Реферат: Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

Фрунзенский район

Технологическая гимназия №13 г. Минска

Авторы:

Кравченко Арсений Борисович

ученик 9”Д” класса

ул. Горецкого 69-263

д.т. 215-84-33

Ермолицкий Алексей Александрович

ученик 9”Д” класса

ул. Сухаревская 7-46

д.т. 215-62-23

Тема:

Составление и решение нестандартных уравненийграфоаналитическим методом

Секция: математика

Научный руководитель:

Кайданова Татьяна Юрьевна

учитель высшей категории

Минск 2003

 

 

Содержание

Теоретическаячасть научной работы………..……………………3

 

Цель и задача научной работы……………………………………...4

 

Примерырешения нестандартных уравнений…………………...6

 

Трехуровневыйтест на решение нестандартных уравнений…20

 

Ответына тест……………………………………………………….21

 

Списоклитературы…………………………………………………22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составление уравнения данной задачи есть основнойприем, посредством которого математика применяется к естествознанию и технике.Без уравнения нет математики как средства познания природы.

П.С. Александров

Теоретическая часть

 

Пусть X и Y — два произвольных численных множества.Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно ибудем называть переменными.

Определение.  Числовой функцией, определенной намножестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х измножества Х сопоставляет одно и только одно значение у измножества Y.

Переменную х называют независимой переменнойили аргументом, а переменную у – зависимой переменной.Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х.Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частнымслучаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или болеепроизвольных множеств.

Пусть Х и Y–два произвольных множества.

Определение.  Функцией, определенной на множестве Хи принимающей значения во множестве Y,называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х одини только один элемент из множества Y.

 Задать функцию – это значит указать область ее определенияи соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимойпеременной находятся соответствующие ему значения функции.

Графический способ. пусть на координатной плоскостиизображена некоторая линия АВ, пересекаемая любой прямой,перпендикулярной к оси абсцисс, не более чем в одной точке. Каждому значениюабсциссы х поставим в соответствие значение ординаты у точки Кэтой линии. Следовательно, с помощью линии АВ определена функция y= f(x),где х и у – координаты точки К линии АВ.

Часто самопишущие приборы на экране осциллографа,дисплея вычерчивают кривые, которые изображают графически функциональнуюзависимость. Например, в медицине электрокардиограф вычерчиваетэлектрокардиограмму – кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцыво времени.

Графическое задание удобно тем, что по графику функцииможно установить общее впечатление о том, как протекает моделируемый процесс.

Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат хОуи рассмотрим функцию y= f(x),определенную на некотором числовом множестве Х. Придавая хпоследовательно значения х1, х2, …, хnиз множества Х, получим соответствующие значения у1,у2, …, уn. Отметим наплоскости точки с координатами (х1; у1), (х2;у2), …, (xn; yn).

Множество таких точек называют графиком даннойфункции.

Определение.  Графиком функции y= f(x) называется множествовсех точек {(x, f(x)| x/>D(f)}координатной плоскости.

На практике для построения графика некоторых функцийсоставляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затемнаносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательносоединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точнопоказывают ход изменения функции.

Заметим, что так как функция fсопоставляеткаждому x/> D(f)одно число f(x), тографик функции fпересекается любой прямой, параллельной оси ординат,не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точекплоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более однойобщей точки, является графиком некоторой функции.

Не всякое множество точек координатной плоскостиявляется графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности неможет быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности,соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой хможно записать в виде:

f (x) = g (x)

где f(x)и g(x) – некоторые функции.Функция f(x) называется левойчастью, а g(x) – правой частьюуравнения.

Определение. Корнем (решением) уравнения f(x) = g(x)называется такое число, при подстановке которого в обе части уравнения вместо хполучается верное числовое равенство.

Решить данное уравнение– значит найти множество всех его корней (решений).Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.

На практике довольно часто оказывается полезным графическийметод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения f(x)= 0строят график функции y= f(x)инаходят абсциссы точек пересечения графика с осью х; эти абсциссы иявляются корнями уравнения.

С графическим методом решения уравнения f(x)= g(x)связан функциональный метод решения уравнения,основанный на том, что если одна из функций f(x)илиg(x)возрастает, а другая убывает, то уравнение  f(x)= g(x)либо не имеет корней, либо имеет единственный корень.

Стандартный способ решения уравнений и неравенств вотдельных случаях приводит к сложным и утомительным преобразованиям. Процессможет быть тогда упрощен и, если применять так называемый графоаналитическийметод.

  ЦЕЛЬ: научиться составлять и решать нестандартные уравнения, которыесодержат элементарные функции, проходимые по школьной программе, сиспользованием преобразования графиков на плоскости. ЗАДАЧА: углубить свои знания в области математики 

x2-6x+6=2{x}

/>

 

Ответ:

x1=4-2Ö2

x2=4-Ö10

Ö2x=[x]+3

/>

Ответ:

/>

 

3{x}=|0.5x+0.5|

/>

Ответ:

x1=1/6

x2=1 1/3

x3=2.5

x4=3 2/3

x5=4 5/6

 

(Öx)2=[x]

/>

 

xÎ[0;+¥)ÇZ=>

Ответ:

{0;N}

|x2-6x+6|=-|(x-3)3|+3

 

/>

Ответ:

x1=2

x2=3

х3=4

 

|x/2+x|=2x+Öx

 

/>

 

Ответ:

x=1

√(5-x)√(5+x)=-x+5

/>

Ответ:

x1=0

x2=5

 

  |x2+6|x|+2|-3=5x2

 

/>
Ответ:

/>

x2-4x+5=√|x-2|+1

 

/>
Ответ:

x1=1

x2=2

x3=3

-√(4-x2)=|x|-2

 

/>

Ответ:

x1=-2

x2=0

x3=2

|(Öх-1)|²+2=x³+a/> <td/> />
при а=1 х=1

при а=3 х=0

при а>3 Æ

при а<3 один корень

Öх³=Ö|х|+а

/>

Ответ:при а=0, х=0 х=1при а>0 один кореньпри а<0 Æ3-|х-3|=3а-х

/>

при а=2 хÎ[3;+¥)при а<2 один кореньпри а>2 Æ/>
|(4/х)+3|=аОтвет:при а=0 один кореньпри а=1 х=-2 х=-1при а=3 один кореньпри а>3 два корняпри аÎ(0;3) два корня

при а<0 Æy2=Ö-x+1

-x+|y|=1

/>

Ответ:

(0;1)

 

1-x2=y

|x|+|y|=5

 

/>

Ответ:

(-2;-3)

(2;-3)

|x+1|=1-y

-2y=x2y+2xy-y2

/>

Ответ:

(-2;2)

(-1;1)

(0;2)

TECT

Iypoвень

1.Корень уравнения х2+4х=√х3 равен:

А) –2     Б) –1     В)0      Г) 1     Д) 2

 

2.Сумма корней уравнения x2-x-3=3равна:

А) 4     Б) 2     В) –4     Г) 0     Д) –2

 

3.Произведение корней уравнения –0.5х2+3=х2-3

А) 2     Б) 1     В)6      Г) -2     Д) –4

 

4.Корни уравнения 2√x=2xпринадлежат промежутку:

А) [0;1]     Б) [–1;1]     В)(0;1]      Г) [1;3)    Д) (2;5)

 

5.Система уравнений  х2+у2=2химеет:

                                           Öy=|x|

А)0 решений Б)1 решение В)2решения Г)3 решения Д)4 решения

 

6.Система уравнений y2-|x|=0 не имеет решения:

                                           |y+1|=|x+1|

А)(-4;-2)        Б)(-1;-1)    В)(0;0)      Г)(4;-2)     Д)(1;-1)

IIypoвень

1.Больший корень уравнения 2/х+1=х³+2 равен:

А) -3     Б) 4     В) 2      Г) 1     Д) –1

 

2.Сумма квадратов корнейуравнения|х²-3|=|х³|+1 равна:

А) 4     Б) 8     В) 2      Г) 3    Д) 10

 

3.Сумма корней уравнения –0.25х²+1=|х²-6|х|+8|равна:

А) 0     Б) –1     В) 5      Г) 16     Д) -5

 

4.Разность большего и меньшего корней уравнения

|√|х-2|+1|=2 равна:

А) 8     Б) 1.5     В) 4      Г) 0     Д) 2

 

5.Уравнение -|х-1|³+2=а+1имеет один корень при а, равном:

А) 2     Б) 0     В)5      Г) 1     Д) –3

IIIypoвень

1. Произведение корней уравнения |x-2|-1=[x]равно:

А) -12    Б) 12     В) -6      Г) -9     Д) 8

 

2. Корни уравнения 4{x}=2принадлежат множеству:

А) Z     Б) N+0.2  В) Z+0.5      Г) R     Д) D

 

3. Сумма модулей корней уравнения-(√(5-x)√(5+x))+2=-1

равна:

А) 4     Б) 8     В)7      Г) 5     Д) 9

 

4. Корни уравнения x4=|(-|x|+1)2-1|принадлежат множеству:

А)(-1;1)     Б) [-1;1]     В){4;11}     Г){-1;0;1}     Д) (0;2]

 

 5.Значение а, при котором уравнение 2/Öх=|а-|х||имеет трикорня, относится к промежутку:

А) (3;+¥)     Б) [–1;12]     В)(-¥;1)      Г) [1;3)     Д) (-¥;+¥)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТЫ:

 

☻☻☻☻☻☻☻

☻☻☻☻☻☻☻

№1 №2 №3 №4 №5 1-й уровень В Б Д А В 2-й уровень Г В А Д Г 3-й уровень А В Б Б А   Список литературы.1. А. И. Азаров «Экзамен по математике» Минск «Полымя»2001г.2. К. О. Ананченко «Алгебра 9» Минск «Народная асвета»1999г.3. А. Г. Мерзляк «Алгебраический тренажёр» «Илекса»Москва  1998г.4. А. И. Кушнир «Математическая энциклопедия» «Астарта»Киев 1995г.5. М. И. Сканави «Сборник задач для поступающих в ВУЗы»Москва «Высшая школа» 1988г.  6. С. В. Кравцев «Методы решения задач по алгебре» Москва«Оникс» 2001г.7. В. В. Амелькин «Задачи с параметрами» Минск «Асар»1996г.8. А. В. Самусенко «Математика. Тесты. Задачи. Решения.»Минск «Вышэйшая школа» 2002г.9. П. И. Горштейн «Задачи с параметрами» Москва «Илекса»1999г.10. А. И. Азаров «Системы алгебраических уравнений» Минск«Тетра системс» 1998г. 11. М. К. Потапов «Уравнения и неравенства. Нестандартныеметоды решения» Москва «Дрофа» 2002г.12. В. П. Супрун «Нестандартные методы решения задач поматематике» Минск «Полымя» 2000г.