Реферат: Решение задач на построение сечений многогранников

<h2/>/>/>/>/>/>/>/><td/>/>/>/>/>/>/>/>/>Содержание:Из истории начертательной геометрии 3 Виды проецирования 5 Пересечение многогранников плоскостью (описание метода) 12 Примеры задач 14 Список используемой литературы
Из истории начертательной геометрии.

Еще в глубокой древности человекчертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обиходаизображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворениясвоих потребностей, в том числе эстетических. При этом основное требование ктаким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильноезрительное представление о форме изображаемого предмета.

Римский архитектор Витрувий еще в 1 в. до н.э. применял три проекции – план, фасад и профиль. Витрувий рассказывает в своемтруде «Десять книг об архитектуре», что еще в V в. дон. э. Агафарх, Демокрит и Анаксагор пользовались элементами перспективы присоздании декорации для театра, когда исполнялись «Прикованный Прометей» идругие трагедии великого древнегреческого драматурга Эсхила (525-456 гг. до н.э.).

С ростом практических и технических примененийизображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений ит. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можнобыло судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельныхэлементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многимпамятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрическиеобоснованные правила и методы изображения пространственных фигур (с соблюдениемперспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы искульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль,Микеланджело, Тициан и др.

Об изображениях, выполненных методами,близкими к аксонометрии, свидетельствуют русские фрески и иконописная живопись XIV-XVI вв. Отсутствием перспективыхарактеризуются многие русские миниатюры с технической тематикой.

Основы математической теории перспективы быливпервые разработаны Ж. Дезаргом в 1630 г. В русских чертежах XVIIIв. применяются, кроме перспективных и аксонометрических, также ортогональныепроекции. Последние, в частности, использовались выдающимися русскимиизобретателями И. И. Ползуновым и И. П. Кулибиным.

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности,военного дела и живописи привели к формированию специальной математическойветви – начертательной геометрии, завершенной французским математиком Г.Монжем. Труд последнего «Начертательная геометрия», возникший из решений рядавопросов фортификации и опубликованный в 1798 г., лег в основу проекционногочерчения, которое широко используется в современной технике и науке. В своейкниге Монж разработал метод ортогонального проектирования пространственныхфигур на две взаимно перпендикулярные плоскости («метод Монжа»), получаядвойное изображение оригинала – на горизонтальной и на вертикальной плоскостях.Это дает возможность решить и обратную задачу: восстановление пространственнойфигуры или изучение ее геометрических свойств по заданным (горизонтальному ивертикальному) изображениям, а также решение различных задач, касающихсяпространственных фигур, с помощью их плоских изображений.

Недостатком метода Монжа является малаянаглядность. Поэтому во многих вопросах, в частности в школе, наиболее употребительнымявляется более наглядный, аксонометрический метод, основанный на параллельнойпроекции.

Наиболее наглядное изображениепространственных фигур на плоскости дает центральная проекция – перспектива,требующая, однако, дополнительных условий для решения обратной задачи, окоторой говорилось выше. Существуют и другие способы изображенияпространственных фигур (проекции с числовыми отметками, федоровские проекции ит. д.).

Первая оригинальная русская книга поначертательной геометрии была опубликована в 1821 г. Я. А. Севастьяновым.Разные прикладные вопросы начертательной геометрии разрабатывались академикомИ. И. Сомосовым и профессором В. И. Курдюмовым. Значительный научный вклад вразвитие начертательной геометрии внес крупный русский кристаллограф и геометрЕ.С. Федоров (1853-1919). Своими трудами он способствовал не только развитиютеории групп, но и заложению основ многомерной начертательной геометрии. Совторой половины прошлого столетия на развитие начертательной геометрии сталаоказывать значительное влияние проективная геометрия. Понятия проективнойгеометрии для построения начертательной широко использовали А. К. Власов, Н. А.Рынин и другие советские математики.

(«История математикив школе» Г.И.Глейзер)

Виды проецирования

Методом начертательной геометрии являетсяграфический метод, основанный на операции проецирования — бинарнаяконструктивная модель пространства, пространственных форм и отношений, т.е.метод плоскостных (бинарных, двумерных) моделей пространств.

Нам необходимо строить плоскостные моделипространств и по ним уметь решать разнообразные пространственные задачи. Еслитрёхмерные пространственные формы сформированы на двухмерной плоскости — эточертёж. Чертёж — это определённая совокупность точек и линий на плоскости.Начертательная геометрия занимается построением чертежей пространственных форми отношений. Какие же двухмерные чертежи могут быть моделями, которые быотображали свойства пространства, пространственные формы и отношения?

Тут возникает два вопроса:

Как образовать, как получить такие модели? (Как строить такие чертежи, чтобы они были отображением пространства) Что изображать на этой модели (чертеже), чтобы эта модель могла отражать пространственные формы и отношения?

Отвечая на первыйвопрос, можно сказать, что каждый чертёж построен по методу проекций.Существует два вида проецирования: центральное и параллельное.

Центральноепроецирование.

Центральноепроецирование — наиболее общий случай получения проекций геометрических фигур.Сущность его состоит в следующем:

Рис.1

Пусть даны плоскость />(тэта) и точка S />/>(рис.1). Возьмём в пространстве произвольную точку A, причём A />S />A />S. Нам нужно построить центральную проекцию точки А. Для этого через заданные точки S и A проведём луч [SA). Центральной проекцией точки А будет точка пересечения луча [SA) с плоскостью />.

[SA) />/>= A/>

Плоскость />называютплоскостью проекций, точку S — центром проекции, полученную точку A/> — центральнойпроекцией точки А на плоскость />, [SA/>) — проецирующим лучом.

Аппаратцентрального проецирования задан, если задано положение плоскости проекций />и центра проекцийS. Если аппарат проецирования задан, то всегда можно определить положениецентральной проекции любой точки пространства на плоскости проекций.

Например: Данаточка B. Проведём проецирующий луч [SB) и определим точку встречи его сплоскостью />.Это и есть центральная проекция B/>точки B при заданном аппаратепроецирования (/>,S).

Если точка Срасположена так, что проецирующий луч [SС) />/>, то он пересечёт плоскостьпроекций в несобственной точке С/>.

При заданномаппарате проецирования (/>,S) каждая точка пространства будетиметь одну и только одну центральную проекцию (т.к. через две различные точкиможно провести одну и только одну прямую). Обратное утверждение не имеетсмысла, так как точка A/>может быть центральной проекциейлюбой точки, принадлежащей прямой (A/>S) (Например центральные проекцииточек A и D совпадают).

Отсюда следует,что одна центральная проекция точки не определяет положение точки впространстве.

Рис.2

Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две центральные проекции точки, полученные из двух различных центров проецирования (рис.2).

Достоинствоцентрального проецирования — наглядность. Недостаток — степень искаженияизображения зависит от расстояния центра проекций до плоскости проекций,поэтому центральное проецирование неудобно для простановки размеров.

Вмашиностроительном черчении применяется параллельное проецирование.

Параллельное проецирование.

Параллельноепроецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центрпроекций лежит в несобственной точке S/>, поэтому все проецирующие лучипараллельны.

Рис.3

Аппарат параллельного проецирования задан, если задано положение плоскости проекций />и направление проецирования S.

Все свойствацентрального проецирования справедливы для параллельного проецирования:

При задании аппарата параллельного проецирования каждая точка пространства имеет одну и только одну параллельную проекцию. Обратное утверждение не имеет места. Для задания точки в пространстве необходимо иметь две её параллельные проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.

Параллельноепроецирование делится на:

Прямоугольное — />=90° (/> — угол падения проецирующего луча к плоскости проекций). Косоугольное — />/>90°.

Основныеинвариантные (независимые) свойства параллельного проецирования.

При параллельномпроецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур(происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушениязависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемойгеометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.

Рис.4

Пример:
/>(A,B,C,D) />/>
|AB|/>|A/>B/>|, |BC|/>|B/>C/>| и т.д.
/>|DAB|/>/>|D/>A/>B/>|, />|ABC|/>/>|A/>B/>C/>| и т.д.

Но наряду с этим,между оригиналом и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся втом, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Этисвойства называются инвариантными (проективными) для данного способапроецирования.

В процессепараллельного проецирования (получения проекций геометрической фигуры по еёоригиналу) или реконструкции чертежа (воспроизведения оригинала по заданным егопроекциям) любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантныхсвойствах параллельного проецирования, которые в начертательной геометриииграют такую же роль, как аксиомы в геометрии.

Следовательно,можно утверждать, что в начертательной геометрии существуют две системы аксиом:

одна система используется при параллельном проецировании — это суть инвариантные свойства параллельного проецирования. другая система используется, когда проекции построены и решается плоская задача (задача на плоскости) — это аксиомы евклидовой геометрии.

Отсюда ясно,насколько важно выяснить и хорошо усвоить эти инвариантные свойства.

1. Проекция точкиесть точка.

2. Проекция прямойлинии на плоскость есть прямая линия.

(Для всех прямых,не параллельных направлению проецирования, проекция прямой есть прямая.)

3. Если впространстве точка инцидентна (принадлежит) линии, то проекция этой точкипринадлежит проекции линии.

Следствие: Еслипрямые пересекаются в точке K, то проекции прямых пересекаются в проекции точки- K/>.

4. Проекциивзаимно параллельных прямых также взаимно параллельны.

5. Отношениеотрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков.

6. Если плоскаяфигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется вконгруэнтную фигуру.

При параллельномпереносе плоскости проекций величина проекций не изменится, следовательно, мыможем не рисовать положение плоскости проекций.

Для построенияобратимого чертежа необходимо иметь две взаимосвязанные проекции оригинала.

Поэтому толькопрямоугольное (ортогональное) проецирование, по крайней мере, на две взаимноперпендикулярных плоскости проекций является основным методом построениятехнического чертежа (метод Монжа).

Ортогональное(прямоугольное) проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным ипараллельным (косоугольным) проецированием.

К ним в первуюочередь следует отнести:

простоту геометрических построений для определения ортогональных проекций точек возможность при определённых условиях сохранять на проекциях форму и размеры оригинала.

Поэтому этот методудобен для простановки размеров.

(http://www.ssau.ru/books/gubanov/lection1.htm)

Пересечениемногогранников плоскостью.

Многогранником называется пространственная фигура,ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющихформу многоугольников.

Стороны многоугольников образуют рёбра, а плоскостимногоугольников — грани многогранника.

Поэтому задачу по определению линии пересеченияповерхности многогранника плоскостью можно свести к многократному решениюзадачи по нахождению:

а) линии пересечения двух плоскостей (граней многогранникаи секущей плоскости)
или
б) точки встречи прямой (рёбер многогранника) с секущей плоскостью.

(http://www.ssau.ru/books/gubanov/lection1.htm)

Основной типовой задачей на эту тему в школьной программе является построение сечения, по трем, заданным на поверхности многогранника, точкам, принадлежащим секущей плоскости.

Алгоритм построения такого сечения следующий:

1) Выбираем наиболее подходящую грань многогранника для построения на ее плоскости (далее плоскость основания) (т.е. плоскости к которой принадлежит выбранная грань) следа секущей плоскости. Для данных

/>1)

целей наиболее подходящей является грань, на ребра которойможно опустить проекцию от каждой заданной точки.

(На картинке: MÎ(ASE); KÎ(ESD); NÎ(BSC). Вданном примере наиболее подходящей является грань (ABCDE))

2)Проецируем каждую заданную точку на плоскость основания. Существует два возможных вида проециро-вания: центральное и параллельное. Центральное проецирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, а вершина пирамиды, при этом является центром проекции. Параллельное проецирование используется при построении сечений призм.

(в данном примере используем центральное проецирование. Опускаем из вершины S к плоскости

/>2)

проекций проецирующие лучи:(SM),(SK),(SN). Назовем получившиеся припересечении проецирующих лучей с ребрами, образованными основанием и боковымисторонами пирамиды: M’, K' и N’,соответственно.)

3)Пересекаем прямую, образованную двумя заданными точками, с прямой образованной проекциями этих же точек.(MK и M’K’). Полученная точка (P1) принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания. Находим вторую точку (P2) и строим прямую (след секущей плоскости).

/>3)

4) Далее, для нахождения точек пересечения с ребрами многогранника, от точки пересечения ребра с плоскостью основания проводим прямую, проходящую через проекцию, заданной в условии задачи точки (AK’). От точки пересечения этой прямой со следом секущей плоскости (K”) проводим прямую (K”K), проходящую через точку, проекция которой перед этим использовалась. Пересечение этой прямой с ребром, на котором ищется пересечение с плоскостью сечения, является искомой точкой (A’).

5) соединяем все найденные точки.

/>4)

/>5)

Примеры задач.

1) Постройте сечение куба плоскостью проходящей через точки, указанные нарисунке

2) Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, черезточки, указанные на рисунке.

3) Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящейчерез точки, указанные на рисунке.

4) Меньший куб поставлен на больший таким образом, что они имеют общуювершину и их грани параллельны. Постройте сечение полученной фигуры плоскостью,проходящей через три точки, лежащие на скрещивающихся ребрах меньшего куба.

Решение:

А) проводим линию пересечения с гранью куба (АВ)

Б) проводим параллельную ей (АВ)на противолежащей грани (ЕС)

В) проводим ЕА

Г) проводим прямую BD||EA

Д) Соединяем D c C

Сечение (ABDCE) построено.

А) проецируем на плоскость основания, путем центрального проецирования из вершины, точки В и С, получая точки: B’ и C’.

Б) пересекаем прямые B’C’ и BC, находим точку P’

В) пересекаем AP’ и D’C’, находим точку D”.

Г) пересекаем D”C и SD’, находим D

ABDC – сечение.