Реферат: К решению теоремы Ферма
|
Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.
В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn = zn (1)
на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.
Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения:
(x — a)n + xn –(x+b)n = 0 (2)
Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .
Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.
Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:
(x–a)n + xn = 2xn — nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 — cn3 xn-3 a3… + an
(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn
D = xn — nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2 -b2 ) — cn3 xn-3 (a3 +b3 )..+(an+ bn ) =0
(3)
Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x – a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b, уравнение (3) преобразуем к виду:
xn — 2nxn-1 a — 2cn3 xn-3 a3 — 2cn5 xn-5 a5 — … (an + an )=0 (4)
ОбозначимчерезP(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +… ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:
xn — 2nxn-1 a — P(a,n) = 0
Разделив все члены уравнения на xn -1, получим выражение для искомого x
x=2 na + P ( a,n )/ xn -1 , гдеP(a,n)/xn-1 ³ (5)
При a = b = 1 выражение (5) примет вид:
x=2n+P( 1 ,n)/xn-1 (6)
Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P (1 , n )/ xn -1 .
Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyn + xn = zn
Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.
| n | x | y=x-1 | z=x+1 | xn | yn | xn + yn | zn | D % |
| 2 | 4 | 3 | 5 | 16 | 9 | 25 | 25 | - |
| 3 | 6,055 | 5,055 | 7,055 | 221 | 129 | 350 | 350 | - |
| 4 | 8,125 | 7,125 | 9,125 | 4350 | 2540 | 6890 | 6890 | - |
| 5 | 10,200 | 9,200 | 11,200 | 107000 | 66000 | 173000 | 175000 | 1,25 |
На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ xn -1 .
2. Если уравнение yn + xn = zn с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х, у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1, n )/хn-1; у=2n-1+ P(1, n )/хn-1; z=2n+1+ P(1, n )/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1, n )/хn-1 .
Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде
P(1,n)/ х n-1 = 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4 +2cn7 /x6… ( 1 + 1 ) / xn -1
В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияcnk, распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра ( n+1)/2. В знаменателе функция x 2, возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.Первый член разложения, из-за малости x 2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяxn -1 (для n=3 – 2/62; для n=15– порядка 2/3014; для n=25– 2/5024 и т.п.)
Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.
3. Известно, что уравнение второй степениy 2 + x 2 = z 2 решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х, у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x , y , z . Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x , y , z , в которых для уравнения ( x -2 a )3 +( x - a )3 + x 3 =( x + b )3, существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33 +43 +53 =63 .
Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.
4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х, у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.
Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b
сosC= (a2 + b2 -c2 )/2ab. Подставим вместо сторон а, b ис их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:
а → x; b → y=x-1; c → z=x+1, гдеx=2n+P(1 ,n )/xn-1
После выполнения операций преобразования получим:
cosCn = 0,5-1,5/ xn -1 (7)
По полученной формуле проведены расчеты| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | ∞ |
| x-1 | 3 | 5.054 | 7.125 | 9.200 | 19.0.. | ∞ |
| cosC | 0.202 | 0.289 | 0.337 | 0.421 | 0.5 | |
| Co | 90 | 78 | 73 | 70 | 65 | 60 |
Из которых следует :
— искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90о при n=2 до 60о при n→ ∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.
— В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.
— Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х, у) числовых отрезков уравнений y 2 + x 2 = z 2
5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.
6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать, что при n>2 число z является нецелым.
Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z 2 = x 2 + y 2 –2 xycosc . Требуется доказать, что Z является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2 xycosc , что в свою очередь делает нецелым Z 2 и извлеченный из него квадратный корень Z 0.
В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z 2 = x 2 + y 2 –2 xycosc всегда меньше соответствующего Z п 2 = x 2 + y 2 прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z 2 находится внутри числового отрезкаZ п 2 =x 2 + y 2 .
Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z 2 будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.
Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.
Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:
1 4 9 16 25 36 4964 81 100 121 144 169 196 и т.д.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.
Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z1 не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z1 /Dx2
Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z02 всегда меньше zп2 или соответствующего Dx2 в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z02 в числовой отрезок Dx2 и убедиться, что извлеченный корень из числа z02 является нецелым числом.
Рассмотрим доказательство на примере для n=5.
Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cosC=0,337 (см. Формулы 6 и 7).
z02 =102 +92 -2*10*9*0,337=120,34.
В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.
Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.
Проверка: 105 +95 =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z02 может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cosC по трем известным сторонам треугольника.
Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n. Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).
Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n. Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том, что извлеченный корень степени k из числаzk =xk +yk является нецелым числом.
P . S. Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97…, возведенное в степень n=5, превратится в целое число 159049? Напрашивается ответ: число 10.97… должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.
Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).
Принятие a =1 обусловлено получением максимальных , (*) при которых для всех a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а zn наиболее близок к 2 xn .
Принятие b =1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем:, откуда b £ x ( n Ö 2-1). Подставляя вместо х его близкое целое значение 2 n , получим формулуb £ 2 n ( n Ö 2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 450сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.
Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….
Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х, у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо ( x * a ) n +( y * a ) n =( z * a ) n .
В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P ( a , n )/ xn -1 является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a .
В иррациональности добавкиP (1, n )/ xn -1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.
Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и, учитывая, что нечетные функции xn и yn могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:
— вся плоскость (x,y) — для четных показателей степени n
— квадрант I — для положительных x и y
— квадрант III- для отрицательных x и y
— в квадрантах II и IVдля нечетных n будут иметь место разности типа xn — yn или yn — xn , рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.
ВЫВОДЫ
1. Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.
2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yn + xn = zn. При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.
3. Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.
Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ иВС,
Москва 2001 – 2004 год
Т. 396 –90-24
e –meil:hrendy@rumbler.ru