Реферат: Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
Лабораторная работа № 4.
Приближенныйметод решения интегралов.
Методпрямоугольников (правых, средних, левых).
Гребенникова Марина
12-А класс
Многие инженерные задачи, задачи физики,геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят кнеобходимости вычислять определенный интеграл вида />где f(x) -данная функция,непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеемнайти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется поформуле Ньютона-Лейбница: />
Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или покакой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или еслифункция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенногоинтеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисленияинтеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних).При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смыслопределенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то />численно равен площадифигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=aи прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильновычислению площади криволинейной трапеции.
/>
Разделим отрезок [a; b] на nравных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарногоотрезка />.
Точки деления будут: x0=a;x1=a+h; x2=a+2*h,…, xn-1=a+(n-1)*h; xn=b.
Числа y0, y1,y2,…, yn являются ординатами точек графика функции,соответствующих абсциссам x0, x1, x2,…, xn(рис. 1.2).
Строим прямоугольники. Этоможно делать несколькими способами:
/>Левые прямоуголики (слева на право)
Правые прямоугоники(построение справа на лево)
/>
Средние прямоугольники(посредине)
/>
Из рис. 1.2 следует, чтоплощадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника,составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенногоинтеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.
/>
h=(b-a)/n –ширина прямоугольников
Формулалевых прямоугольников:
/>(1.3)
Формула правых прямоугольников:
/>(1.4)
Формула средних прямоугольников.
Sсредих= (Sправых<sub/>+ Sлевых) /2
/>(1.5)
Программа вычисления /> по методу левых прямоугольников.
Program levii;{Метод левых прямоугольников}
uses crt;
var i,n:integer;a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2);end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
end.
a=1 b=2 n=10 S= 18,077
a=1 b=2 n=20 S= 18, 208
a=1 b=2 n=100 S= 18, 270
Программа вычисления /> по методу правых прямоугольников.
Program pravii; {Метод правых прямоугольников}
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=1 to n do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
end.
a=1 b=2n=10 S=18,05455
a=1 b=2n=20 S=18,55555
a=1 b=2n=100 S= 18,2734
Программа вычисления /> по методу средних прямоугольников.
Program srednii; {Метод средних прямоугольников}
uses crt;
var i, n:integer; a, b, dx, x, s, xb: real;
function f(x: real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;
write('Интеграл равен ',s:15:10); readln;
end.
a=1 b=2 n=10 S=18,07667
a=1 b=2 n=20 S=18,368
a=1 b=2 n=100 S= 18,156
Заключение и выводы.
Таким образом очевидно, что при вычисленииопределенных интегралов методами прямоугольников не дает нам точного значения, атолько приближенное.
Чем больше значение n, тем точнеезначение интеграла..