Реферат: Метод Гаусса

Данный метод является самым общим, применимым для любых систем m линейных уравнений с n переменными (4.4).

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что при помощи элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида. Алгоритм метода состоит из двух частей, называемых прямым и обратным ходом.

Прямой ход – это последовательность действий по приведению системы уравнений к ступенчатому виду.

Шаг 1. Предположим, что коэффициент системы (4.4) отличен от нуля (если, поставим на первое место уравнение, в котором коэффициент при переменной не равен нулю). Затем, умножая первое уравнение последовательно на числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, му уравнению системы (4.4), исключим неизвестное из всех уравнений, начиная со второго. Система уравнений примет вид:

(4.9)

Шаг 2. Предположим, что коэффициент системы (4.9) отличен от нуля (если, переставим уравнения в системе так, чтобы коэффициент при переменной во втором уравнении не был равен нулю). Затем, умножая первое уравнение последовательно на числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко третьему, четвертому, му уравнению системы (4.9), исключим неизвестное из всех уравнений, начиная с третьего. Система уравнений примет вид:

(4.10)

Продолжим процесс последовательного исключения неизвестных далее. В результате преобразований могут получиться уравнения вида (4.3), которые можно вычеркнуть, после чего число уравнений в системе уменьшится. Возможно также, что в результате преобразований получится уравнение вида (4.2), которое является противоречивым. В этом случае система является несовместной. Если уравнение вида (4.2) не встретится, не более чем через шагов прямого хода система примет ступенчатый вид:

 

 

(4.11)

 

Для упрощения записи в системе (4.11) опущены индексы над коэффициентами. Число не превосходит число, т.к. в процессе преобразований возможно уменьшение числа уравнений из-за вычеркивания уравнений вида (4.3). Характерным для системы (4.11) является то, что диагональные коэффициенты, а коэффициенты,, расположенные ниже диагонали, равны нулю. Возможны два случая: и .

Если, то система (4.11) примет треугольный вид

(4.12)

Обратный ход – это процедура нахождения решения системы, когда неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего уравнения и до первого.

1. Случай. Поскольку, из последнего уравнения системы находим

Подставив полученное значение в предпоследнее уравнение системы (4.12), найдем значение неизвестного. Затем, подставляя найденные значения в вышестоящее уравнение, находим и т.д. Наконец из первого уравнения получим. Таким образом, в случае система имеет единственное решение.

2. Случай. Из последнего уравнения выразим неизвестное через неизвестные :

.

Подставив выражение в предпоследнее уравнение, найдем и остальные неизвестные (аналогично первому случаю). В результате неизвестные будут выражены через неизвестные, т.е. получим систему

(4.13)

которая называется общим решением исходной системы уравнений. Неизвестные называются базисными, а — свободными. Задавая значения свободных неизвестных, из общего решения можно получить соответствующее частное решение системы. Таким образом, в случае система имеет бесконечное множество решений.

Метод Гаусса удобно реализовать в матричной форме. Для этого все коэффициенты и свободные члены системы уравнений записывают в расширенную матрицу системы. Каждому элементарному преобразованию системы линейных уравнений соответствует преобразование ее расширенной матрицы.

Пример 4.3.Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы, для удобства отделим столбец свободных членов от матрицы системы вертикальной чертой. Подвергнем ее элементарным преобразованиям:

~ ~ ~ ~ .

Сначала мы поменяли местами первую и вторую строки, затем получили нули в первом столбце (для этого первую строку умножили последовательно на -2, -3, -2 и прибавили ко второй, третьей и четвертой строкам). Затем получили нули во втором столбце, для чего прибавили вторую строку к четвертой. Наконец, к четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на. Получили расширенную матрицу системы треугольного вида, следовательно, система имеет единственно решение, которое найдем обратным ходом метода.

Из последнего уравнения находим. Из предпоследнего уравнения выражаем, откуда находим. Затем выражаем, откуда находим, и, наконец, из первого уравнения получаем, или. Подстановкой можно убедиться в правильности найденного решения.

Пример 4.4.Решить систему уравнений

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Получим

~ ~ .

Уравнение 0 = -26 не имеет решений, следовательно, данная система несовместна.

Пример 4.5.Решить систему уравнений

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Получим

~ ~ ~ ~ .

Полагая неизвестную свободной, а неизвестные базисными, обратным ходом метода Гаусса находим общее решение системы уравнений:

Поскольку неизвестная может принимать любые значения, данная система имеет бесконечное множество решений. Например, найдем частное решение, соответствующее значению. Подставим в общее решение, получим,, .

еще рефераты
Еще работы по математике