Реферат: Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...

Министерство общего и профессионального  образования

                          Российской       Федерации

           !!!!!!!!!!!!!!!!   Государственный      университет

                             Имени   Ярослава Мудрого. />

       Кафедра  «Прикладная математика  и  информатика».

               

                 

                                   Реферат  

          

      ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ        

                       КВАДРАТОВ И В ВИДЕ   />

                Преподаватель:Неустроев Н.В.Студент  группы  № 3311  

                                                                                  Russo Fascisto                             

                             

                      

                              !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

                                                 2004

                                                

                                                       план:

 

 ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                                      3                                                                                                             

 ТЕОРЕМАФЕРМА-ЭЙЛЕРА                                                                                                      5

 Доказательство (Лагранжа)                                                                                         5

 Единственность представления простого  

числа в виде суммы двух квадратов                                                                     6    

КОЛИЧЕСТВО  представЛЕНИЙЧИСЛА  в виде суммы двух квадратов                                                                                                                                   8

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ />                                                                  9

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                                            11

ЛИТЕРАТУРА                                                                                                        12                                                                      

                                              ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                          Быть может,потомство будет признательно мне  за то,                                            чтоя показал ему,  что Древние знали не все.
                                                                                          ПьерФерма                                                                                                                       Лишь один математик удостоился того,что имя его стало нарицательным. Если произносится слово «ферматист»,значит, речь идет о человеке, одержимом до безумия какой-то несбыточной идеей.Но это слово ни в какой мере не может быть отнесено к самому Пьеру Ферма(1601--1665), одному из самых светлых умов Франции. Ферма — человекудивительной судьбы: один из величайших математиков всех времен, он не был, всовременной терминологии, «профессиональным» математиком. Попрофессии Ферма был юристом. Он получил великолепное гуманитарное образование ибыл выдающимся знатоком искусства и литературы. Всю жизнь он проработал нагосударственной службе, последние 17 лет был советником местного парламента вТулузе. К математике его влекла бескорыстная и возвышенная любовь (это иногдаслучается с людьми), и именно эта наука дала ему все, что может дать человекулюбовь: упоение красотой, наслаждение и счастье. В те годы не было ещематематических журналов, и Ферма почти ничего не напечатал при жизни. Но онмного переписывался со своими современниками, и посредством этой перепискинекоторые его достижения становились известными. Пьеру Ферма повезло с детьми:сын обработал архив отца и издал его.«Я доказал много исключительнокрасивых теорем», — сказал как-то Ферма. Особенно много красивых фактовудалось ему обнаружить в теории чисел, которую, собственно, он и основал. Вбумагах и в переписке Ферма было сформулировано немало замечательныхутверждений, о которых он писал, что располагает их доказательством. Ипостепенно, год за годом, таких недоказанных утверждений становилось все меньшеи меньше. И наконец, осталось только одно.  Хорошо известно, что квадратынекоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетскийтреугольник со сторонами 3, 4 и 5: 32+42=52. Можно описать все целочисленныерешения уравнения x2+y2=z2. Это было сделано Диофантом,греческим математиком, жившим (вероятно) в III веке нашей эры, во второй книгеего трактата «Арифметика» (до нас дошли 6 книг из 13). На полях околорешения Диофанта Ферма написал: «Нельзя разложить куб на два куба, никвадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, нивообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на двестепени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство,но эти поля для него слишком узки». Иначе говоря, уравнение xn+yn=zn при натуральном n>2 в целых числах неразрешимо.

Вбумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n=4 (это единственное подробноедоказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n=3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предпринятыогромные усилия. Особенных успехов добился немецкий математик Куммер. После егоработ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать ее только для них), меньших100, кроме 37, 59 и 97. В нашем веке теорема Ферма была доказана для простыхчисел, меньших 100,000, ноокончательное решение так и не было найдено.

В 1908году любитель математики Вольфскель завещал 100,000марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиковмногих стран. Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма.Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратилисьнемалые силы многих математиков.

Вовремя Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательствсократился, но не иссяк.

И ужеказалось, что эта проблема перейдет через новую грань веков, но все-таки пятьлет тому назад английский математик Уайлс «залатал последнюю дыру» всвоем доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал передматематическим миром в 1993 году.

Мирпризнал: Великая теорема Ферма доказана!

Однако,тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо отего Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самыхпроницательных умов своего времени — времени Гигантов. Его по праву считаютосновоположником теории чисел, он внес огромный вклад в зарождающиеся новыенаправления, определившие последующее развитие науки: математический анализ,аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для насмир, полный красоты и загадочности.

                                    

                                   ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА

Следующаятеорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математикиXVII--XVIII веков.

Взглянитена несколько первых нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17,19, ...

Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=22+12, 13=22+32, 17=12+42, аостальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснитьэтот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема:  Для того, чтобынечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимои достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.

                                                         Доказательство(Лагранжа)

Этодоказательство опирается на следующую леммуВильсона: если p — простое число, то число (p-1)!+1делится на p.

Чтобыне отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрируюлишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Длялюбого числа x, 2 />x/>11, найдется такое число y, 2/>y/>11, что x* y приделении на 13 дае в остатке 1. Действительно,

(13-1)!=12!=(2*7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,

и при этом все произведенияв скобках при делении на 13дают в остатке 1, а значит, 12!при делении на 13 даст востатке 12, откуда (длявыбранного нами числа 13)следует утверждение леммы Вильсона.

Излеммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1,где n — натуральное число, то((2n)!)2+1 делитсяна p. Действительно, из леммыВильсона следует, что (4n)!+1делится на p, и теперьнеобходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1=
=(2n)!(-1)2n(2n)!+pk+1 />((2n)!)2+1(modp).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2/>-1(mod p).

Теперьнам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 />m/>[ />],/>s/>[/>],через [/>]обозначена целая часть числа /> — наибольшее целое число, непревосходящее />. Число таких пар ([ />]+1)2>p.Значит, по крайней мере для двух различныхпар (m1,s1)и (m2,s2)остатки от деления m1+Ns1и m2+Ns2на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1-m2, b=s1-s2, будет делиться на p. При этом |a|/>[/>], |b|/>[/>].Но тогда число a2-N2b2=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2/>-1(mod p), получим, что a2+b2делится на p, т. е. a2+b2=rp, где r — натуральное число (r/>,ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a2+b2/>2[/>]2<2p,т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема доказана.

Вопросо представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующимутверждением:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратовцелых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Единственностьпредставления простого числа в виде суммы двух квадратов                                                                                  По теореме Ферма-Эйлера любое простоечисло р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двухквадратов. Осталось доказать, что такое представление единственно с точностьюдо порядка слагаемых.                   Теорема: Никакое простое число не можетбыть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел существенно разными(т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами.

 Доказательство. Если бы простоечисло p имело два существенно разных представления, p = a2 + b2= c2 + d2, то разложения p = (a + bi)(a — bi) = (c +di)(c — di) представляют собой противоречие. Можно обойтись вдоказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел. Предположим, что простоечисло p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядкомслагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел: p = a2 + b2 = c2+ d2.

Тогда />и />Следовательно, a2c2= (-b2)(-d2)(mod p), т. е. число a2c2 — b2d2 кратно p. (Если рассуждения со сравнениями помодулю p непривычны и потому подозрительны, можно получить то же самое,рассматривая тождество a2c2 — b2d2= a2(c2 + d2) — (a2 + b2)d2).)

Посколькучисло p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac — bd) на p следует, чтоодин из множителей кратен p. Если число ac + bd кратно p, то воспользуемсяформулой (1):

p2 = (ac + bd)2+ (ad — bc)2.

Если />то противоречиеочевидно, ибо первое слагаемое (ac + bd)2 кратно p2 ипотому не меньше p2. Если же ad — bc = 0, то ad = bc. Поскольку какчисла a и b, так и числа c и d взаимно просты, имеем a = c и d = b.

Случай,когда ac — bd кратно p, можно рассмотреть аналогично, воспользовавшись формулойp2 = (ac — bd)2 + (ad + bc)2.

Итак,простое число нельзя двумя существенно разными способами представить в видесуммы квадратов двух натуральных чисел.  Число, единственным образомпредставимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, не всегда являетсяпростым: 10 = 12 + 32, 25 = 32 + 42.Легко сформулировать условия, при которых число имеет единственноепредставление в виде суммы двух квадратов. Однако боле целесообразнойпредставляется следующая задача, описанная далее.

КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двухквадратов

В IIIвеке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число 65представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 являетсяпроизведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов.Комплексных чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы разложения 5= (2 + i)(2 — i), 13 = (3 + 2i)(3 — 2i и продолжил бы свои объяснения следующимобразом:

65 = (2 +i)(3 + 2i). (2 — i)(3 — 2i) = (4 + 7i). (4 — 7i) =
= 42 + 72 = (2 + i)(3 — 2i). (2 — i)(3 + 2i)=
= (8 — i). (8 + i) = 82 + 12.

По-разномугруппируя множители, получаем два разных разложения!

Следующийпример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в видесуммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по-разному группируя множители:

25 = (2 + i)2. (2 — i)2 = (3 + 4i). (3 — 4i) =
= 32 + 42 = (2 + i)(2 — i). (2 + i)(2 — i) =
= 5. 5 = 52 + 02.

Последний пример — число 5746. Как мы хорошо знаем,всякому представлению 5746 = a2 + b2 соответствуетразложение 5746 = (a + bi)(a — bi) на сопряженные множители. Поэтому разложимрассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простыегауссовы множители:

5746 = 2.132. 17 = (1 + i)(1 — i)(3 + 2i)2(3 — 2i)2(4+ i)(4 — i).

Теперьмы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так, чтобыпроизведение остальных множителей равнялось a — bi. Это нетрудно сделать:

a + bi = (1 + i)(3+ 2i)2(4 + i) = -45 + 61i,

a- bi = (1 — i)(3 — 2i)2(4 — i) = -45 — 61i.

Приэтом, разумеется, 452 + 612 = 2025 + 3721 = 5746. Легконайти и еще два варианта:

a + bi = (1 + i)(3+ 2i)(3 — 2i)(4 + i) = 39 + 65i

или

a + bi = (1 + i)(3 — 2i)2(4+ i) = 75 — 11i.

Ониприводят к представлениям 392 + 652 = 1521 + 4225 = 5746и 752 + 112 = 5625 + 121 = 5746. Никаких другихпредставлений нет

Аналогичноможно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натуральногочисла />где p1,..., pr — попарно различные простые числа, каждое из которых даетостаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простых делителей кроме тех,которые дают остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точнымквадратом, то n не представимо в виде суммы двух квадратов; если же Q — точныйквадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количествопредставлений числа n в виде суммы двух квадратов равно количествупредставлений числа />в виде суммы двух квадратов.Формулу для этого количества нашел немец Петер Густав Лежен Дирихле(1805-1859).

Итак, количествопредставлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a1+ 1).… .(ar + 1) + 1)/2]. (Если числосомножителей равно О, то произведение считается равным 1. Представления,отличающиеся порядком слагаемых, не различаются.

                   ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ />

Теорема: положительноенечетное число представимо в виде  /> тогдаи только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простыхчисел р вида 8n+5 и 8n+7. Данная теорема представима в видеуравнения:       />=N, где N-положит. нечетноечисло.          (1)

  Числотаких представлений равно 2v, где v-число решенийсравнения

                                        />                                                 (2)

Доказательство. Если нечетное N не имеет простыхделителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равнонулю). Тогда получаем, что число форм {N, B, C} с дискриминантом D=-8, таких, что 0/>B<2N, равно v.

Далеедокажем, что все формы с дискриминантом D=-8 эквивалентныформе       {0, 1, 2}.

Действительноесли у приведенной положительно определенной формы {a,b,c} дискриминант  D=/>=-8, то, поскольку />  , имеем />, т.е. ac=2, a=1, c=2, b=0.

Таким образом, при D=-8, так же как при D=-4 и при D=-3 имеется один класс положительноопределенных форм. Для каждой из v формвида {a,b,c} существуют дваунимодулярных линейных преобразования, переводящих {a,b,c} в  {N, B, C},  и тогда получаем, что уравнение(1) имеет 2v решений с взаимно простымизначениями x, y. Число решений сравнения (2) определяется теоремой. Согласноэтой теореме, если N= /> где все />—про­стые числа вида 8+1 и 8n+3, то v=/>  и число представ­ленийN в виде (1) равно />. В частности, отсюдавытекает, что любое простое число р вида 8n+1  или 8n+3 единствен­ным образом может быть представлено в виде суммы квадрата иудвоенного квадрата натуральных чисел.

Примечание.При четном N=2/> могут быть два случая:

1) Если /> нечетное, то, заменяя в уравнении (1) x через 2/> и сокращая на 2, мывозвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной теореме.

2) Если /> четно, т. е. 4/>, тоиз равенства (1) следует 2\х, 2\у, т. е. не существует решений уравнения (1) свзаимно простыми x и y. 

Число решенийуравнений (1) и /> , рассмотренногов первой части реферата, было легко определить благодаря тому, что длядискриминантов D=-4 и D=-8 существует всеготолько по одному классу квадратичных форм. Легко видеть, что если {a,b,c} —положительноопределенная форма с взаимно простыми a,b,c  и если существует только один класспримитивных форм с дискриминантом D=/>, то можно опре­делить числособственных решений уравнения:

/>=N. Известно, что дляследующих значений -D/>100:

                    -D=3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67

существует только поодному классу таких квадратичных форм.

                                       

                                             

                                              ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На Рождество 1640года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, другаДекарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что«всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу,единственным способом представимо как сумма двух квадратов».

В ту поруматематических журналов еще не существовало, информацией обменивались вписьмах, и как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождалисьдетальными доказательствами.

Правда, спустя почтидвадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства описанной выше теоремы. Онпишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска,позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа тогоже и т. д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем кпротиворечию.

Первыедоказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между1742 и 1747 годами. Причем, желая утвердить приоритет Ферма, к которому ониспытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство,соответствующее описанному выше замыслу Ферма.

Воздавая должноеобоим великим ученым, мы называем эту теорему теоремой Ферма-Эйлера.

                                             ЛИТЕРАТУРА:

1. Бухштаб А.А. Теория чисел.-М.: Государственноеучебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375с.

2. www.cryptography.ru

3. mech.math.msu.su

4. courier.com.ru

еще рефераты
Еще работы по математике