Реферат: Структура сходящихся последовательностей
Последовательность, у которой существует предел,называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называетсярасходящейся.
Определение: Последовательность {xn}называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называетсяпределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечномалая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейсяпоследовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся,если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn этой последовательностиудовлетворяют неравенству:
|xn-a|<e.
При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихсяпоследовательностей:
ТЕОРЕМА:Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности{xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xnсходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+an, xn=b+bn, где an и bn –элементы бесконечно малых последовательностей {an} и {bn}.
Вычитая данные соотношения, найдем an-bn=b-a. Таккак все элементы бесконечно малой последовательности {an-bn} имеютодно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементыбесконечно малой последовательности {an} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е.b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА:Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} — сходящаяся последовательностьи а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+an,
где an — элементбесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малаяпоследовательность {an}ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), тонайдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |an|£А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченностьпоследовательности {xn}. Теорема доказана.
Ограниченная последовательность может и не бытьсходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … — ограничена, но неявляется сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторомучислу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a}являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малыхпоследовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a)– (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечномалой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любогономера n.
ТЕОРЕМА:Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} естьсходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределовпоследовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределыпоследовательностей {хn} и {yn}. Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) –бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn)- (а + b) =an+bn.
Таким образом, последовательность {(хn + yn)- (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn}сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА:Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} естьсходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей{хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственнопределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) –бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn — yn)- (а — b) =an-bn.
Таким образом, последовательность {(хn — yn)- (а — b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn — yn}сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА:Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn}есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределовпоследовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределыпоследовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+an, yn=b+bn и xn×yn=a×b+a×bn+b×an+an×bn. Следовательно,
xn×yn-а×b=a×bn+b×an+an×bn.
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечномалую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn+b×an+an×bn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn×yn-а×b}тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn×yn} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.
ЛЕММА:Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноляпредел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность />, которая являетсяограниченной.
Доказательство: Пусть />. Так какb¹0, то e>0. Пусть N –номер, соответствующий этому e, начиная с котороговыполняется неравенство:
|yn-b|<e или |yn-b|</>
из этого неравенства следует, что при n³Nвыполняется неравенство |yn|>/>.Поэтому при n³N имеем />.Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматриватьпоследовательность />, и этапоследовательность ограничена. Лемма доказана.
ТЕОРЕМА:Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаясяпоследовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей{xn} и {yn}.
Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная снекоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны отноля и последовательность /> ограничена.Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность />. Пусть а и b – пределыпоследовательностей {xn} и {yn}. Докажем, чтопоследовательность /> бесконечно малая.В самом деле, так как xn=а+an, yn=b+bn, то
/>/>.
Так как последовательность /> ограничена,а последовательность /> бесконечно мала,то последовательность /> бесконечномалая. Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметическиеоперации над сходящимися последовательностями приводят к таким жеарифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА:Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная снекоторого номера, удовлетворяют неравентству xn³b (xn£b),то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).
Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мереначиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – пределпоследовательности {xn}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство
|xn-a|<b-a.
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)<xn-a<b-a
Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b,а это противоречит условию теоремы. Случай xn£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Элементы сходящейся последовательности {xn}могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этомпредел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0,однако />.
Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихсяпоследовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторогономера, удовлетворяют неравенству xn £уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству
/>.
Элементы последовательности {yn-xn}неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел />.Отсюда следует, что
/>.
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.
Это выполняется, так как а£xn£b,то a£c£b.
ТЕОРЕМА:Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющиеобщий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементыпоследовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn£yn£zn.Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.
Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} являетсябесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняютсянеравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будутвыполнятся также неравенства xn-а £yn-а £ zn-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn-a}удовлетворяют неравенству
|yn-a| £ max {|xn-a|, |zn-a|}.
Так как /> и />, то для любого e>0 можно указать номера N1 и N2такие, что при n³N1 |xn-a|<e, а при n³N2 |zn-a|<e. Итак последовательность {yn-a} бесконечномалая. Теорема доказана.
Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяютэлементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующиенеравенства для пределов этих последовательностей.
ПРИМЕРЫ
1. Последовательность /> сходится и имеет своимпределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, посвойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число ne, что ne>/>. Поэтому /> для всех n³ne, а этоозначает, что />.
2. Последовательность /> сходится и />, что следует из того, что
/>,и того, что />.
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА№ 1
Пусть числовая последовательность а1,а2, а3, … удовлетворяет условию
/> (m, n = 1, 2, 3, …),
тогда последовательность
/>,…
должна либо расходиться к />, причем предел этойпоследовательности будет равен ее нижней грани.
РЕШЕНИЕ:
Видим частный случай теоремы у M. Fekete.Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и />a+e. Всякое целое числоn может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.Полагая единообразие а0=0, имеем:
an=aqm+r£am+am+…+am+ar=qam+ar,
/>,
/>
ЗАДАЧА№ 2
Пусть числовая последовательность а1,а2, а3, … удовлетворяет условию
/>
тогда существует конечный предел
/>,
причем
/> (n = 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:
Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1получаем:
/> (*)
Ряд
/>
сходится, ибо в силу неравенства (*) онмажорируется сходящимся рядом:
|a1|+2-1+2-2+2-3+…
запишем целое число n по двоичной системе:
n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em (e1, e2, …, em = 0 или 1)
согласно предположению
/>
/>.
Применяя теорему (1) для данных:
s0=0, s1=/>, sm-1=/>, sm=/>, …, pn0=0, pn1=/>, …, pn, m-1=/>,
/>, pn,m+1=0, …,
заключаем, что />.Наконец, в силу (*) имеем:
/>.
ЗАДАЧА № 3
Если общий член ряда,не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится кнулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним иверхним пределами lim inf и lim sup.
РЕШЕНИЕ:
Нам достаточнорассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn,… ограничены. Пусть />, />, l - целое положительноечисло, l>2 и />.
Разобьем числовуюпрямую на l интервалов точками
-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.
Выберем такое N,чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<d. Пусть, далее, sn1(n1>N) лежит в первом интервале и sn2 (n2>n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности /> не смогут “перепрыгнуть” ниодин из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когдапоследовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».
ЗАДАЧА № 4
Пусть дляпоследовательности t1, t2, …, tn, …существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел />…, что для каждого n
/>.
Тогда числа t1, t2, …, tn, …лежат всюдуплотно между их нижним и верхним пределами.
РЕШЕНИЕ:
Существуют в скольугодно большом удалении конечные последовательности />,произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к еенижнему пределу.
ЗАДАЧА № 5
Пусть v1,v2, …, vn, … — положительные числа, v1 £ v2 £ v3 …Совокупность предельных точек последовательности
/>, …
заполняет замкнутыйинтервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится кпределу).
РЕШЕНИЕ:
/>
ЗАДАЧА № 6
Числоваяпоследовательность, стремящаяся к />, имеетнаименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое бы число мы низадали, слева от него будет находиться лишь конечное число членовпоследовательности, а среди конечного множества чисел существует одно илинесколько наименьших.
ЗАДАЧА № 7
Сходящаясяпоследовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот идругой.
РЕШЕНИЕ:
При совпадении верхней и нижней гранейрассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому ониразличны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от пределапоследовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему,члену последовательности.
ЗАДАЧА № 8
Пусть l1,l2, l3, …, lm, … — последовательностьположительных чисел и />, тогда существуетбесконечно много номеров n, для которых ln меньше всехпредшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3,…, ln-1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть задано целоеположительное число m и h – наименьшее изчисел l1, l2, l3, …, lm; h>0. Согласнопредположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньшечем h. Пусть n –наименьший номер, для которого ln<h. Тогда:
n>m; ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.
ЗАДАЧА № 9
Пусть l1,l2, l3, …, lm, … — последовательностьположительных чисел и />, тогда существуетбесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующиеза ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…
ЗАДАЧА№ 10
Пусть числовые последовательности
l1, l2,l3, …, lm, … (lm>0),
s1, s2, s3, …, sm, … (s1>0, sm+1>sm,m=1, 2, 3, …)
обладают тем свойством, что
/>, />.
Тогда существуетбесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства
ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3,…
lnsn>ln-1sn-1,lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,
РЕШЕНИЕ:
Будем называть lm «выступающим»членом последовательности, если lm больше всех последующих членов.Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно многовыступающих членов; пусть это будут:
/>,… />
Каждый невыступающий член lvзаключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающимичленами, скажем nr-1<v<nr. Имеем последовательно:
/>,
значит
/> (*)
отсюда заключаем, что
/>
Действительно, впротивном случае />, значит, в силу(*) и вся последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены,что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число mи h – наименьшее изчисел />,…; h>0. Согласнопредположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньшечем h. Пусть k –наименьший номер, для которого /><h. Тогда:
k>m; />.
ЗАДАЧА № 11
Если числоваяпоследовательность />,… стремится к /> и А превышает ее наименьшийчлен, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений
/>
все не больше А, а бесконечное множество отношений
/>,…
все не меньше А.
РЕШЕНИЕ:
Имеем />. Пусть минимумпоследовательности
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …
Будет Ln-nA;тогда
Ln-u-(n-u)A³ Ln-nA; Ln+v-(n+v)A³ Ln-nA,
u=1, 2, …, n; v=1, 2,3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.
ЗАДАЧА № 12
Пусть относительночисловой последовательности l1, l2, l3, …, lm,… предполагается лишь, что
/>.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременновыполняются все неравенства
/>
/>.
Если А®¥, то также n®¥.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,2, 3, …; L0=0.
Так как L1-A<0,то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1³A; поэтому ln+1,а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.
ЗАДАЧА № 13
Пусть числоваяпоследовательность l1, l2, l3, …, lm,… удовлетворяет условиям
/>, />
Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременновыполняются все неравенства
/>
/>.
Если А®0, то также n®0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,2, 3, …; L0=0.
Тогда />. Последовательность
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …
стремится к -¥. Пусть ее наибольшийчлен будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будутвыполняться для этого номера n.
В последовательностиL0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно многочленов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них.Тогда числа:
/>
все положительны:коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше илиравен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечнымвыпуклым сверху полигоном.