Реферат: Правила дефферинцирования

Самостоятельная работа по дисциплине: «Математика»Лапшина Дмитрия Петровича студента I курса группы 10п

Новокуйбышевский государственныйгуманитарно-технологический колледж

2010

Основные правила дифференцирования

Обозначимf(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1)(u  v) = u  v

2)(uv) = uv + uv

3)/>, если v 0

Этиправила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производныеосновных элементарных функций:

1)С= 0; 9) />

2)(xm)= mxm-1; 10) />

3)/> 11) />

4)/> 12) />

5)/> 13) />

6)/> 14) />

7)/>15) />

8)/> 16) />

Логарифмическоедифференцирование

Дифференцированиемногих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этогопоступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), томожно:

Прологарифмироватьобе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).

Продифференцироватьобе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: />.

Выразитьy' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

y= xa – степенная функция с произвольным показателем.

/>.

Показательно-степеннаяфункция и ее дифференцирование

Показательно-степеннойфункцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическоедифференцирование применяется для нахождения производной отпоказательно-степенной функции.

Примеры

/>.

Таблицапроизводных

Объединимв одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенныеранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основныхэлементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

/>.

а)/>.

б)/>.

/>.

Примеры

/>. Найтиy'(–1).

Производнаяобратных функций

Пустьтребуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ейфункция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Длярешения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к.g(y)  0 />

т.е.производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример.Найти формулу для производной функции arctg.

Функцияarctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может бытьнайдена следующим образом:

Известно,что />

Поприведенной выше формуле получаем:

Т.к./> то можнозаписать окончательную формулу для производной арктангенса:

Понятиедифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной

Пустьфункция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции внекоторой точке х0  [a; b] определяется равенством

Следовательно,по свойству предела

Умножаявсе члены полученного равенства на Δx, получим:

Δy = f '(x0)·Δx + a·Δx.

Итак,бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может бытьпредставлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе –бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную частьприращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции вточке х0 и обозначают через dy.

Такимобразом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, топроизведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называютдифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·Δx (1)

Найдемдифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx.Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ееприращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

dy = f '(x)dx

Ноиз этого соотношения следует, что />. Следовательно, производную f'(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалунезависимой переменной.

Ранеемы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существованиедифференциала в этой точке.

Справедливои обратное утверждение.

Еслидля данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можнопредставить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малаявеличина, удовлетворяющая условию />, т.е. если для функции y=f(x)существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеетпроизводную в точке x и f '(x)=А.

Действительно,имеем />, итак как />приΔx→0, то />.

Такимобразом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциалаимеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры.Найти дифференциалы функций:

/>.

Геометрическийсмысл дифференциала

Рассмотримфункцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точкуM(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через αугол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадимнезависимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращениеΔy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будетсоответствовать точка

M1(x+Δx;y+Δy).

ИзΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, тоNT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтомуdy = NT.

Такимобразом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x иΔx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точкех.

Теоремаоб инвариантности дифференциала

Ранеемы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функцииy=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем,что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимойпеременной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложнойфункции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилудифференцирования сложной функции:

/>.

Следовательно,по определению

/>,

ноg'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мыдоказали следующую теорему.

Теорема.Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же видdy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимойпеременной.

Иначеговоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функциинезависимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойстводифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример./>. Найтиdy.

Учитываясвойство инвариантности дифференциала, находим

/>.

Применениедифференциала к приближенным вычислениям

Пустьнам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точкеx0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Какмы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммыΔy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциалана величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторымслагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенствомΔy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к.,по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Примеры:

y= x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е.Δy), когда x изменяется от 3 до 3, 01.

ИмеемΔy≈dy=f'(x)·Δx.

f'(x)=2x– 2, f'(3)=4, Δx=0, 01.

ПоэтомуΔy ≈ 4·0, 01 = 0, 04.

Вычислитьприближенно значение функции />в точке x = 17.

Пустьx0= 16.

ТогдаΔx = x – x0= 17 – 16 = 1,

/>,