), y ( t ) ) μ – измерима, то х Г .
Пусть ε= ((H (t ))t T, Г ) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х Г и ||x( t) ||2 dμ( t) < + ∞.
Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+ y и λх (λ С ) – тоже и функция t →( x ( t ), y ( t )) интегрируема; положим
(x, y) = (x(t), y(t) ) d μ (t)
Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н ( t ) и обозначаемое x ( t ) d μ( t ) .
Определение 2.10. Пусть ε= ((H (t ))t T, Г )– измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого t T определен оператор S ( t ) L (H ( t ) ). Если для любого х T поле t → S ( t ) x ( t ) измеримо, то t → S ( t ) называется измеримым операторным полем.
Пусть Т – борелевское пространство, μ — положительная мера на Т, t → Н ( t ) — μ — измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t T задано представление π( t ) *-алгебры А в Н ( t ): говорят, что t → π( t ) есть поле представлений А .
Определение 2.11. Поле представлений t → π( t ) называется измеримым, если для каждого х А поле операторов t → π( t )х измеримо.
Если поле представлений t → π( t ) измеримо, то для каждого х А можно образовать непрерывный оператор π(х) =π( t ) ( x ) d μ( t ) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н ( t ) dμ( t ) .
Теорема 2.9. Отображение х→ π(х) есть представление А в Н .
Доказательство. Для любых х, y А имеем
π(х+ y ) = π(t) (x+y) dμ( t ) = (π(t) (x) + π(t) (y) ) dμ( t ) = π(t) (x )dμ( t ) +
+ π( t ) ( y ) d μ( t ) = π(х) + π( y )
Аналогично π( λх) = λπ(х), π(х y ) = π(х) π( y ), π(х*)= π(х)*
Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π( t ) и обозначается π= π(t) dμ( t ) .
Определение 2.13. Операторное поле t →φ( t ) I ( t ) L ( H ( t ) ) где I ( t ) -единичный оператор в H ( t ), называется диагональным оператором в Н =Н ( t )dμ( t ) .
Пусть ε= ((H (t ))t T, Г ) – μ -измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ 1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ 1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ( t)=. Тогда отображение, которое каждому х Н ==Н ( t)dμ( t) составляет поле t→ρ( t) -1/2х( t) Н1 =Н ( t) dμ1 ( t) ,
есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.
Действительно,
||ρ( t ) -1/2х( t )dμ1 ( t ) ||2 = ||х( t ) ||2ρ( t ) -1 dμ1 ( t ) = ||х( t ) ||2dμ1 ( t ) = ||х( t ) ||2
Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t → Н ( t ) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t → π( t ) – измеримое поле представлений А в Н ( t ) ,
Н =Н ( t ) dμ( t ), π1 == π(t )dμ( t ) ,
Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ 1 – мера на Т, эквивалентная μ ,
Н1 =Н ( t ) dμ1 ( t ), π1 =π(t) dμ 1( t ) ,
Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1 .
Доказательство. Пусть ρ( t )=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x ( t ) d μ( t ) Н в
Ux = ρ -1/2х( t ) d μ1 ( t ) .
Пусть α А. Имеем
π1 ( α)Ux = π(t)( α) ρ -1/2 х( t ) d μ1 ( t ) = U π(t)( α) х( t ) d μ( t ) = U π( α)x ,
поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S Д, то аналогично SUx = USx , для любого х Н .
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ 1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε= ((H (t ))t T, Г ), Z 1 = ((H 1 (t 1 ))t 1 T 1, Г ), — μ -измеримое и μ 1 -измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т → Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ 1; η -изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V (t ))t T, обладающееследующими свойствами:
(i) для любого t T отображение V ( t ) является изоморфизмом Н ( t ) на Н1 (η( t )) ;
(ii) для того, чтобы поле векторов t → x ( t ) H ( t ) на Т было μ -измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η( t )→ V (t )х( t ) Н1 (η( t )) на Т1 было μ 1 -измеримо.
Отображение, переводящее поле х Н =Н ( t) dμ( t) в поле η( t))→ V (t )х( t) Н1 = Н1 ( t) dμ 1( t), есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V ( t) dμ( t) .
Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t → H ( t ) – μ — измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t → π( t ) — μ — измеримое поле представлений А в H ( t ) ,
Н =Н ( t ) dμ( t ), π == π(t) dμ( t ) ,
Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ 1, t 1→ H 1 ( t 1), t 1→ π1( t 1), Н1, π1, Д1 .
Предположим, что существует:
1. N, N 1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N ) = μ (N 1 ) = 0;
2. борелевский изоморфизм η: T \ N → T \ N 1, преобразует μ в μ 1 ;
3. η -изоморфизм t → V (t ) поля t → Н (t ) (t Z \ N ) на поле t 1→ Н1 (t 1 ) (t 1 Т1 \ N 1 ) такой, что V (t ) преобразует π( t ) в π1(η( t )) для каждого t .
Тогда V =V ( t)dμ( t) преобразует Д в Д1 и π в π1 .
Доказательство. Обозначим через I t, I t1 единичные операторы в Н (t ) и Н1 (t 1 ). Если f L ∞ (T, μ ) и если f 1 – функция на Т1 \ N 1, получаемая из f |(T \ N ) при помощи η, то V преобразует f ( t ) I tdμ( t ) в f 1( t 1) I t1 dμ 1( t 1), поэтому V преоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α А и х = х( t ) dμ( t ) Н.
Тогда
V π( α)х = V π(t)( α) х( t ) d μ( t ) = V (η -1 (t 1)) π(η -1 (t 1))( α) х(η -1 (t 1)) d μ 1( t 1) = π1 (t 1)( α) V (η -1 (t 1)) х(η -1 (t 1)) d μ 1( t 1) = π1 ( α) V х
Поэтому V преобразует π в π1 .
Приведем примеры прямых интегралов.
1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N, то есть μ( n ) =1 для любого n N. Тогда
Н ( n ) d μ( n ) = Н ( n ), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.
2. Пусть Т =[0, 1] и в каждой точке t Т соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L 2 (0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х = х( t) dt →х( t) L2 (0, 1).Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть — конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, — некоторый ортонормированный базис в Нк .
Образуем формальное произведение
(3.1.)
α = (α1 ,…, αn ) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность () и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1 ,…, Н n и обозначается Н1 ,…, Н n = . Его векторы имеют вид:
f = (f α C ), || f ||2 =< ∞ (3.2.)
Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
( f, g) = (3.3.)
Пусть f( k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f = f(1) …f(n) = (3.4.)
Коэффициенты f α = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом
|| f || = (3.5.)
Функция Н1 ,…, Н n <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в — эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1 ,…, Н n и обозначается α.
Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.
Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2 , причем считается, что
(f1 + g1 )f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.)
f1 (f2 + g2 ) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.)
(λ f1 )f2 = λ (f1 f2 ) (3.8.)
f1 λ (f2 ) = λ (f1 f2 ) (3.9.)
f1 ,g1 Н1; f2 ,g2 Н2; λ С .
Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L .
(f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1 )(f2 g2 ) (3.10.)
f1 ,g1 Н1; f2 ,g2 Н2 ,
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть , — две последовательности гильбер-
товых пространств, — последовательность операторов Ак L (Нк, Gк ). Определим тензорное произведение А1 …А n = Ак формулой
() f = () = (3.11.)
(f ).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем
|| || = || || (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1 ,…, Н n = (Н1 ,…, Н n-1 )Н n общий случай получается по индукции.
Пусть — некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1Н2 с конечным числом отличных от нуля координат f α.
Зафиксируем α2, β1 Z+ и обозначим через f (α2 ) Н1 вектор f (α2 ) = и через g (β1 )G2 – вектор g (β1 ) =. Получим
= =
= ≤ =
= ≤ =
=
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1 G2 ряда уже при произвольном c Н1Н2 и оценка его нормы в G1 G2 сверху через ||A1 || ||A2 || ||f ||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1Н2 → G1 G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1 || ||A2 ||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1 A2 ) (f1 f2 )|| = ||A1 f1 ||||A2 f2 || (fк Нк, к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1 , f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1 || ||A2 ||, поэтому неравенство ||(A1 A2 )|| ≤ ||A1 || ||A2 || не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак L (Hк, Gк ), Вк L (Hк, Gк ) (к = 1,…, n) соотношения
(Вк ) (Ак ) = (Вк Ак ) (3.13.)
(Ак )* = Ак *(3.14)
(Ак ) (f1 … f n ) = A1f1 … Anfn (3.15.)
(fк Hк; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор Ак .
Приведем пример. Пусть Hк = L2 ((0,1), d (mк )) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2 .
Глава II . Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P 2
P 2 = С < р1, р2 | р12 = р1 * = р1, р22 =р2 * = р2 >
порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u = 2 p 1 – 1, v = 2 p 2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.
u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P 2 можно задать иначе:
P 2 = С < p1 * = p1, p2 * =p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u * = u, v * = v | u2 = 1, v2 =1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P 2 , с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P 2 . Пусть π: P 2→ L( H) — *-представление *-алгебры P 2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.
P 2 = С < р1, р2 | р12 = р1 * = р1, р22 =р2 * = р2 >
Обозначим через Рк = π(рк ), к = 1,2. Поскольку рк2 = рк * = рк (к = 1, 2) и π — *-представление, то Рк2 = Рк * = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y H | Ркy = y } к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
1. Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
2. Н1 = Н (то есть dim H 1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.
3. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.
4. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.
Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P 2, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P 2. Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ — ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н =H1 Н1┴, Н =H2 Н2┴
Введем дополнительные обозначения:
Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴ ,Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)
Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h }, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2 } и {g1, g2 }, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2 }.
Пустьg1 = a11 e1 + a12 e2
g2 = a21 e1 + a22 e2
e1 = b11 g1 + b12 g2
e2 = b21 g1 + b22 g2
Рассмотрим векторы h1 = eit e1 и h2 = eil e2, тогда
|| h1 || = || eit e1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eil e2 || = || e2 || = 1
(h1 , h2 ) = (eit e1, eil e2 ) = ei( t- l) ( e1, e2 ) = 0, то есть {h1 , h2 } – ортонормированный базис.
Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.
Значит в базисе {h1 , h2 } матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11 ,a12 > 0 (так как, например, a11 e1 =|a11 | eit e1 =|a11 | h1 )
(e1, e2 )= 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что
a22 = — r a11
a21 = r a12
Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно
a11 2 + a122 = 1
|a22 |2 + |a21 |2 = 0
тогда | r | = 1.
Р2 e1 = Р2 (b11 g1 + b12 g2 ) = b11 g1 = b11 a11 e1 + b11 a12 e2 ,
Р2 e2 = Р2 (b21 g1 + b22 g2 ) = b21 g1 = b21 a11 e1 + b21 a12 e2 .
Найдем b11 и b21 :
e1 = b11 g1 + b12 g2 = b11 (a11 e1 + a12 e2 ) + b12 (a21 e1 + a22 e2 ) = (b11 a11 + b12 a12 )e1 + (b11 a12 + b12 a22 )e2,
b11 a11 + b12 a12 = 1
b11 a12 + b12 a22 = 0 или
b11 a11 + b12 a12 r = 1
b11 a12 — b12 a11 r = 0,
Тогдаb11 = a11 .
Аналогично
E2 = b21 g1 + b22 g2 = (b21 a11 + b22 a21 )e1 + (b21 a12 + b22 a22 )e2,
b21 a11 + b22 a21 = 0
b21 a12 + b22 a22 = 1,
отсюда находим, что b21 = a12 .
Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2 )
Р2 = , где a11 >0, a12 >0 и a11 2 + a122 =1
А) Пусть a11 2 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11 a12 = . Так как a11 a12 >0, то τ (0, 1).
Тогда Р2 = .
В) Положим a11 = cosφ, тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом
Р2 = .
Найдем коммутант π( P 2). Пусть Т = оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда
ТР1 = =
Р1 Т = =
Следовательно b = c = 0.
ТР2 = =
Р2 Т= =
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ, ν (0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1 = Р1 U, следовательно U= , a, b C
UР2 (τ ) = =
Р2 (ν ) U = = .
Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1. Пусть π: P 2 → L( H) — *-представление *-алгебры P 2 .
Тогда:
( i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0( p1 ) = 0; π0,0( p2 ) = 0; π1,0( p1 ) = 1; π1,0( p2 ) = 0; π0,1( p1 ) = 0; π0,1( p2 ) = 1; π1,1( p1 ) = 1; π1,1( p2 ) = 1;
( ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π( p1 ) , π( p2 ) τ (0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii ) можно положить π( p2 ) = φ (0, ).
1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P 2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН =2n +1, где n >1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1, dimН1┴ ) + max (dimН2, dimН2┴ ) > 2n +1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 иj = 0,1, что Н i, j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.
Пусть теперь dimН =2n, n >1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Н i, j = {0} для любых i = 0,1 иj = 0,1, то есть Н i, j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х Н1 такой, что Р1 Р2х = λх, где λ С .
Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е ) и (g ) связаны уравнениями
к = 1,…, n к = 1,…, n
Так как х Н1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда
Р1 Р2х = Р1 Р2= Р1 Р2= Р1=
= Р1= = ()=
Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1 ,…, qn:
=
j = 1,…, n
Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1 ,…, qn. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L =л.о. {х, Р2х } – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2 .
Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем
Р1 (aх + b Р2х ) = aх + λbх = (a + λb ) х L ,
Р2 (aх + b Р2х ) = a Р2х + b Р2х = (a + b ) Р2х L
dimL = 2, так как Н i, j = {0} (для всех i, j = 0,1).
Действительно, если aх + b Р2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1 ≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2. Если dimН = n, n >2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P 2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P 2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2Нк )), (1.1.)
где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φ i при к ≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m ). Пусть Рi,j: Н → Н i, j, Рφк: Н → С2Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов
I = P0,0P0,1P1,0 P1,1(Рφк ), (1.2.)
P1 = P1,0P1,1((Iк )) (1.3)
Р 2 = P0,1 P1,1 (Iк )) (1.4)
где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m ).
Доказательство. Пусть dimН i, j = ni, j. Сразу можем записать разложение
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):
Н΄ = Н φк, (l = n — )
Собирая вместе все Н φк, у которых одно φк, получим изоморфизм
Н φк … Н φк ≈ С2Нк, где Н φк nк экземпляров, dim(Н φк … Н φк )=2nк dim(С2Нк ) = dimС2 dimНк = 2nк. Следовательно, получаем разложение (1.1.)
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2Нк ))
Пусть πi, j – сужение π на Н i, j ( i, j = 0,1), πк – сужение π на Н φк (к = 1,…, m ), то есть πi, j и πк — *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0 π0,0n0,1 π0,1n1,0 π1,0n1,1 π1,1(nк πк ) (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (Р φк )
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид
P1 = P1,0 P1,1 ((I к ))
Р 2 = P0,1 P1,1 (I к ))
Причемn1,0 π1,0 (р 1 ) = P1,0 , n0,1 π0,1(p2 ) = P0,1 , n1,1 π1,1 (р 1 ) = P1,1 , n0,0 π0,0(p2 ) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P 2 . Пусть А = Р1 — Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I, В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1 =ВА и А-1 UА = АUА = А2 ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1 или АU = U-1 А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.
Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1 LL, Р2 LL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL, ВL = (2Р2 – I)LL, то есть А и В приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1 L = LL, Р2 L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3. Если eiφ (U), то e- iφ (U).
Доказательство.
1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f Н: ||f || = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφ Аf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e- iφ принадлежит спектру U.
2) Если eiφ (U), то существует последовательность единичных векторов в Н || fn || = 1 такая, что
||Ufn — eiφ fn || = || UАfn — eiφ Afn || = || U-1 Аfn — eiφ Afn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ (U-1 ), следовательно e- iφ (U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U + U-1 ) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А
А (U — U-1 ) = А (U2 – 2I + U-2 ) = (U2 – 2I + U-2 )А = (U — U-1 )2 А
Таким образом А (U + U-1 ) = (U-1 +U)А (2.2.)
А (U — U-1 ) = (U — U-1 )2 А (2.3.)
Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1 = c I
(U — U-1 )2 = d2 I
где c, d С. По теореме преобразования спектров eiφ + e- iφ = c, eiφ — e- iφ = ±d.
1) Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ =0 или φ =π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x }, х H.
2) Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек eiφ =и e- iφ =φ (0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e- iφ ), Нeiφ = {f H | Uf = eiφ f } одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφ f, U(Аf )= eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ = dimН-eiφ =1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e- iφ } φ (0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:
А = , U= , В =
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2L2 ((0, ), dρк ))) (2.4.)
где ρ 1 > ρ 2 >… ρ к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства
P1 = P1,0 P1,1 ((I к )) (2.5.)
Р 2 = P0,1 P1,1 (I к )) (2.6.)
Iк – единичный оператор в L2 ((0, ), dρк )
Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P 2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P 2 в некотором гильбертовом пространстве Н F. При этом Н F можно реализовать как L2 (F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.
Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Н ξ Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х) ξ, где х А. Ограничения операторов из π( А ) на Н ξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ> μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ ).
Если ηН ξ, то Н ηН ξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть ЕТ и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ> μη, а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Н ηк. Пусть {ζi } – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
1) ξк+1 – максимальный вектор в (Н ξi )┴,
2) d (ζк, Н ξi ) ≤ .
Тогда разложение Н = Н ξк такое что ξк >ξк+1 и μк >μк+1 .
Пусть представления πμ в L2 (Т, μ) и πν в L2 (Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2 (Т, μ) →L2 (Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а =v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ (g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a |2 dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С2L2 (Т,μк )), где μ1 >μ2 >… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 P1,1 ((I к ))
Р 2 = P0,1 P1,1 (I к ))
Iк – единичный оператор в L2 ((0, ), dρк ).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 С2Н (φ)dЕ(φ) (2.7.)
в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+ =E(0, ) в Н+ =С2Н (φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 P1,1 I+ (2.8.)
Р 2 = P0,1 P1,1 dЕ(φ) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2 (R, dρк ), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава III . Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх — λх = y, х, y Н, λ С. Тогда (1 — λ) Рх = Рy. Если λ ≠ 1, то Рх = Рy. Если х ≠ 1, то х = (Рy — y ), тогда (Р) = {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх ) = Рх, то есть 1 р (Р). Существует y ≠ 0: (I — Р)y ≠ 0, тогда Р(I — Р)y = 0 = 0 · (I — Р)y, то есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Ркк = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).
1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).
2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н Ах = х, то есть 1 (А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах = х .
4) Р1 = Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2 (А).
Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х Н0,0, тогда Ах = 0 и 0 (А).
2) х Н0,1 или х Н1,0, тогда Ах = х и 1 (А).
3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).
Если существуют i, j = 0,1 такие, что Н i, j ≠ {0}, то существуют k, l = 0,1 такие, что Н i, j Н k, l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.
Пусть теперь Н k, l = {0} для любых k, l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L, тогда Рkх = λкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:
(i) λ1 = 0, λ2 = 0;
(ii) λ1 = 0, λ2 = 1;
(iii) λ1 = 1, λ2 = 0;
(iv) λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что k, l = 0,1 такие, что Н k, l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = , Р2τ (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов a Р1 +b Р2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(a Р1 +b Р2 – λI) = 0.
(1.1.)
Тогда , (1.2)
Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ1 = 1+ε, λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ <1.
Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε, 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.
1.5. Спектр в n -мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К L, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl ;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1 =Н0,1 Н1,0, Н2 =Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Н φк φк (0, ), (к = 1,…, s ). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Н φк (к = 1,…, s ), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства
Н φк = Н 1+εкН 1-εк, причем dimН 1+εк =dimН 1-εк = 1 (1.3)
Если φк ≠ φ i, то εк ≠ εi (так как εк = =cosφк и φк (0, )). Объединим все Н φк, у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Н φк. При этом, если dimН φк = 2qk, то есть Н φк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Н φк = Н 1+εкН 1-εк, dimН 1+εк =dimН 1-εк = qk .
Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
(А ) {0, 1, 2}({1+ε, 1-ε}), 0<εк <1,
причем dimН 1+εк =dimН 1-εкк = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:
(А ) {0, 1, 2}({1+ε, 1-ε}), где 0<εк <1для любого к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН 1+εк =dimН 1-εк. Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2Нк )) (1.4.)
(1.4.) можно записать иначе
Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2 (Н 1+εкН 1-εк ))) (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом
P1 = P Н 2 ((I к )) (1.6.)
Р 2 = PН 1 PН 2 (I к )) (1.7.)
где PН к – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s =1,…, m. Но тогда
Р1 + Р2 = PН 1 PН 2 ( Iк )) = А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.
Оценим ε. Заметим, что (a +b )2 – 4a b (1-τ ) = (a — b )2 + 4a bτ > 0.
Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.
Допустим, что ε ≥ a, тогда
a ≤
≤ b – a
(b — a )2 +4ab τ ≤ (b – a )2
abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a
Итак,
λ1 = ε
λ2 = a + b – ε. (1.8.)
0 < ε < a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = a Р1 +b Р2, 0<a <b тогда и только тогда, когда
(А ) {0, a, b, a + b }({εк, a + b — εк }), 0<εк <1, и
dimН εк =dimН a+ b -εк (Н εк ,Н a+ b -εк — собственные подпространства оператора А, отвечающие εк ) к =1,…m .
Доказательство. Пусть А = a Р1 +b Р2, 0<a <b. Найдем (А).
1) х Н0,0, то Ах = 0 и 0 (А);
2) х Н0,1, то Ах = bx и b (А);
3) х Н1,0, то Ах = ax и a (А);
4) х Н1,1, то Ах = ( a+ b) x и a+ b (А).
Тогда (А) {0, a, b, a + b }({εк , a + b — εк }), где 0<εк <1, к =1,…m. Причем числа εк, a + b — εк входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimН εк =dimН a+ b -εк = qk. (с учетом кратности εк )
Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)
Н = Н(0) Н( a) Н( b) Н( a+ b) ((С2Нк )) (1.9.)
Где Н(0) =Н0,0, Н( a) =Н1,0, Н( b) =Н0,1, Н( a+ b) =Н1,1 или
Н = Н(0) Н( a) Н( b) Н( a+ b) ((Н εкН a+ b -εк ) (1.10.)
Положим
P1 = Pa Pa+b ((I к )) (1.11.)
Р 2 = Pb Pa+b (I к )) (1.12.)
Но тогда
a Р 1 +b Р 2 = a Pa b Pb (а +b) Pa+b (a (I к ))
(b I к )) = A .
Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b }({εк , a + b — εк }), (0<εк <1, к =1,…m ) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств
Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2 ((0, ), dρк ))) (2.1.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 +Р2. Н0 =Н0,0, Н1 =Н1,0 Н0,1, Н2 =Н1,1
Поставим в соответствие φ→ ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2 ((0,2), dρк )))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε, 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х .
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1 ΄ Р2 ΄ равенствами
Р1 ΄ = P1 P2 (( Iк ))
Р2 ΄ = P2 ( Iк ))
где Pi: Н → Н i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2 ((0,2), dρк )). Тогда А =Р1 ΄ + Р2 ΄- самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк ΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ). Рассмотрим теперь случай, когда А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ).
Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = a Р1 +b Р2, 0<a <b тогда и только тогда, когда (А) [0, a ] [b, a+ b ] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств
Н = Н0 Н a Н b Н a+ b ((С2L2 ([0, a ] [b, a+ b ], dρк )))) (2.2.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→ a+ b .
Доказательство. Пусть А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ). Пусть Н0 =Н0,0, На =Н0,1, Н b =Н1,0, Н a+ b =Н1,1. Так как (А) [0, a ] [b, a+ b ] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем
Н = Н0 Н a Н b Н a+ b ((С2L2 ([0, a ] [b, a+ b ], dρк ))))
где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+ b-х .
Обратно, пусть (А) [0, a ] [b, a+ b ] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом
P1 = Pa Pa+b ((I к ))
Р 2 = Pb Pa+b (I к ))
где Рα: Н→ Н α, α = a, b, a+ b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2 ([0,a ] [b, a+ b ]). Тогда
А = a Р 1 +b Р 2 = a Р 1 b Р 2 (a+b )Pa+b ((I к ))
( Iк ))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P 2 .
P 2 = С <p1, p2 | pк2 = pк * =pк >.
А именно: 4 одномерных π0,0 (p1 ) = 0, π0,0 (p2 ) = 0; π0,1 (p1 ) = 0, π0,1 (p2 ) = 1; π1,0 (p1 ) = 1, π1,0 (p2 ) = 0; π1,1 (p1 ) = 1, π1,1 (p2 ) = 1.
И двумерные: , τ (0, 1)
Изучен спектр операторов Р1 + Р2, a Р1 +b Р2 (0<a <b ), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.