Реферат: Численный расчет дифференциальных уравнений

Міністерство освіти України

ДАЛПУ

Кафедра автоматизації

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння

виду ап у(п) +ап-1 у(п-1) +…+а1 у1 +а0у=кх при заданих

початкових умовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконала студентка групи БА-4-97

Богданова Ольга Олександрівна

Холоденко Вероніка Миколаївна

Перевірила Заргун Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

начало

у / =f(x,y)

y(x0)=y0

x0 , x0+a

h, h/2

k:=0

xk+1/2 :=xk +h/2

yk+1/2 :=yk +f(xk, yk )h/2

αk :=f(xk+1/2, yk+1/2 )

xk+1 :=xk +h

yk+1 :=yk +αk h

нет k:=n

да

x0 , y0,

x1 , y1…

xn , yn

конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у/ =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1 …, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2 ,…, уn, что уi =F(xi )(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk -xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/ =f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x0, y(x0)=y0 (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2 ,…, хn, где xi =x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi )»yi вычисляются последовательно по формулам уi +hf(xi, yi ) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1 М2 … с вершинами Мi (xi, yi ) (i=0,1,2,…); каждое звено Мi Mi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi .

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|£a, |y-y0|£b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y1 )- f(x, y2 )| £ N|y1 -y2 | (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn )-yn | £ hM/2N[(1+hN)n -1], (3)

где у(хn )-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn — приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагомh/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn -y(xn )|»|yn* -yn |.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/ =f(x,y)

с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей.На малом участке [x0,x0+h]

у интегральную кривую заменим прямой

Nk/ y=y(x) линией. Получаем точку Мк (хк, ук ).

Мк Мк/

yk+1

хк хк1/2 xk+h= xk1 х

Через Мк проводим касательную: у=ук =f(xk ,yk )(x-xk ).

Делим отрезок (хк, хк1 ) пополам:

xNk/ =xk +h/2=xk+1/2

yNk/ =yk +f(xk ,yk )h/2=yk +yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2 )=f(xk+1/2, yk+1/2 )=αk

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

ук+1 =ук +αк h

xk+1 =xk +h

(4) αk =f(xk+h/2, yk +f(xk ,Yk )h/2)

yk =yk-1 +f(xk-1 ,yk-1 )h

(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2 =f(xk+1/2, yk+1/2 ) и определяют ук+1 .

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук* -у(хк )|=1/3(yk* -yk ),

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y// =f(y/ ,y,x) c начальными условиями y/ (x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:

y/ =z

z/ =f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия:y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y/ =2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальные условия: у0=1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x1 =0,2; х1/2 =0,1; y(x1 )=y(x0)+α0h; y(x1/2 )=y(x0)+f(x0,y0)h/2;

f(x0,y0)=2*0-1=-1

y(x1/2 )=1-1*0,1=0,9

α0=2*0,1-0,9=-0,7

y1 =1-0,1*0,2=0,86

2). y(x2 )=y(x1 )+α1 h; x2 =0,2+0,2=0,4; x1+1/2 =x1 +h/2=0,2+0,1=0,3

y(x1+1/2 )=y(x1 )+f(x1 ,y(x1 ))h/2

f(x1 ,y1 )=2*0,2-0,86=-0,46

y(x1+1/2 )=0,86-0,46*0,1=0,814

α1 =2*0,3-0,814=-0,214

y2 =0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3 =0,4+0,2=0,6; x2+1/2 =x2 +h/2=0,4+0,1=0,5

f(x2 ,y2 )=2*0,4-0,8172=-0,0172

y2+1/2 =0,8172-0,0172*0,1=0,81548

α2 =2*0,5-0,81548=0,18452

y3 =0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x4 =0,8; x3+1/2 =x3 +h/2=0,6+0,1=0,7

f(x3 ,y3 )=2*0,6-0,854104=0,345896

y3+1/2 =0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

α3 =2*0,7-0,89=0,5113064

y4 =0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5 =1; x4+1/2 =0,8+0,1=0,9

f(x4 ,y4 )=2*0,8-0,956=0,64363472

y4+1/2 =0,956+0,643*0,1=1,020728752;

α4 =2*0,9-1,02=0,779271248

y5 =0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка:

y// =2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/ =z

z/ =2x-y+z

Начальные условия: у0=1

z0=1

1).x1 =0,2; x1/2 =0,1

y(z1 )=y(z0)+α0h z(x1 ,y1 )=z(x0,y0)+β0h

y(z1/2 )=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2 ,y1/2 )=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2

f(z0,y0)=f10 =1 f(x0,y0,z0)=f20 =2*0-1+1=0

y1/2 =1+1*0,1=1,1 z1/2 =1+0*0,1=1

α0=z0=1 β0=2*0,1-1,1+1=0,1

y1 =1+0,2*1=1,2 z1 =1+0,2*0,1=1,02

2).x2 +0,4; x1+1/2 =0,3

f11 =z1 =1,02 f21 =2*0,2-1,2+1,02=0,22

y1+1/2 =1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2 =1,02+0,22*0,1=1,042

α1 =z1+1/2 =1,042 β1 =2*0,3-1,302+1,042=0,34

y2 =1,2+1,042*0,2=1,4084 z2 =1.02+0,34*0,2=1,088

3).x3 =0,6; x2+1/2 =0,5

f12 =z2 =1,088 f22 =2*0,4-1,4084+1,088=0,4796

y2+1/2 =1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2 =1,088+0,4796*0,1=1,13596

α2 =z2+1/2 =1,13596 β2 =2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876

y3 =1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3 =1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4 =0,8; x3+1/2 =0,7

f13 =z3 =1,211752 f23 =2*0,6-1,636+1,212=0,77616

y3+1/2 =1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2 =1,212+0,776*0,1=1,289368

α3 =z3+1/2 =1,289368 β3 =2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008

y4 =1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4 =1,212+0,93*0,2=1,39827216

5).x5 =1; y4+1/2 =0,9

f14 =z4 =1,39827216 f24 =2*0,8-1,893+1,398=1,10480656

y4+1/2 =1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2 =1,398+1,105*0,1=1,508752816

α4 =z4+1/2 =1,508752816 β4 =2*0,9-2,03+1,5=1,27546

y5 =1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5 =1,398+1,275*0,2=1,65336416

3. Чтобы решитьуравнение третьего порядка

y/// =2x-y-y/ +y//

на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями

y0// =1

y0/ =1

y0=1

необходимо сделать 3 замены: y/ =a y0/ =a0=1

y// =a/ =b y0// =b0=1

b/ =2x-y-a+b

1).x1 =0,2; x1/2 =0,1

y(a1 )=y(a0)+a0h y(a1/2 )=y(a0)+f10 h/2

a(b1 )=a(b0)+β0h a(b1/2 )=a(b0)+f20 h/2

b(x1 ,y1 ,a1 )=b(x0,y0,a0)+γ0h b(x1/2 ,y1/2 ,a1/2 )=b(x0,y0,a0)+f30 h/2

f10 =f(a0,y(a0))=1 y1/2 =1+1*0,1=1,1

f20 =f(b0,a(b0))=1 a1/2 =1+1*0,1=1,1

f30 =f(x0,y0,a0,b0)=-1 b1/2 =1-1*0,1=0,9

α0=a1/2 =1,1 y(a1 )=1+1,1*0,2=1,22

β0=b1/2 =0,9 a(b1 )=1+0,9*0,2=1,18

γ0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1 b(x1 ,y1 ,a1 )=1-1,1*0,2=0,78

2).x2 =0,4; x1+1/2 =x1 +h/2=0,3

f11 =a1 =1,18 y1+1/2 =1,22+1,18*0,1=1.338

f21 =b1 =0,78 a1+1/2 =1,18+0,78*0,1=1,258

f31 =2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22 b1+1/2 =-1,22*0,1+0,78=0,658

α1 =a1+1/2 =1,258 y2 =1,22+1,258*0,2=1,4716

β1 =b1+1/2 =0,658 a2 =1,18+0,658*0,2=1,3116

γ1 =2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b2 =0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x3 =0,6; x2+1/2 =0,5

f12 =a2 =1,3116 y2+1/2 =1,47+1,3*0,1=1,60276

f22 =b2 =0,5124 a2+1/2 =1,3116+0,5*0,1=1.36284

f32 =2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708 b2+1/2 =0,4-1,4*0,1=0,36542

α2 =1,36284 y3 =1,4716+1,3116*0,2=1,744168

β2 =0,36542 a3 =1,3116+0,3654*0,2=1,384664

γ2 =2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b3 = 0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x4 =0,8; x3+1/2 =0,7

f13 =1,384664 y3+1/2 =1,74+1,38*0,1=1,8826364

f23 =0,192364 a3+1/2 =1,38+0,19*0,1=1,4039204

f33 =2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488 b3+1/2 =0,19-1,7*0,1=0,0187152

α3 =1,4039204 y4 =1,74+1,4*0,2=2,0249477

β3 =0,0187152 a4 =1,38+0,9187*0,2=1,388403

γ3 =2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b4 =0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x4 =1; x4+1/2 =0,9

f14 =1,388403 y4+1/2 =2,02+1,388*0,1=2,16379478

f24 =-0,1812235 a4+1/2 =1,4-0.181*0,1=1,370306608

f34 =2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834 b4+1/2 =-0,18-1,99*0,1=-0,38066266

α4 =1,3703 y5 =2,02+1,37*0,2=2,2990038

β4 =-0,38066 a5 =1,388-0,38*0,2=1,3122669

γ4 =2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056 b5 =-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

Программа на Turbo Pascal

uses crt,pram,kurs1_1;

var

yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;

y,a,b:array[0..10,0..1] of real;

i,n,o:integer;

c,d,h,k:real;

label

lap1;

begin

screen1;

clrscr;

writeln('введите наивысший порядок производной не больше трех ');

readln(n);

if n=0 then begin

writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера ');

goto lap1;end;

writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');

for i:=0 to n do

readln(l[i]);

if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin

writeln('деление на ноль');

goto lap1;

end;

writeln('введите коэффициент при x');

readln(k);

writeln('введите отрезок ');

readln(c,d);

o:=5;

h:=abs(d-c)/o;

writeln('шаг=',h:1:1);

writeln('задайте начальные условия y(x)= ');

for i:=0 to n-1 do

readln(v[i]);

if n=3 then begin

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

by[0]:=v[2];

p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];

x[0]:=c;

gotoxy(32,1);

write('');

gotoxy(32,2);

write(' x y a b ');

gotoxy(32,3);

write('',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];

b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];

by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

write(' ');

end;

if n=2 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y a ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

write(' ');

end;

if n=1 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];

xy[i]:=x[i]+h/2;

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];

yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];

end;

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,o+4);

write(' ');

end;

lap1:readln;

pramo;

delay(10000);

clrscr;

end.

ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ

Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.

Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия: порядок производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х0). На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

1 – ввод данных, используемых в программе

2 – использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение

дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных

условий

3 – присвоение начальных условий для дифференциального уравнения

третьего порядка

4 – вывод таблицы со значениями

5 – ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка

6 – присвоение начальных условий для решения дифференциального

уравнения второго порядка

7 – вывод таблицы для уравнения второго порядка