Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Программа государственного экзамена по математике

для студентов математического факультета

Московского городского педагогического университета

Алгебра и теория чисел

1.Группы;примеры и простейшие свойства элементов группы.

2. Кольца иполя; примеры и простейшие свойства элементов.

3.Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).

4. АлгоритмЕвклида и его применения.

5. Сравненияи их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.

6.Базиси размерность векторного пространства.

7. Основныетеоремы о системах линейных уравнений.

8. Корнимногочлена, теорема Безу, схема Горнера.

9.Разложение многочлена над полем в произведение

неприводимых множителей и его единственность.

10. Теоремао строении простого алгебраического расширения.

1. Группы; примеры и простейшие свойства элементовгруппы

10. Определение группы.

Всюду в дальнейшем запись (G, *) означает, что на непустом множестве G задана операция “*”.

Определение. Множество(G, *) называется группой, если выполнены следующиеусловия:

(1) операция “*” ассоциативна, т.е.("x,y,zÎG) (x*y)*z = x*(y*z);

(2) множество G обладает нейтральным элементомотносительно операции*:

($eÎG)("xÎG)x*e = e*x = x;

(3) каждый элемент множества G обладаетсимметричным элементом:

("xÎG)($yÎG) x*y= y*x = e.

20. Примеры групп: числовые группы, группысимметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.

Примеры групп весьма разнообразны. Перечислимнекоторые из них.

1. Числовыегруппы (группы, элементы которых являются комплексными числами).

а) Аддитивные группы целых чиселZ,рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C.

б) Мультипликативные группы ненулевых рациональныхчисел Q*, ненулевых действительных чисел R*, ненулевыхкомплексных чисел C*, положительных рациональных чисел Q+,положительных действительных чисел R+.

2. Группыподстановок S(X) и Sn, действующихна множестве X, в частности, на множестве {1, 2,..., n}.

3. Группыдвижений геометрических фигур. Пусть Ф — какая-нибудь геометрическая фигурана плоскости, O(Ф) — множество движений плоскости, переводящих фигуру Фна себя. Множество O(Ф) относительно операции композиции(последовательного выполнения) движений является группой. Элементы множества O(Ф)часто называются симметриями фигуры Ф.

Рассмотрим, например, группу симметрий правильноготреугольника.

Группасимметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений a, b, g относительно высоттреугольника a — отражение относительно AO, b — BO, g— CO; итрех вращений с центром с точке O на углы 0, />; их удобно обозначить e, r, s. Для описания умноженияэлементов группы (G, *) можно использовать такназываемую таблицу Кэли (таблицу умножения группы).

Для группы симметрий правильного треугольника таблицаКэли имеет вид:

Заметим, что вращения перемножаются по правилу r2 = s, r3 = e. Далее, квадрат любого отражения равен e.

Легко проверить, чтоab = s, ba = r. Кроме того, ar = g.

Остальные произведения в таблице легко восстановить,используя, например, групповую структуру операции. В частности, имеем:

ag =a(ar) = a2r = er= r;

bg =b(ar) = (ba)r = r2= s.

4. Группыгеометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданнымобщим центром, параллельных переносов.

5. Матричныегруппы. Укажем на две важнейшие матричные группы:

GLn(R) — полная линейная группа (группа обратимыхматриц),

SLn(R) — специальная линейная группа

(группа матриц с единичным определителем),

30. Арифметика группы: обратные элементы,степени с целым показателем.

При описании таблицы Кэли группы симметрий правильноготреугольника мы использовали так называемые арифметические свойства элементовгруппы. Отметим важнейшие из них в следующей теореме.

Теорема. Пусть(G,×) — группа. Тогда для ее элементовсправедливы равенства:

(а) (xy)(zt) = x(y(zt)= ((xy)z)t;

(б) (xy)-1 = y-1x-1;

(в) (xp)q = xpq;xpxq = xp+q для любых целыхp, q.

Доказательство. Проверим только пункт (б). Имеем:

(xy)(y-1x-1)= x(yy-1)x-1 = x(1)x-1= 1,

(y-1x-1)(xy)= y-1(x-1x)y = y-1(1)y= 1;

откудаи получаем требуемое утверждение. ÿ

40. Решение в группах линейных уравнений. В качестве применения простейших свойств приведемследующий простой результат.

Теорема. Впроизвольной мультипликативной группе G однозначно разрешимо каждое изуравнений:

ax = b,ya = b,где a,b — фиксированные элементы группы.

Доказательство. Допустим, что элемент gудовлетворяет равенству ag = b. Тогда умножая обе части равенства слевана элемент обратный к g, получим

a-1(ag)= a-1b, откуда находим g = a-1b.Легко проверить, что элементa-1b является решениемуравненияax = b, т.е. справедливо равенство a(a-1b)= b.

Аналогично доказывается разрешимость второгоуравнения. ÿ

Примеры. 1.Решить уравнение (12)x = (13) в группе подстановок S3.

Имеем: x = (12)(13) = (123).

2. Решитьуравнение rx = a в группе симметрий правильного треугольника.

Имеем: x = r-1a= g, поскольку sa является отражением и

C(sa) = (Cs)a = Ba = C.

3. Решитьуравнение X />= />в группе GL2(R).

Имеем:

X = />/>=/>/>=/>.

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойстваэлементов

10. Определение кольца и поля.

Определение. Непустоемножество A, на котором заданы операции сложения и умножения, называется кольцом,если выполнены следующие два условия:

а) (A, +) — абелева группа;

б) умножение дистрибутивно относительносложения, т.е. для любых элементов x,y, z из A выполненыравенства: (x +y)z = xz + yz; x(y + z)=xy + xz.

Определение. Кольцоназывается коммутативным, если операция умножения в нем коммутативна;кольцо называется ассоциативным, если операция умножения в немассоциативна. Кольцо называется кольцом с единицей, если оно обладаетнейтральным элементом относительно умножения.

Определение. ПустьA — ассоциативное кольцо с единицей 1. Элемент aÎA называетсяобратимым, если существует элемент bÎA такой, чтоab = ba = 1.

Легко проверить, что элемент b, о котором идетречь находится однозначно, поэтому он обозначается a-1 иназывается элементом обратным к a.

Важнейшим типом колец являются поля.

Определение.Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей называется полем, если внем всякий ненулевой элемент обратим.

20. Примеры колец: числовые кольца, кольцамногочленов, кольца последовательностей и функций, кольца матриц, кольцавычетов.

Если группы появляются, прежде всего, как группыобратимых отображений, то возникновение понятия кольца связано с изучениемважнейших числовых систем и многочленов.

1. Числовыекольца (кольца, элементы которых являются комплексными числами):

а) (классические числовые кольца) кольцо целых чиселZ, кольцо рациональных чисел Q, кольцо действительных чисел R,кольцо комплексных чисел C.

б) кольцо Z[i] целых гауссовых чиселвида a + bi, где a,b — целые числа;

г) кольцо Z[/>] действительных чисел вида a + b/> сцелыми a,b.

2.Кольцамногочленов R[x],Q[x],Z[x],C[x] от одной переменной x с действительными, рациональными,целыми и комплексными коэффициентами.

3. Кольцапоследовательностей и функций. Среди этих колец выделим особо:

а) кольцо последовательностей действительных чисел собычными операциями сложения и умножения последовательностей;

б) кольцо ограниченных последовательностейдействительных чисел;

в) кольцо фундаментальных последовательностей;

г) кольцо непрерывных действительно-значных функций наотрезке [0, 1].

4.Кольцаматриц. Среди разнообразных матричныхколец выделим следующие:

а) полное матричное кольцо Mn(A)над кольцом A или кольцо квадратных матриц порядка n с элементами изкольца A, в качестве кольца коэффициентов A можно рассматривать, в частности,любое числовое кольцо;

б) кольцо Dn(A) диагональныхматриц, т.е. матриц, у которых вне главной диагонали находятся только нулевыеэлементы;

в) кольцо TNn(A)нильтреугольных матриц, т.е. треугольных матриц с нулями на главной диагонали.

Кольца Mn и TNnявляются некоммутативными, в кольцеTNn нет единицы.

30. Примеры полей.

1. Числовыеполя.Q, R, C, Q[i], Q[/>] .

2. Полядробно-рациональных функций: Q(x),R(x),C(x).Так, элементами множества R(x) являются всевозможные функции вида/>,где f(x), g(x) — многочлены с действительнымикоэффициентами, причем многочлен g(x) ненулевой. Операциисложения и умножения дробей обычные.

3. Полевычетов Zp попростому модулю p. Например, для p=7 утверждение получается изследующих равенств в кольце Z7: 2Ä4 = 3Ä5 = 6Ä6 = 1.

40. Арифметика колец и полей. Важнейшие арифметические свойства элементов колец иполей приведены в теоремах.

Теорема. Длялюбых элементов кольца справедливы равенства:

(а) 0×x = x×0 = 0;

(б) правило знаков: x(— y)= (-x)y= -(xy);

(в) (дистрибутивность умножения относительноразности)

(x — y)z = xz — yz, x(y — z)=xy — xz;

гдеразность определяется обычным образомx — y := x + (— y).

Доказательство. (а) Имеем: 0×x = (0 + 0)×x = 0×x +0×x, откуда0×x = 0.Аналогично проверяется и второе равенство x×0 = 0.

(б) Имеем: 0 = x×0 = x×(y + (-y)) = x×y +x×(-y), откуда x×(-y) = -(x×y).

(в) Имеем: (x — y)z =(x + (— y))z= x×z + (-y)×z = x×z — y×z. ÿ

Обозначение. /> := a×b-1, если a,b — элементы поля, причем b ¹ 0.

Теорема. Вполе справедливы обычные правила работы с дробями:

(а) основное свойство дроби: ("c¹0) />;

(б) правила сложения дробей: />, />;

(в) правило умножения дробей: />;

(г)/>, если ab ¹ 0;

в частности,справедливо известное правило деления дробей.

Доказательство. (а) Действительно, />=(ac)×(bc)-1= acc-1b= a×b-1 = />.

(б) Имеем: /> = (a + c)×b-1 = a×b-1 + c×b-1 =/>. И далее наосновании уже доказанных свойств получаем />.

Аналогично проверяются и два оставшихся пункта. ÿ

3. Арифметические функции: t(n), s(n),j(n).

10. Полная мультипликативность.

Определение. Числовой (арифметической)функцией называется функция, определенная на множестве Z+целых положительных чисел и принимающая комплексные значения.

Числовая функция q называется вполнемультипликативной, если выполнены условия:

(1) ($x) q(x)¹0,

(2) для любых взаимно простых чисел x и y

q(xy)= q(x)q(y).

Заметим, что непосредственно из определения вытекаетравенство

q(1)=1.

В самом деле, q(1)¹0, так как иначе данная функция q была бы нулевой; q(1)= q(1×1)= q(1) q(1), следовательно, q(1)=1.

Легко проверить, что каждая из следующих функций

q(x)=1, q(x)= x, q(x)= x-1,

вполнемультипликативна.

Следующая теорема позволяет существенно расширитьзапас вполне мультипликативных функций.

Теорема. Произведениевполне мультипликативных функций является вполне мультипликативной функцией.

Доказательство. Пусть числа x и yвзаимно просты, а функции f и g вполне мультипликативны. Тогда,обозначив через h произведение функций f и g, имеем:

h(xy)=f(xy)g(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y)=[f(x)g(x)][f(y)g(y)]=

=h(x)h(y).

Следствие. Длялюбого целого k функция q(x)= xk вполнемультипликативна.

20. Сумма значений функции по всемделителям аргумента.

Введем в рассмотрение, наряду с функцией q(x), функцию

/>,

равнуюсумме всех значений функции q(d) при условии, чтопеременная d пробегает все делители числаx.

Теорема (основное тождество). Если x=/>,то

/>×/>.

В частности,если функция q вполне мультипликативна,то и функция /> также вполне мультипликативна.

Доказательство.Рассмотрим произведение сумм, находящееся в правой части требуемого равенства:

/>/>=

=/>=/>.

Осталосьзаметить, что для каждого набора (g1, g2,..., gk) целыхнеотрицательных чисел gi, непревосходящих ai, в сумме

каждоеслагаемое встречается ровно один раз. Учитывая теперь, что каждый делительчисла />имеет вид />, получаем

/>=/>.

Свойство полной мультипликативности рассматриваемойфункции немедленно вытекает из того, что взаимно простые числа содержатразличные простые сомножители. ÿ

30. Число делителей t(x) и сумма делителей s(x).

Рассмотрим следующие вполне мультипликативные функции:

t(x)= />, где q(x)=1, — число делителейчислаx,

s(x)= />, где q(x) = x, — суммаделителей числаx.

Теорема.Справедливы тождества:

t(/>)=(a1 + 1)(a2+ 1)...(ak + 1),

s(/>)=/>.

Доказательство. а) Из определения функции t(x) немедленно следует указанное тождество, поскольку в силуосновного тождества легко подсчитать число слагаемых, каждое из которых равно1, в каждой из скобок соответствующего произведения.

б) Это тождество получается из основноготождества и формулы суммы членов геометрической прогрессии:

/>/>.ÿ

40. Функция Эйлера. Одной из важнейших числовых функций являетсяследующая функция, впервые введенная в рассмотрение Эйлером.

Определение.Через j(x) обозначается количество чисел ряда

1, 2, ..., x, (*)

взаимнопростых с числом x.

Справедлива следующая теорема, которую приведем бездоказательства.

Теорема. Еслиx=/>, то

j(x)=x× />.

Следствие. Функция Эйлера вполне мультипликативна и

/>.

Теорема (тождество Гаусса). />.

Доказательство. Применяя основное тождество ипоследнее следствие, получаем, считая />,

/>.ÿ

4. Алгоритм Евклида и его применения

10. Алгоритм Евклида. Наибольший общий делитель чисел a,b можно найти с помощью алгоритма Евклида,который состоит в следующем.

Пусть b>0. Разделим a на b,тогда по теореме о делении с остатком:

a= bq1 + r1.

Если r1 = 0, то НОД(a,b) = b.

Если r1 ¹ 0, то разделим b с остатком на r1:

b= r1q2+ r2.

Если r2 = 0, то процесс делениязакончим, а если r2 ¹ 0, то разделимr1 с остатком на r2:

r1 = r2q3 + r3.

Продолжая далее таким же образом, мы закончим процессделения кактолько получится остаток равный 0.

Заметим, что такой остаток обязательно получится. Всамом деле, остаток всегда меньше делителя, поэтомуb > r1> r2 > r3 >… ичисло получаемых остатков не превосходит b.

Итак, в результате указанного алгоритма получим, что:

a = bq1 + r1,

b = r1 q2 + r2 ,

r1 = r2 q3 + r3 ,

(1)

….… .

rn-2 = rn-1qn-1+ rn,

rn-1 = rnqn.

Тогда на основании свойств 20и 10:

НОД(a,b) = НОД(b, r1) = НОД(r1,r2) =… = НОД(rn-1,rn)= rn.

Следовательно, наибольший общий делитель чисел aи bсовпадает с последним ненулевым остатком rn в алгоритме Евклида для чиселa и b.

Пример.Найти НОД(160, 72).

Применим к данным числам алгоритм Евклида:

160 = 72×2 + 16, 72= 16×4 + 8, 16 = 8×2. (2)

Следовательно,НОД(160, 72) = 8.

20. Теорема (о линейном представлении НОД). Если d — наибольший общий делитель чисел a и b, тосуществуют такие целые числа x и y,что выполняется равенство: d= xa+ yb.

ð Допустим, что числа a и b связаны следующимисоотношениями:

a = bq1 + r1,

b = r1 q2 + r2 ,

r1 = r2 q3 + r3 ,

….… .

rn-2 = rn-1qn-1+ rn.

Докажем, что каждое из чисел rk линейно выражается через a и b с целыми коэффициентами.Для r1утверждение тривиально:r1 = a — bq1. Считая, что каждое из чисел r1,r2,..., rn-1являетсяцелочисленной линейной комбинацией чисел a и b (rk = ak a + bkb), имеем

rn = an-2 a + bn-2 b — (an-1 a +bn-1 b)qn-1 = (an-2 — an-1)a + (bn-2— bn-1 qn-1)b. ð

Пример.Найти линейное представление НОД(160, 72).

Решение. Из второго равенства системы (2) следует, что8 = 72 — 16×4, а из первого равенства получим, что 16 = 160 — 72×2. Из двух полученных равенств находим: 8 = 72 — 16 × 4 = 72 — (160 — 72 × 2) × 4 = (-4) × 160 + 9 × 72.

Таким образом, искомое представление НОД имеет вид:

8 = (-4) × 160 + 9 × 72.

30. Связь алгоритма Евклида с непрерывнымидробями. Пусть a — рациональная несократимая дробь />. Для разложения числа a внепрерывную цепную дробь можно воспользоваться алгоритмом Евклида:

Следовательно, /> , откуда/>

Непрерывные дроби можно использовать для решенияразличных теоретико-числовых задач.

1. Линейное представление наибольшего общего делителя

Пример 1.Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел (59, 163).

Решение.Разложим в непрерывную дробь число/>:

/>=[2; 1, 3, 4, 1, 2].

Cледовательно, можно теперьзаполнить таблицу:

2 1 3 4 1 2

1 2 3 11 47 58 163

1 1 4 17 21 59

+1 -1 +1 -1 +1 -1

Отсюда получаем 59 × 58 — 163 × 21 = -1 или59 × (-58) + 163 × 21 = 1.

2. Решение линейных диофантовых уравнений

Как практически находить какое-нибудь решениелинейного неопределенного уравнения

ax + by = c при (a,b)=1, c=1?

Можно воспользоваться алгоритмом Евклида, из котороголегко получить линейное представление НОД чисел a,b, илипредставить дробь /> в виде последней подходящей />,откуда aQn — bPn = (-1)n .

Пример.Решить диофантово уравнение 163x +59y = 1.

Решение. Мы проверили раньше, что 163 × 21 + 59 × (-58) = 1,следовательно, общее решение имеет вид:

6. Базис и размерность векторного пространства

10. Линейные комбинации и линейные оболочкивекторов. Выражение вида />=a1e1 +….+ anen, где ai — числа, ei — векторы изпространства V, называется линейной комбинацией векторовei;числа aiназываются коэффициентами линейной комбинации.

Определение. Линейной оболочкой системывекторов E = (e1,..., en)называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов данной системы;обозначение L(E). Таким образом,

L(E) = />.

Заметим, что линейная оболочка системы векторовявляется линейным подпространством.

Говорят, что вектор v линейно выражаетсячерез систему E, если v Î L(E).

Отметим простейшие свойства линейных оболочек:

(а) Если W — подпространство в V, E Í W, то L(E) Í W;

(б) Линейная оболочка L(E) совпадает спересечением всех линейных подпространств, содержащих систему E;

(в) L(E È G) =L(E) + L(G), где сумма подпространств U и Wопределяется равенством U + W := {u + w½u ÎU, wÎW }.

20. Линейно независимые системы.

Линейная комбинация векторов называется тривиальной,если все ее коэффициенты равны 0. Значение тривиальной линейной комбинацииравно 0.

Определение.Система векторовназывается линейно независимой, если всякая еенетривиальная линейная комбинация отлична от нуля.

Заметим, что для доказательства линейной независимостисистемы достаточно приравнять к нулю произвольную ее линейную комбинацию ивывести из этого равенство нулю всех ее коэффициентов.

Кроме того, система векторов является линейнозависимой, если некоторая ее нетривиальная линейная комбинация равна 0.

Нам потребуются в дальнейшем следующие две леммы,которые мы приведем без доказательства.

Лемма 1. Еслисистема E линейно независима,асистема EÈs (полученнаяприсоединением вектора s к системе E) линейно зависима, тоs линейно выражается через E.

Лемма 2 (основная лемма о линейной зависимости).

“Большая“система линейно зависима,если она линейно выражается через “маленькую“.

30. Базис линейного пространства.

Определение 1.Система E называется базисом линейного пространства V(обозначение B(V)), если выполнены условия:

(а) E линейно независима;

(б) V = L(E), т.е. всякий вектор пространства Vлинейно выражается через E.

Наряду с данным определением можно привести и другиеэквивалентные определения.

Определение 2.Максимальная линейно независимая система E называется базисомлинейного пространства V.

Определение 3.Система E называется базисом линейного пространства V, есливсякий вектор пространства V однозначно записывается в виде линейной комбинациивекторов системы E.

Заметим, что указанные определения равносильны.

40. Размерность линейного пространства.

Определение.Линейное пространство называется конечномерным, если оно обладаетконечным базисом.

Определение.Число элементов в каком-нибудь базисе линейного пространства V называется его размерностью;обозначение dimV. Нулевое пространство имеет по определению пустой базис инулевую размерность.

Отметим прежде всего теорему о корректностиопределения размерности.

Теорема. Всякиедва базиса одного конечномерного пространства содержат одинаковое числовекторов.

Доказательство. Пусть E и G — два базисапространства V. Эти системы векторов линейно эквивалентны, т.е. они линейновыражаются друг через друга. Если бы одна система была “большой”, а другая“маленькой”, то “большая” система оказалась бы линейно зависимой в силуосновной леммы о линейной зависимости, значит, обе они содержат одинаковое числовекторов. ÿ

Следствие.

(а) Размерность линейной оболочки L(E) равнарангу системы E (ранг системы — максимальное число ее линейнонезависимых векторов): dim L(E) = r(E).

(б) Всякая система векторов n-мерного линейногопространства,содержащая более n элементов линейно зависима.

50. Примеры.

1. Координатное пространство kn имеетстандартный базис из единичных векторов ei := (0,..., 0, 1, 0,..., 0) ( единица находится на месте с номером i),следовательно, dim kn = n. Можно доказать, что системаиз n векторов-строк образует базис пространства kn Û определитель этой системы отличен от нуля.

2. Базис пространства решений однородной системылинейных уравнений — это фундаментальная система решений.

3. Пространство матриц /> имеетстандартный базис из матричных единиц Eij (единицанаходится на месте с номером (i, j), следовательно,

dim /> = nm.

4. Пространства многочленов Qn[x]с рациональными коэффициентами степени не превосходящей n имеетследующие базисы:

а) стандартный базис вида 1, x, x2,..., xn;

б) базис Тейлора “в точке c”:

1, (x — c), (x — c)2,…,(x — c)n, где c — некоторое число;

в) [базис Лагранжа “в точке (c1,..., cn+1)”:

gi(x) = {(x — c1)… (x — ci)^… (x — cn+1)}/ {(ci — c1)… (ci — ci)^… (ci — cn+1)},

гдеc1,..., cn+1 — попарно различныескаляры, а знак ^ означает отсутствие указанного множителя.]

Координаты многочлена f(x)

относительно стандартного базиса — это егокоэффициенты;

относительно базиса Тейлора — это строка />;

[относительно базиса Лагранжа — это строка (f(c1),..., f(cn+1)).]

5. Вещественное линейное пространство C имеетстандартный базис (1, i).

7. Основные теоремы о системах линейных уравнений

10.Исследование системы линейных уравнений.

Пусть задана система линейных уравнений: Ax = b,где A — основная матрица, x — столбец переменных,b — столбец свободных членов. С помощью элементарных преобразований строк восновной матрице можно построить максимальную систему единичных столбцов. Крометого, удалим из расширенной матрицы нулевые строки. Тогда можно считать, чторасширенная матрица системы уравнений имеет вид:

/>,

гдев последней строке ведущий элемент обозначен через d.

Для ненулевого числа d возможны два случая:

(а)d находится дочерты, т.е. лежит в основной матрице. Следовательно, в этом случае мы можемнаписать общее решение совместной системы. Заметим, что все переменные будутсвязаны Û ранг основной матрицы равен числу переменных системы.

(б)d находитсяпосле черты; тогда система несовместна и ранг основной матрицы меньше рангарасширенной матрицы на единицу.

Тем самым, мы доказали теорему.

Теорема. Пустьd— ведущий элемент последней строки приведеннойступенчатой матрицы. Тогда

(а)система совместна Û d находится до черты;

(б)система несовместна Û d находится после черты;

(в)система является определенной Û d находится до черты ивсе переменные связанные;

(г)система является неопределенной Û d находится до черты иимеется хотя бы одна свободная переменная.

20.Критерии совместности и определенности.

Из приведенной теоремы немедленно вытекают следующиедва критерия.

Критерий совместности (теорема Кронеккера-Капелли). Система Ax = b линейных уравнений являетсясовместной Û ранг основной матрицы равен рангу расширеннойматрицы, т.е. r(A) =r(A½b).

Критерий определенности. Система Ax = b линейных уравнений от n переменныхявляется определенной Û ранг основной матрицыравен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе, т.е.r(A) =r(A½b) = n.

30.Связь между решениями совместной неоднородной и связанной с ней однороднойсистемами линейных уравнений.

Допустим, что дана совместная системалинейныхуравнений:

Ax = b.

(1)

Пусть z0,z1,z2 — частные решения системы (1),z — ее общее решение. Тогда справедливы равенства Az1t= b,Az2t= b.Вычитая почленно из первого второе, на основании известных свойств, получаем: 0= Az1t— Az2t = A(z1t— z2t) =A(z1— z2)t,т.е. разность между двумя частными решения системы (1) является решениемсвязанной с ней однородной системы

Ax = 0.

(2)

Если теперьx — общеерешение системы (2), то имеем Ax t= 0, следовательно,

b=b + 0 = Az0t+ Ax t=A(z0t+x t) =A(z0+x )t,

т.е.сумма частного решения системы (1) и общего решения системы (2) являетсярешением системы (1).

Таким образом, справедлива

Теорема. Общеерешение совместной неоднородной системы (1)является суммой частногорешения системы (1) и общего решения системы (2).

Поскольку общее решение однородной системы может бытьзаписано в виде линейной комбинации ФСР, то получаем, что общее решение системы(1) можно записать в следующей параметрической форме:

z = z0 + a1x1 + a2x2 +….+ amxm,

гдеz0 -какое-нибудь частное решение системы (1); x1, x2,..., xm — ФСР системы (2),

a1, a2,..., am — действительные параметры; m = n — r(A).

8. Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу

10. Корни многочлена.

Определение. Число c называется корнем многочлена f, еслиf(c)=0.

Другими словами, число c является корнеммногочлена f, если

a0cn +a1cn-1 +… + an-1c + an = 0.

Это равенство означает, что число c являетсякорнем уравнения

a0 xn+ a1xn-1+… + an — 1x + an= 0,

приподстановке вместо x числа c получается верное равенство. Поэтомукорень многочлена f и корень соответствующего уравнения f(x)= 0 — это одно и то же.

Схема Горнера позволяет проверять, является ли данноечисло c корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз ивычисляем значение f(c).

Если требуется проверить несколько значений c,то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну — объединенную.Например, для многочлена

f = 3x5 — 5x4 — 7x2 + 12

ичисел c = 1,-1,2 составляется таблица

3 -5 -7 12 1 3 -2 -2 -9 -9 3 -1 3 -8 8 -15 15 -3 2 3 1 2 -3 -6

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строкитаблицы работает" только первая строка — строка коэффициентов многочлена f.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чиселтолько c = 2 является корнем данного многочлена.

20. Теорема Безу.

Теорема Безу.Пусть f — многочлен, c — некоторое число.

1. f делится на двучлен x — cтогда и только тогда, когда число c является его корнем.

2. Остаток от деления f на x — c равен f(c).

Доказательство. Сначала мы докажем второеутверждение. Для этого разделим f c остатком на x — c:

f= (x — c)q + r;

поопределению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x — c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когдаона равна 0, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является числом- нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство f = (x — c)q+ r значение x = c, мы получим

f(с)= (с — c)q(с) + r = 0,

такчто действительно r = f(c), и первое утверждение доказано.

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самомделе, утверждение "f делится на x — c"означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c),так что "f делится на x — c" означает то жесамое, что и f(c) = 0. ÿ

Теорема Безу дает возможность, найдя один кореньмногочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше:если f(c) = 0, то f = (x — c)q, иостается решить уравнение q(x) = 0. Иногда этим приемом - онназывается понижением степени — можно найти все корни многочлена. Вчастности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить — после понижения степени достаточно решить полученное квадратноеуравнение.

Решим в качестве примера уравнение

x4 — x3 — 6x2 — x+ 3 = 0.

Целые корни многочлена f = x4 — x3 — 6x2 — x + 3 должны бытьделителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена f, посколькусумма его коэффициентов, очевидно, не равна 0.

При x = -1: имеем схему

1 -1 -6 -1 3 -1 1 -2 -4 3

Мы видим, что -1 — корень f, и в частномполучается многочлен

g =x3 — 2x2 — 4x+3.

Значение x = 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, чтоневерно. А -1 проверить обязательно — ничто не мешает ей быть также и корнемчастного g:

1 -2 -4 3 -1 1 -3 -1 4

Следовательно, g(-1) ¹ 0.

Составим схему Горнера для x = 3:

1 -2 -4 3 3 1 1 -1

Следовательно, g(3) = 0, и при делении gна x — 3 получается многочлен x2 — x — 1, корникоторого (1±/>)/2.

Таким образом, многочлен f, а значит, иисходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1±/>)/2.

30. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос — Сколько корней может иметь многочлен?

Теорема. Многочленстепени n имеет в любом поле не более n корней.

Доказательство. Пусть многочлен f степени nимеет k корней, и c -один из его корней. Предположим противное — пусть k>n.

По теореме Безу, f = (x — c)g,и частное g имеет степень n — 1. Всякий корень f, отличныйот c, является одновременно и корнем g: если f(a)= 0, то (a — c)g(a) = 0, откуда g(a)= 0, так как a¹ c. Другими словами, многочлен g имеет,по меньшей мере k — 1>n — 1 корень, т.е. число его корнейтакже больше его степени.

Но с многочленом g можно провести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корнейкоторого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем кмногочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположениеk>n неверно, и следовательно, k не больше n, чтои требовалось доказать.

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.

Следствие 1.Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковыезначения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при каждойстепени x они имеют одинаковые коэффициенты.

Следствие 2.Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях x тогда итолько тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых

множителей и его единственность

10. Основная теорема арифметики кольца k[x].Любой многочлен положительной степени можно разложить в произведениенеприводимых сомножителей, и такое представление единственно с точностью доассоциированности и порядка сомножителей.

Доказательство. 1. Существование. Индукцией поn докажем, что каждый многочлен f степени n ³ 1 можно разложить в произведение неприводимыхсомножителей. Основанием индукции приn = 1 служит тривиальноеразложение f = f. Сделав индуктивное предположение, рассмотриммногочлен f степени n. Если f — неприводим, то разложениеимеет вид: f = f; если же f — приводим, то его можнозаписать в виде f = gh, где степени g, h меньшестепени f. По предположению индукции многочлены g и hможно разложить на неприводимые сомножители:

g =p1p2… ps, h= q1q2… qt,

поэтому

f =p1p2… psq1q2… qt.

2. Единственность. Предположим, что некоторыймногочлен f имеет два разложения на неприводимые сомножители:

f =p1p2… ps , f = q1q2… qt,

тогда

p1p2… ps = q1q2… qt.

Леваячасть последнего равенства делится на p1, значит, праваячасть также делится на p1. По основному свойствунеприводимого многочлена на p1 делится либо q1,либо q2,..., либо qt. Изменяя, еслинадо нумерацию сомножителей, можно считать, что p1 делит q1,и поскольку q1 неприводим, то они ассоциированы, т.е. длянекоторого числа c верно p1 = cq1.Значит, сокращая на p1 обе части равенства

p1p2… ps = p1q2… qt,

получаем:

p2… . ps = (cq2 )… qt.

Обозначимданное произведение через m, и заметим, что deg m < deg f.По предположению индукции можно считать, что для m выполнено утверждениетеоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либоперестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в исходномравенстве

p1p2… ps= q1q2… qt

s= t и одна часть отличается от другойтолько порядком сомножителей и их ассоциированностью. ð

Пример.Разложить x6 — 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x6 — 1 = (x3 — 1)(x3 + 1) = (x — 1)(x2 + x+ 1)(x + 1)(x2 — x + 1).

20. Каноническое разложение числа.

Обозначим через p(k)- множество неприводимых нормированных многочленов над полем k.

Тогда произвольный многочлен f представим ввиде произведения

c/>, где ai ³ 0, pi Î p(k), cÎk.

Указанное разложение однозначно определяетсямногочленом f и называется его каноническим разложением; число aiназывается показателем pi в каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательстваразличных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

10. f := c/> делит g := d/> Û a1 £ b1,a2 £ b2,..., an £ bn.

Доказательство. Пусть g =fh, a1> b1, h := e/>.Тогда b1 = a1 + c1 > b1,что невозможно. Обратное утверждение очевидно. ð

20. Пусть имеются канонические разложениямногочленов f и g:

f = c/>, g = d/>.

Тогда

НОД(f, g) = />, НОК(f, g) = />,

где ci = min (ai, bi), di =max (ai, bi).

Доказательство. Пусть j= /> ,где ci = min (ai, bi).Тогда по свойству 10 многочлен jявляется делителем многочленовf и g ивсякий общий делитель f и g делит многочлен j. Следовательно, j= НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. ð

Из свойства 20 немедленно вытекаетсвойство

30. (Связь между НОД и НОК).

НОД(f, g) × НОК(f,g) = f × g.

10. Теорема о строении простого алгебраическогорасширения

10. Понятие минимального многочлена.

Пусть a — алгебраическоечисло над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена скоэффициентами из поля k.

Определение.Нормированный многочлен m(a, k, x) над полем k называется минимальныммногочленом числа a, если выполнены условия:

а)m(x) — неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из k;

б) m(a) = 0, т.е. a — корень многочленаm(x).

Примеры.

/> — 1

i + />

m(a, Q, x)

x2 + 1

x2 — 5

x2 + 2x — 1

x4 — 4x2 + 16

20. Основные свойства минимальныхмногочленов.

1. Если f(x)Î k[x] и f(a) = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен m(х) числа a.

Доказательство. В самом деле, предположив, что fне делится на m, запишем

f = mg + r, deg r < deg m

наосновании теоремы о делении с остатком. Откуда r(a)=0. Поскольку многочлены r и m взаимнопросты, то у них не может быть общих корней — противоречие.

2. Допустим,что a — алгебраическое число, а g(x) — нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x)Î k[x] и g(a) = 0. Тогда g(x) — минимальный многочлен числа a.

Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.

3.Минимальный многочлен алгебраического числа a надданным полем определен однозначно.

Для доказательства достаточно применить свойство 2.

Определение.Степень минимального многочлена числа a называется степеньючисла a; обозначение degk a.

4. a Îk Û degk a = 1.

Доказательство немедленно получается из определений.

5. Если a — алгебраическое число степени n, то 1, a, a2, ..., an-1 линейно независимы над полем k, т.е. ("c0, c1, ..., cn-1Îk) c0+ c1a +… + cn-1an-1 = 0 возможно только в случае c0= c1 =… = cn-1 = 0.

Доказательство. Действительно, если указанные степеничисла aлинейнозависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k,степени меньшей чем m.

6. Пусть a — алгебраическое число, f(x) Î k[x] и f(a) ¹ 0. Тогда дробь /> представима в виде />=g(a) для некоторого g(x) Î k[x].

Доказательство. В самом деле, многочленыf и m взаимно просты (иначе f делился бы на m), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторыхмногочленов g и h над k верно равнство

fg + mh = 1.

Откудаf(a)g(a) = 1, что итребовалось.

30. Строение простых алгебраическихрасширений.

Определение.Пусть k — подполе в L; a Î L. Наименьшее подполе в L, содержащеечисло aи подполе k,обозначаемое k(a), называется простым расширением поля k(говорят также, что k(a) полученоприсоединением к полю k числа a).

Из приведенных свойств легко вывести теорему.

Теорема (остроении простого алгебраического расширения).

Для любого алгебраического числа aнад полем k линейное пространство k(a) обладает базисом изэлементов вида

1, a, a2,…,an-1, где n =degk a.

Доказательство. Легко понять, что k(a) состоит из дробей f(a)/g(a), гдеf(x), g(x) — многочлены над полем kи g(a) ¹ 0. Обозначим через k[a] — кольцо значений многочленов в точке a, т.е. k[a] = {f(a)½f(x)Î k[x]}.

Из свойства 6 вытекает равенство k(a) = k[a]. Из теоремы о делении с остатком следует, чтозначение произвольного многочлена над полемk в точке aявляетсялинейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента a. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этихстепеней. ÿ

40. Освобождение от иррациональности взнаменателе дроби.

Разберем различные способы решения задачи обосвобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальнаявозможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраическогорасширения.

Пример 1.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

/>.

Решение. Обозначим через c число />,и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии:

1+ c + c2+ c3+c4 = (c5 — 1)/(c- 1) =1/(c- 1),

следовательно,/>.

Пример 2.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

/>.

Решение. Обозначим через c число />,и запишем сначала дробь

ввиде суммы простейших:

/>.

Теперь,используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить на многочленотносительно c. Сначала разделим c5 — 2 на c +1:

1 -2 -1 1 -1 1 -1 1 -3

следовательно,

/> = c4 -c3 +c2 -c + 1.

Теперьразделим c5 — 2 на c + 2:

1 -2 -2 1 -2 4 -8 16 -34

следовательно,

/>=c4 — 2c3 + 4c2 — 8c+ 16.

Тогдаполучаем

/>= 34(c4 -c3 +c2-c + 1) — 3(c4 — 2c3 + 4c2 — 8c+ 16) =

= 31c4 -40c3+22c2 -10c — 14,

т.е./> .

Пример 3.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

/>.

Решение. Обозначим через c число />.Найдем линейное представление НОД многочленов f(x) = x3 — 2 и g(x) = 1 + 2x — x2:

f(x)= — g(x)×(x + 2)+ r(x), где r(x)= 5x

-5g(x) = r(x)×(x — 2) — 5.

Изэтих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x):

f(x)×(x — 2) +g(x)×(x2+ 1) = 5.

Подставляяв последнее равенство вместо x число c, получим

/>= c2+ 1,

следовательно,/>=/>.

Пример 4.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

/>.

Решение. Обозначим через c число />иприменим метод неопределенных коэффициентов. По теореме о строении простогоалгебраического расширения существуют рациональные числа x,y,z такие, что

/> =xc2+ yc + z или 89 = (c2+16c — 11)(xc2+ yc + z).

Раскрываяскобки и используя равенствоc3 = 2, получаем:

89 = (32x + 2y — 11z)+ (2x — 11y + 16z)c + (-11x + 16y + z)c2.

Таккак числа 1, c, c2 линейно независимы над Q имеем

32x + 2y — 11z =89, 2x — 11y + 16z = 0,

-11x + 16y + z = 0.

Решениемпоследней системы является набор чисел (3, 2, 1). Значит, получаем ответ: />.

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

20 Июня 2015