Реферат: Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
/>Министерствонауки и образования Украины
Днепропетровскийнациональний университет
механико-математическийфакультет
кафедрадифференциальних уравнений
КУРСОВАЯ РАБОТА
“ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯНЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
МЕТОДОМ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ”
Допускается к защите Исполнитель
Заведующий кафедрой ДР студенткагр. МЕ-98-2
Поляков М.В. БиланО.Ф.
«____» ________ 2002г. подпись___________
подпись ___________
Научный руководитель
ПрофессорОстапенко В.А.
«____» ________2002г.
подпись___________
Рецензент
Доцент БойцунЛ.Г.
«____» ________2002г.
подпись___________
Днепропетровск
2002
Содержание
Содержание……………………………………………………………………….….2
Реферат……………………………………………………………………………….3Annotation…………………………………………………………………………….4Введение……………………………………………………………………………...5
1. МетодВан-Дер-Поля …………………………………………………………7
1.1. Метод усредненияВан-дер-Поля …………………………………………...7
1.2. Обоснованиеметода Ван-дер-Поля
Л. И. Мандельштамом и Н. Д.Папалекси ……………………………………….13
2. Решение уравнения ……………………………………………………………...22
Выводы……………………………………………………………………………...29
Список использованной литературы……………………………………………...30
Реферат
Выпускная работа 30 стр., 5источников.
Выпускная работа «Построение приближеного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля» посвященаэффективному способу решения нелинейных задач теории колебаний с одной степеньюсвободы. Метод Ван-дер-Поля обладает большой наглядностью и удобен дляпроведения расчетов.
Работа содержит теоретические выкладки по методу Ван-дер-Поля,обоснование метода Мандельштамом и Папалекси и построение приближенного решенияуравнения:
/>.
Работа интересна для специалистов в области прикладнойматематики, механики, физики и для студентов старших курсов.
Annotation.
The graduation paper “Approximated solution buildingof nonlinear equation by Van-der-Pol’s method” is dedicated to very effectiveway of nonlinear problems solution of oscillations theory with one degree offreedom. Van-der-Pol’s method possesses the great visuality and is comfortablefor calculations.
The work contains theoretical part by Van-der-Pol’smethod, the validation of Mandelshtam and Papalexy method and approximatedsolution building of the equation:
/>.
This work is very interesting for the experts indomain of applied mathematics, mechanics, physics and for students of seniorcourses.
Введение.
Методы возмущений илиасимптотические методы малого параметра для решения дифференциальных уравненийпредставляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладнойматематики. Они позволяют получать приближенные аналитические представлениярешений весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенныхдифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.
Суть асимптотических методов заключается в том, что при ихприменении достигается синтез простоты и точности за счет локализации: вокрестности некоторого предельного состояния находится упрощенное решениезадачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность.
Аналитические методыобычно делятся на эвристические и точные. Совмещая в себе простотуэвристических представлений с точностью аналитических оценок, асимптотическиеметоды не ограничиваются ролью «золотой середины». В математике они занимаютособое место. Главное отличие от классической математики состоит в том, чтоуровень точности конкурирует с размерами области действия; в заданной областиточность асимптотического разложения всегда ограничена. Такая плата заэффективность оказывается вполне приемлемой не только на практике, но и втеории, если этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту областьматематики, которая занимается асимптотическими методами. Жизненность иперспективность асимптотических методов подтверждается также тем фактом, чтоактивное взаимодействие численных методов с аналитическими происходит такжечерез асимптотику.
Эффективностьасимптотических методов признана всеми в самых разных областях прикладнойматематики.
Многие задачи, с которымисталкиваются сегодня физики, инженеры и специалисты по прикладной математике,не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можноуказать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты инелинейные граничные условия на известных или неизвестных границах сложнойформы. Для решения подобных задач мы вынуждены пользоваться различного родаприближениями, комбинируя численные и аналитические методы. Среди аналитическихметодов весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений)по большим или малым значениям параметра или координаты.
В большинстве задачгидромеханики, динамики твердого тела и других разделов физики крайне редкооказывается возможным получить точные решения — причиной этого служат обычноразличного рода нелинейности, неоднородности или сложные граничные условия.Поэтому инженеры, физики и специалисты по прикладной математике вынужденыобращаться к приближенным решениям, которые могут строиться либо численнымиметодами, либо аналитическими, либо путем комбинации численных и аналитическихподходов.
В настоящее время, вэпоху быстрого развития вычислительной техники, асимптотические методы отнюдьне утрачивают своего значения. Они служат для выяснения качественных особенностейзадач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных«тестовых» решений, а в ряде случаев являются также основой для разработкивычислительных методов.
1.МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
Метод Ван-дер-Поля возник в1920-1923гг. в связи с быстрым развитием радиотехники после изобретенияэлектронной лампы. В связи с созданием различных радиотехнических устройствнеобходимо было создать генератор устойчивых колебаний постоянной амплитуды.Для решения этой задачи необходимо было перейти от линейного генератораколебаний к нелинейному. Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можноиспользовать малые нелинейности, однако даже при малых нелинейностяхполучившаяся задача не допускала интегрирования колебаний в квадратурах.Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрированиядифференциальных уравнений второго порядка подобного рода.
1.1.Метод усреднения Ван-дер-Поля.
В своих исследованиях Ван-дер-Польрассматривал, главным образом, уравнения смалым положительным параметром ε вида
/> (1)
Оно описывает всякого родаколебательные движения в среде низкого сопротивления.
Уравнение (1) условимся называть квазилинейным,а колебания, которые оно описывает, — квазилинейными колебаниями. Функция f может быть весьма общего вида и, в частности, даже разрывной.
Уравнение
/> (1.2)
называется порождающим. Оно описываетгармонические колебания. Общее решение этого уравнения:
х=acos(ωt+φ),
оно описывает некоторый колебательныйпроцесс, обладающий частотой ω. Естественно предположить, что в случаемалых значений ε решение уравнения (1) будет описывать также некоторыйколебательный процесс.
Для получения приближенногорешения уравнения (1) при достаточно малых значениях параметра εВан-дер-Поль предложил особый прием, названный им методом «медленно меняющихся»коэффициентов, аналогичный одному из методов, применявшихся еще Лагранжем внебесной механике. Он представил истинное решение уравнения (1) в виде функции,выражающей гармонические колебания:
х=acos(ωt+φ) (2)
с медленно меняющимися амплитудой аи фазой φ, которые должны находиться из системы дифференциальных уравненийс разделяющимися переменными:
/> , (3)
составленными по определенномуправилу. Уравнения (3), так называемые «укороченные уравнения» Ван-дер-Поля,позволяют сравнительно просто получить приближенное решение исходного уравнения(1). В частности, задача отыскания периодического решения уравнения (1)сводится к значительно более простой задаче нахождения состояния равновесиясистемы, описываемой «укороченными уравнениями» (3).
Перейдем к составлению «укороченных уравнений» длярассматриваемого уравнения (1), или эквивалентной ему системы двух уравненийпервого порядка
/> (4)
Прежде всего, заметим, что приε=0 уравнение (1) превращается в дифференциальное уравнение обычногогармонического осциллятора, и тогда решение системы (4) имеет вид:
/> (5)
где а и φ—постоянные интегрирования.
Будем отыскивать решение уравнения(4) при достаточно малых значениях параметра ε в виде выражений (5), ноуже считая а и φ не постоянными, а некоторыми функциями времени.Для этого будем рассматривать выражения (5) не как решения уравнения (4) приε = 0, а как формулы замены старых переменных х иу на новыепеременные а и φ.
Сделаем замену: />.
Продифференцировав выражения (5) поt, подставим значения производных в уравнениях (4). Принимая во внимание формулы(5), получаем систему уравнений относительно производных, новых переменных а иφ:
/> (6)
разрешая систему (6) относительно /> и />, находим системууравнений:
/> (7)
Система дифференциальных уравнений(7) эквивалентна рассматриваемой исходной системе (4) или, что то же самое,уравнению (1) .
Из системы (7) видно, чтомедленные и быстрые движения для /> разделены.
Усредняяправые части системы (7) мы получим (8):
/> (8)
где принято обозначение />
Таким образом, «укорочёнными уравнениями» для системы (7)являются уравнения (3), где
/> (9)
Уравнения (8) будем называть укороченными уравнениями или уравнениямиВан-дер-Поля. Они значительно проще исходной системы (7), поскольку первоеуравнения может быть проинтегрировано независимо от второго. В системе (8)медленные и быстрые движения для /> разделены.
Интегрируя первое из уравнений этой системы, мы находим закон измененияамплитуды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно найти толькозависимость амплитуды от времени. В рассматриваемой теории для этого достаточнонайти решение уравнения первого порядка (в общем случае нелинейного).
Определение фазы сводится кквадратурам. Наибольший интерес обычно представляет не сама фаза, а скоростьее изменения в зависимости от амплитуды. Ответ на этот вопрос дает непосредственно второе уравнение системы (8).
Итак, метод Ван-дер-Поля решенияуравнения (1) состоит в переходе от переменной х и y к переменным а и />(которыемы будем называть переменными Ван-дер-Поля) и к замене точных уравнений (7)укороченной системой (8).
Система (8) позволяет найтивозможные стационарные (автоколебательные) режимы, т.е. режимы, при которыхамплитуда остается неизменной. Полагая />,находим, что стационарная амплитуда должна быть корнем трансцендентногоуравнения
/> (10)
Заметим, что уравнение (10) совпадаетс одним из тех уравнений, которое мы получили бы, если бы рассматривалиуравнение (1) как квазилинейное и разыскивали периодические решения методомПуанкаре.
Трансцендентное уравнение (10) можетсовсем не иметь действительных решений. Это будет означать, что в системестационарные колебания невозможны. Уравнение (10) может иметь одно илинесколько решений, в случаях консервативных систем оно удовлетворяетсятождественно. В самом деле, в этом случае функция f зависит только отпеременной x, поэтому уравнение (10) примет вид:
/> (10а)
Так как />,то под знаком интеграла стоит полный дифференциал:
/>
Обозначим через F/>— неопределенный интеграл />.
Тогда />,
то есть уравнение (10а)удовлетворяется тождественно по />.
Обоснование метода Ван-дер-Поля
Л. И. Мандельштамом и Н. Д.Папалекси.
Рассмотрим систему стандартного вида
/> (s=1,2) (1)
Уравнение Ван-дер-Поля также можно привести к системестандартного вида:
/> (2)
Сделаем замену
/>,
тогда: /> (3)
Будем считать />=/>.
Среднее значение функции /> за период 2/>:
/>
При этом усреднении интегрированиеведется по третьей переменной t впредположении, что /> и /> от t независят.
/>
Наряду с точной системойрассматривается приближенная
/>, (s=1,2).
Обе системы, приближеннаяи точная, решаются при начальных условиях
/> (4)
Для задач Коши (1) и (4), (3) и (4)справедлива следующая теорема:
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных /> функции /> непрерывны и ограничены. Функции /> также непрерывны и ограничены вобласти Г. />— 2/>-периодические по t. Функции />и />— удовлетворяют условию Липшица по переменным /> и /> (при этих условиях существует и единственнорешение). Тогда для/> /> и L>0:
/> (5)
0/> (6)
Доказательство:
Решение задач Коши (1) и (4), (3) и(4) существует и единственно. Поэтому решение (1) и (4) будем искать методомприближений.
/>
Обозначим
/> (*)
Функция />/>— 2/>-периодическая по />.
Пусть
/> (7)
/> удовлетворяет условиям Липшица по переменным />и/>. Проинтегрируем функцию />:
/>.
Интеграл /> и/> поэтому
/>
/> (7a)
В промежутке /> находятся те значения t, для которых будет существоватьрешение (1) — (4) и оно не выйдет за пределы области G. Это характеризуется так
/>
Из теоремы Пикараследует, что при всех таких tприближенное выражение сходится к решению задачи Коши:
/>
/>
/> />— целую часть от деления обозначим N. Тогда />— дробная часть />
/>,
где />— остаточный интервал.
С учетом возможности такого разбиения
/>
Если рассмотреть />, то последнее выражение перепишетсяв виде:
/>=/>,
где с учетом (4)
/>=/>
/>
Рассмотрим интеграл при />
/>
/> и /> от /> не зависят. Из равенств (7а)следует, что последнее выражение равно нулю />.
Вычислим
/>
То есть
/>
/>
/>
/> (8)
Мы можем сказать, что в (8), все, чтостоит под знаком суммы
/>
Так как
/>,
то последнее неравенство равносильноследующему:
/>
/>/>
/>/>
/>Поэтому:
/>/>=/>, (9)
/>где />
/>/> (10)
/>/>
/>/>— удовлетворяет условию Липшица,поэтому мы можем воспользоваться этим, переходя к оценкам
/>/> (11)
/>
/>
/>/> (12)
/>
Пусть />, причем />, тогда:
/> (13)
Оценим
/> (14)
Фактически нужно оценить величину />.
/>/>
Используем условие Липшица для />, тогда последнее неравенство
/>
(последняя оценка получена с помощьюнеравенства (11)).
/> (15)
/>
/> (16)
Можно увидеть следующуюзакономерность
/> (17)
По методу математическойиндукции, для /> оценки верны. Покажем их справедливость и для />
/>
Используя формулу (13), далее получим:
/> (18)
Теперь в этом неравенстве перейдем кпределу при />
/> (19)
Обозначим через
/>
Так как мы пользовалисьусловиями Липшица, нужно убедиться, что приближения не выходят из области G.
/>— по теореме Пикара это не выходит запределы области G, то есть
/>
В силу плотности числовой прямой
/>, где /> (20)
Проверим, вышло ли первоеприближение за пределы области G.Пользуясь оценками (19) и (20), имеем:
/>
Возьмем
/>,
тогда
/>
Аналогично проверяем второеприближение
/>
Возьмем
/>, тогда
/>/>
И если
/>,
если
/>
Если мы перейдем к перейдем к пределупри />, то получим:
/> (21)
Если мы /> будем выбирать из условия (21), тоиспользование условия Липшица законно.
/> необходимо согласовывать с /> с помощью (21) и
/>
Решение уравнения
Рассмотрим уравнение
/> (1)
Данное уравнение второгопорядка описывает колебательное движение. Здесь ω – некотораядействительная постоянная, а ε – малый параметр.
Делаем в уравнении (1) замену: /> тогда получим систему
/> (2)
Переходимв уравнении (1) к новым переменным a и />,полагая здесь и далее />, согласноформулам/> (3)
Далее, дифференцируем (3) по t, считая />и φ/>.
/> (4)
Подставим (4) в (2), учитывая (3).
/>
/> (5)
Разрешим эту систему относительно />
/>
Домножим второе уравнение на />
/>/>/> ,
тогда имеем:
/> (6)
Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1).Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид
/> (7)
В системе (7) /> и /> имеют вид:
/>
то есть
/>
/>
/>
Таким образом имеем
/> или
/> /> (8)
Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды взависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):
/>
Умножим обе части равенства на />:
/>.
Сделаем замену
/> /> />
/>,
умножаем обе частиравенства на />:
/> /> />
Так как />,
то тогда />,
или />
/> /> />
Предположим,что />, тогда />
/>/>; />;
/>/>+/>.
Отсюда находим
/> (9а)
Колебания представятся следующим образом(находим выражение для приближенного значения x в явном виде)
/> (9)
Найдем />
Динамический режим обладает сильнойустойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение />, малое или большое, всеравно /> при />.
Как видно из выражения (9), если начальное значениеамплитуды />=0, амплитуда останетсяравной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальноерешение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствуетстатическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.
Однако, исходя из формулы (9), нетруднозаключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни быломало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться кзначениям, равным />. Таким образом,поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемойколебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматическивозбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.
Из выражения (9) следует, что если />, то />, и для любых /> /> оченьбыстро приближается к значению /> независимоот />. Это решение соответствуетстационарному (установившемуся) динамическому режиму:
/> (10)
Иначе говоря, любое колебание приувеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будутустойчивы.
Режимы с постоянной амплитудой, для />, приводят к уравнению
А/>=/>=0
/> .
Корни этого уравнения /> />;
/>; /><0 />/>/>
Таким образом, /> соответствуетнеустойчивому состоянию равновесия, а /> соответствуетустойчивому предельному циклу.
Для любого заданного положительного скольугодно малого значения параметра /> всегдаможно найти такое достаточно малое значение параметра />, для которого уравнение (1)или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в />окрестности окружности />, причем этот предельныйцикл устойчив, если/>, и неустойчив,если />. Все эти рассужденияследуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.
Наряду с точной системой рассматриваетсяприближенная
/>, (s=1,2) .
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных /> функции /> непрерывны и ограничены.Функции /> также непрерывны и ограниченыв области Г. />— 2/>-периодические по t. Функции/>и />— удовлетворяют условиюЛипшица по переменным /> и /> (при этих условияхсуществует и единственно решение). Тогда для/> /> и L>0 : />, 0/>,
где /> (s=1,2) />=/>
/> /> (s=1,2)
Проверим выполнение условий теоремы для нашегоуравнения. Из системы (6) находим /> и />:
/>
Очевидно, что /> и /> непрерывны.
/>, из этих неравенств видно, что /> и /> ограничены для любогоконечного />. Функции /> и /> для системы (2) имеют вид:
/>.
Из последней системы видно, что /> и /> непрерывны и ограничены длялюбого конечного />. /> и />— периодические по t с любымпериодом, в том числе и />. Функции/> и />, /> и /> непрерывно дифференцируемыпо t, а следовательно удовлетворяют условию Липшица.
Пусть /> и/>— решения точной системы(6). Тогда для /> /> и /> : />, />.
( В нашем случае />, /> определяется уравнением(9а)).
Выводы
В рамках теории Ван-дер-Поля нельзяуточнить полученные решения.
В заключение заметим, что методВан-дер-Поля позволил исследовать достаточно широкий круг задач нелинейноймеханики (с одной степенью свободы), и задач радио- и электротехники, обладаетнаглядностью и удобен для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданыгенераторы стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающихустройствах, которые используются и по сей день в современной технике. В рамкахтеории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.
Списокиспользованной литературы
1. Ю.А.Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике, «Наукова думка» Киев —1971г.
2. Н.Н. Моисеев Асимптотическиеметоды нелинейной механики, М.: Наука, 1981г.
3. А. Найфэ Методывозмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.
4. А. Найфэ Введениев методы возмущений. «Мир», 1984г.
5. Андронов А.А.,Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз, М.,1959г.