Реферат: Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

БеловскийФилиал Кемеровского Государственного Университета

Построение графикафункции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

Дипломная работа

Выполнила:

студентка VIкурса

математического факультета

Денисюк Надежда

Научный руководитель:

Сафонова В.Ю.

Белово

2001

Оглавление.

Наименование Стр. Введение 3 Глава 1. Самостоятельная работа, их виды и формы 5 Глава 2. Построение графика функции, приёмы и методы 17 §1. Анализ программ и учебников 17 §2. Построение графика функции с помощью преобразования 23 §3. Применение производной к построению графика функции 31 Глава 3. Формирование умений самостоятельной работы при изучении функций в школьном курсе математики 37 Литература 45

 

ВВЕДЕНИЕ.

«Школадолжна дать

учащимсяне только

определеннуюсумму

знаний,но и привить

умениесамостоятельно

пополнятьсвой запас

знаний,чтобы ориенти-

роватьсяв стремительном

потокесовременной

научно– технической

информации»

АкадемикА. Александров.

В условиях высокого уровня развития науки и техникиособые требования предъявляются к подготовке учащихся в школе. Задачаобразования не может сводиться только к вооружению учащихся определённой суммойзнаний. Необходимо сформировать у них умение оперировать приобретенными знаниями,применять их в новых ситуациях, делать самостоятельные выводы и обобщения,находить решения в нестандартных условиях. В настоящий период, когда развитиенауки и техники происходит чрезвычайно быстро, когда делаются всё новые и новыенаучные открытия, когда появляются неизвестные ранее отрасли науки, техники,экономики, исключительную значимость приобретает проблема подготовки учащихся ксамостоятельному овладеванию новыми знаниями, к изучению научной и техническойлитературы.

        Одним из условий успешной трудовой деятельности исамостоятельного овладевания новыми знаниями является достаточно высокийуровень развития мышления и речи. Достижению этого уровня способствует обучениевсему циклу школьных предметов, составляющих содержание среднего образования.Изучая гуманитарные и естественно-математические дисциплины, ученик не толькорасширяет имеющийся запас знаний, но и овладевает определённымиинтеллектуальными умениями, обогащает  свою речь,  т.е.  поднимается на новуюступень своего развития. Роль математике в этом процессе исключительно велика. Изучение математике создает предпосылки для развития логического мышления,овладения навыками дедуктивных рассуждений, формирование точности илаконичности речи. Однако успешность реализации этих предпосылок во многомзависит от того, насколько эффективно организован в этом направлении учебныйпроцесс. Поэтому одно из требований подготовки учащихся к творческому труду исамостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний состоит в такойорганизации учебной деятельности учащихся на уроках и при выполнении домашнихзаданий, которая обеспечивает осуществление целенаправленной и систематическойработы по формированию интеллектуальных умений учащихся и развитию их речи.

        Другуюсторону вопроса составляет формирование у учащихся некоторых общих учебныхумений. Для того чтобы самостоятельно изучать научную и техническую литературу,необходимы определённые навыки работы с текстом. Сюда относится умение читатьтекст, насыщенный информацией, вычленять из него главное, ставить перед собойвопросы и находить в тексте ответы на них, определять, что осталось невыясненным до конца, четко формулировать, что именно надо выяснить, обращатьсяза справкой к другому разделу книги или другой литературе и т.п. Вместе с тем,для того чтобы подготовить учащихся к применению знаний в конкретных условиях,к решению сложных вопросов, выбору из имеющегося набора решений оптимальноговарианта и т.д., необходимо сформировать определенные умения в решении задач.Их компонентами являются умения вычленять некоторые взаимосвязи, вытекающие изусловия задачи, составлять план решения, осуществлять решение, привлекая вслучае необходимости справочный материал, оценивать результат, проверятьправильность решения.

        Несмотряна то, что вопрос о самостоятельной работе стоит перед школой давно, этот методобучения не находит и сегодня должного применения, Анализ школьной практикипоказал, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13%  всеговремени урока, причем и это время на уроке мало эффективно.

        Проводяту или иную самостоятельную работу учащихся, учителя рассматривают её каксамоцель, не обращая внимания на то, способствует ли она активной мыслительнойдеятельности ученика или нет.

        Частобольшое число самостоятельных работ направленно лишь на выполнение заданий пообразцу, среди которых мало заданий творческого характера.

        Одиниз недостатков в методике проведения самостоятельных работ состоит воднообразии их видов, используемых учителем.

        Абсолютноебольшинство самостоятельных работ на уроках математике приходится назакрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения ина проверку знаний учащихся.

        Значительноменьшее число их используется при изучении нового материала.

        Самостоятельнаядеятельность учащихся повышает эффективность обучения лишь в том случае, когдаучителем проведена рациональная её организация.

Глава 1.    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ИХ ВИДЫ И ФОРМЫ

        Под самостоятельнойработой понимают работу выполняемую «извне» без активной помощи. Провести болеечеткую границу между самостоятельными работами и работами, выполняющими подруководством учителя довольно трудно. Но для практике знание этого вопроса неимеет существенного значения. Более важным представляется знание смыслаиспользования самостоятельной работы при обучении математике. Самостоятельная работа в обучении математике не самоцель, она необходима для перевода знаний«извне», во внутреннее достояние учащегося, необходима для овладения этимизнаниями, а также для осуществления контроля со стороны учителя за ихусвоением.

          Притрадиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положениеобъекта передаваемой ему извне информации, такой постановкой образовательногопроцесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активностиученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении.

Самостоятельная деятельность учащихся можно и нужноорганизовывать на различных уровнях, от воспроизведения действий по образцу иузнавание объектов путем их сравнения с известным образцом до составлениямодели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.

Переходом с одного уровня на другой долженосуществляться полностью, только когда учитель будет убежден, что учащийсясправится со следующим уровнем самостоятельности, иначе в атмосфере спешки инервозности у ученика возникают пробелы в знаниях. Очень важно, чтобысодержание самостоятельной работы, форма и время её выполнения отвечалиосновным целям обучения данной теме на данном.

В то же время учителю нужно знать, что злоупотреблениесамостоятельной работой в учебном процессе также вредно как и её недооценка.

Бываеттак, что учитель включает в урок самостоятельную работу без особойнеобходимости, просто ради разнообразия, не продумав её содержание и форму организации.Результаты бывают плачевны: или дети не готовы выполнить задание, или нехватило времени и т.п. Но, если учитель, составляя план урока, продумал место ивремя самостоятельной работы четко, определил

ею общее содержание, разбил задания поразным уровням сложности то она сыграет свою положительную роль.

Поэтому учителю важно знать формы и видысамостоятельных работ, их место в процессе обучения.

Взависимости от целей от целей, которые ставятся перед самостоятельны миработами, они могут быть:

1) Обучающими;

2) Тренировочными,

3) Закрепляющими,

4) Повторительными;

5) Развивающими

6) Творческими,

7) Контрольные.

1. Смысл обучающих    самостоятельныхработ заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителемзаданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ развитие интересак изучаемому материалу привлечение каждого ученика к тому что объясняетучитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты даютсебе знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал.Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки квведению нового содержания, также при непосредственном введении новогосодержания, при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснениянового, когда знания учащихся еще не прочны.

Учителю необходимо знать следующие особенности  обучающих самостоятельных работ: их надо составлять в основном из заданийнепродуктивного характера, проверять немедленно и не ставить за них плохихоценок.

Так как самостоятельные обучающие работы проводятся вовремя объяснения нового материала или сразу после объяснения, то их немедленнаяпроверка дает учителю четкую картину того, что происходит на уроке, каковастепень понимания учащимися нового материала, на самом раннем этапе егообучения. Цель этих работ -не контроль, а обучение, поэтомуим следуетотводить много времени на уроке. К самостоятельным обучающим работам можнотакже отнести составление примеров на изученные свойства и правила.

2. К тренировочным самостоятельным работам относятсязадания на рас познавание различных объектов и свойств.

В тренировочных заданиях часто требуется воспроизвестиили непосред­ственно применить теоремы, свойства тех или иных математическихобъектов и др.

Тренировочные самостоятельные работы состоят изоднотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данногоопределения, правила. Конечно эта работа мало способствует умственному развитиюдетей, но она необходима, т.к. позволяет выработать основные умения и навыкитем самым создать базу для дальнейшего изучения математики. При выполнениитренировочных самостоятельных работ еще необходима помощь учителя. можноразрешить пользоваться и учебником и записями в тетрадях, таблицами и т.п… Всеэто создает благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях онилегко включаются в работу и выполняют её. К таким работам можно отнестивыполнение заданий по разно уровневым карточкам. Сейчас такие дидактическиематериалы выпущены по алгебре и геометрии для всех классов.

По этим карточкам учащиеся привыкают работатьсамостоятельно. Учителю удобнееими пользоваться, если он собереткомплот карточек по темам. Каждый комплект может состоять из 8-10 вариантовразного уровня.

3. К закрепляющим можно отнести самостоятельныеработы, которые способствуют развитию логического мышления и требуюткомбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают,насколько прочно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданийданного типа учитель определяет нужно ли еще заниматься данной темой. Примерытаких работ в изобилии встречаются в дидактическом материале.

4. Очень важны так называемые повторительные (обзорныеили тематические) работы. Перед изучением новой темы учитель должен знать,познавательны ли школьники, есть ли у них необходимые знания, какие проблемысмогут затруднить изучение нового материала.

5. самостоятельными работами развивающего характерамогут быть д./з. по составлению докладов на определенные темы, подготовка колимпиадам, научно творческим конференциям, проведение в школе дней математикии др. На уроках-то самостоятельные работы, требующие умения решать ис­следовательскиезадачи.

6.Большой интерес вызывают у учащихся творческие самостоятельные работы, которыепредполагают высокий уровень самостоятельности. Здесь уча­щиеся открывают длясебя новые стороны уже имеющихся у них знаний, учатся применять эти знания вновых неожиданных ситуациях. Это задания на нахождение второго, третьего и т.д.способа решения задачи.

7.Контрольные работы являются необходимым условием достижения планируемыхрезультатов обучения.

        По существу разработкатекстов контрольных работ должна быть одной из основных форм фиксирования целейобучения, в том числе и минимальных. Поэтому, во-первых, контрольные заданиядолжны быть равноценными по содержанию и объему работы; во-вторых, они должныбыть направлены на отработку основных навыков, в-третьих, обеспечиватьдостоверную проверку уровня знаний; в-четвертых, они должны стимулироватьучащихся позволять им продемонстрировать прогресс в своей общей подготовке.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

 

1.   Работас книгой

2.   Упражнения

3.   Выполнениепрактических и лабораторных работ

4.   Проверочныесамостоятельные, контрольные работы, диктанты, сочинения

5.   Подготовкадокладов, рефератов

6.   Домашниеопыты, наблюдения

7.   Техническоемоделирование и конструирование

 

ТИПЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

(в соответствии с уровнями самостоятельнойдеятельности)

 

Воспроизводящие

 

Реконструктивно-вариативные

 

Эвристические

 

творческие

 

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ

САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ

ФРОНТАЛЬНЫЕ

ГРУППОВЫЕ

Самостоятельнаяработа может рассматриваться как дидактическое родство, с помощью которогоучитель организует деятельность ученика на уроке и при выполнении домашнегозадания, активная самостоятельная деятельность предлагает наличие у учащихсямногих умений.

Основнымииз них являются:

1.работас книгой (учебником, математическим текстом, справочниками, таблицами и.др.),работа по плану, алгоритму, предписанию.

Навыкиработы учащихся по плану особенно успешно развиваются на уроках геометрии.Работа по образцу, решение задачи стандартного вида. Умение работать по образцуне приходит само собой, а требует специальных приемов работы учителя, на урокахматематики можно применить карточки с пропусками для многократного использованиякарточки удобно вложить в полиэтиленовый пакет. Тогда учащиеся заполняяпропуски, пишут на пленке, после проверки работы карточка вынимается из пакетаи может быть использована  повторно,  написанное  на  пленке  легко  стирается.Классификация. систематизация учебного материала —успех самостоятельной работынередко зависит от умения систематизировать учебный материал.

Однаиз сторон самостоятельного мышления — сформированность привычки к самоконтролюи умение его проведения. Здесь учащемуся могут быть предложены различныерекомендации, они учат давать рецензию на ответ товарища, другие учат на урокепроверять решение задач по такой памятке:

а) Проверьте, правильно ли выписано условие задачи?

б) Верно ли сделан чертеж?

в)Просматривается ли логический план решения задачи?

г)Достаточно ли обоснованно решение, рационально ли оно?

д) Чтовам мешало при проверке, есть ли замечании: при проверке?

е)Ваша оценка работы

ж)Работа по собственной инициативе.

Длятого, чтобы самостоятельную работу приблизить к практической деятельности,полезно проводить лабораторные работы. Их можно дифферен­цировать как посодержанию, так по методам выполнения- от простейших задач практическогохарактера на.непосредственное применение знаний до серьезных исследовательскихработ, связанных с конструированием и математическим моделированием.Лабораторно- практические работы разви­вают учащихся навык приближенныхвычислении, учат пользоваться табли­цами и микрокалькуляторами, справочнойлитературой, проводить различные измерения и построения геометрических фигур, атем самым демонстрируют прикладной характер математики.

Однакопроведение лабораторных работ сложнее в методическом отно­шении, чеморганизация других видов самостоятельных работ. Они требуют от преподавателябольшей подготовки, их проводят 2-3 раза в год.

Математика как никакой другой предмет позволяетформировать нужный для самостоятельной работы навык самоконтроля за своейработой.

Остановимся на специфике формирования навыковсамоконтроля при проведении математических диктантов, которые желательнопроводить после изучения соответствующего материал каждого пункта задачиучителю большей частью приходится составлять самому, т.к. число задач сустановкой на самоконтроль составляет менее 20% от общего числа заданий, имеющихсяв учебниках и учебных пособиях по математике для средней школы.

Ответы к заданиям заготавливаются заранее и поокончанию диктанта представляютих для пользования учащимся.

При проведении диктантов учитель должен четкопредставлять себе ре­зультативность следующих видов работ: а) проверкадиктантов только учителем; б) взаимопроверка работ соседями по парте; в)взаимопроверка работ соседями по варианту; г) самопроверка;

Наиболеевысокий % объективных оценок, как правило бывает при взаимопроверке соседей поварианту. Самый низкий- соседей по парте, т.к. обмен работами в этом случаеприводит к перемене варианта задания. Продуктивность самостоятельной работызависит во многом от общих умений познавательной деятельности, поэтому учащихсянужно ориентировать на развитие умений обобщать, классифицировать,систематизировать и строить различные схемы изучаемого материала.

Приэтом целесообразно подчеркивать, что например построение таблиц, схем графиковв ходе изучения материала позволяет увеличивать объем запоминаемойинформации(по сравнению с запоминаем на слух на 15-20%).

Организациясамостоятельной работы на уроке  вызывает большие трудности, здесь нельзяограничится фронтальными воздействиями: учителю необходимо дифференцироватьработу учащихся, 'организовывать управление ею, приблизить самостоятельнуюработу к реальной практической деятельности. Решение каждой их этих задачдостигается с помощью учебного оборудования. Уже давно и прочно в практикушколы вошли дидактические материалы," составленные по вариантам сразличным уровнем трудности заданий.

Управлениесамостоятельной работой учащихся в значительной мере можно поручить ТПО(таблицы программного обеспечения).

Приэтой работе облегчается управление классом со стороны учителя. Доказательствотеоремы можно провести в виде структированного текста, содержащего блоки.Обращение к таким таблицам не только способствует непроизвольному и прочномузапоминанию, но и учит самостоятельному изучению нужных сведений, работе сосправочной информацией.

Хочется отменить организациюуроков- зачетов, которые называются математическими рингами, где ярко выраженасамостоятельная работа при подготовке.

За неделю до зачетапредлагаются учащимся теоретические вопросы по определенной теме, которые ондолжен подготовить. К зачету учащиеся переписывают вопросы, а слева оставляютместо для оценок за ответы на них. До зачета договорится, что на своихкарточках с тыльной стороны учащиеся проведут красную или желтую, или зеленуюполосу, красная полоса обозначает, что обладатель такой карточки уверен в своихзнаниях и хочет выйти на ринг одним из первых, желтая полоса свидетельствует отоми, что ученик не слишком уверен в своих знаниях, а зеленая говорит еще оменьшей

уверенности.

1-ыйвопрос по теории ученики берут из предложенного заранее им списка, адополнительные вопросы могут быть какими угодно по данной теме. Ребята могут ихзаписывать из учебника или придумывать сами. Можно предложить и занимательнуюзадачу и чем она оригинальна, тем больше баллов получит тот, кто её предложил,ребята должны быть настолько хорошо подготовлены, чтобы отвечать с«ходу». При ответах разрешается делать на доске схематическиечертежи, краткие записи. Если ответ надо подтвердить доказательством,отвечающий получает несколько минут для подготовки. Пока один ученик готовится,вопросы задают другому. За правильностью ответов учитель следит вместе склассом. Каждому ученику разрешается дополнить или i поправитьотвечающего. Его активность также оценивается баллами, заработанные баллывыставляются в специальную ведомость. Её. ведет ученик- "' контролер. Введомости несколько граф, в которых проставляются баллы за' работу заранееустановленного типа. Опрос сильных учащихся продолжается г целыйурок.

Навтором этапе математического ринга учащиеся экзаменаторы. рассаживаются, поодному за пронумерованные столы. Этот номер вопроса в списке вопросов,предложенных перед зачетом. Учащиеся, переходя от стола к столу должныпобеседовать с каждым экзаменатором, но последовательности бесед ониустанавливают сами.

Тотиз учащихся, кто почувствовал затруднение, может обратится к уче­бнику. Ребятас желтой полосой могут воспользоваться учебником дважды, ас зеленой трижды.Штрафные очки им при этом не присуждаются.

Натретьем этапе математического ринга происходит подведение итогов, подсчетполученных баллов и выставление каждому участнику определенной оценки.

Условиявыставления баллов следующие:

1)3аответ на каждый их обязательных вопросов — по 10 баллов,

2)3арешение коллективной задачи-10 баллов

3)3а сообщение по теме — 20 баллов

4)3а активноеучастие в опросе — 3 балла

5)3аоперативность — 5 баллов

6)3а дополнительную задачу-20 баллов.

После подведения итогов учащимся выставляются оценки. Если ученик получитот 110-140 баллов-«5», от 90-100 баллов –«4», от 70-90баллов-«3», от 60 и меньше.

Решение учеником домашней задачи считается самос­тоятельнойработой, но степень самостоятельности здесь установить трудно. Однаковыполнение учащимися различных практических заданий связанных с построениями,измерениями при условии, что они индивидуализированы можно всегда считатьсамостоятельной работой.

Эффективностьсамостоятельной работы, формирование навыков самос­тоятельной деятельности вомногом зависит от своевременного анализа результатов работы, когда у ученикаеще не окончен процесс корректировки собственных знаний, когда образно говоря,он еще не успел «поспать» быть может ошибочную информацию в память,очевидно, что анализ самос­тоятельной работы должен носить обучающий характер,т.е. не просто констатировать количество ошибок, а производить их разбор, стем, чтобы учащиеся смогли до конца понять вопросов котором сделали ошибки.

Вуправлении самостоятельной работой школьников у учителя наблю­даются такиеошибки:

а)Учителя нередко совершенно избегают единых для всех учащихся учебных заданийиз-за боязни списывания, но без этого вообще невозможно организоватьучебно-познавательную деятельность, работу всего класса,

б)Другая ошибка — когда учебная работа задается фронтально, но учитель не следуетза тем, чтобы она сразу протекала в индивидуальной фазе, когда все ученикисамостоятельно независимо друг от друга пытаются выполнить упражнение, решитьзадачу.

Устная работа в таких случаях ведется лишь с активом класса,ведь ответы первых опрошенных учеников дают подсказку остальным. Учебныезадания, предназначенные для устной работы должны быть не громоздкими, своегорода учебными заданиями на сообразительность, различных вычислительныхрасчетов, а ответ имел лаконичную, не громоздкую форму. Если при проведениисамостоятельной работы учитель сталкивается и с такими трудностями:

а)учащиесязаканчивают работу не одновременно, поэтому целесообразно включатьдополнительные задания для тех, кто работает быстрее. б)трудно подобратьзадание, однако посильное для всех учащихся. Если выполняется ряд однотипныхупражнений, то здесь его посильность реализуется его объемом; трудноорганизовать проверку самостоятельной работы. Можно использовать  вращающуюся  доску   или   кодоскоп   для   проверки самостоятельной работы.

Самостоятельная работа как прием обучения может входить почти во всеметоды обучения, воспитывать в учениках потребность самостоятельно добыватьзнания, умение творчески пользоваться объяснениями учителя, помощью товарищей,книгами, конспектами одна из важнейших целей нашей работы.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИЙ

                           ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ

 

§1. Анализ программ и учебников

 

«Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Тема

Основная цель

График функцииy=kx+b. График функции y=kx.

В данной теме начинается работа по формированию учащихся умения находить значение функций по известному значению аргумента (по графику) и решать по графику обратную задачу. Учащиеся должны понимать, как влияет знак коэффициента k на расположение координатной плоскости графика функций y=kx, где k¹0, как зависит от значений k и b взаимная расположение графиков двух функций вида y=kx+b.

График функции y=k/x.

При изучении свойств функции y=k/x, важно рассмотреть с учащимися расположение в координатной плоскости графика этой функции при k<0 и k>0.

График функцииy=Öx.

При изучении функции y=Öx, полезно остановится на вопросе о её связи с функцией y=x2  , где х³0

График функции y=ax2+bx+c.

Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции у=ах2, её свойств и особенностей графика. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции y=ax2+bx+c может быть получен из графика функции у=ах2, двух параллельных переносов вдоль осей.

Приёмы построения графика функции y=ax2+bx+c обрабатываются на конкретных примерах. При этом следует обратить внимание на формирование умения указывать координаты параболы, её ось симметрии, направление ветвей параболы.

“Алгебра, 7”, “Алгебра, 8”, “Алгебра, 9”, авт. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

 

Тема

Основная цель

Функция y=kx+b и её график. В данной теме начинается работа по формированию у учащихся умения находить значение функций по известному значению аргумента(по графику) и решать по графику обратную задачу. Функция y=kx и её график Учащиеся должны понимать как влияет знак коэффициента k на расположение координатной плоскости графика функций y=kx, где k=0, как зависит отзначений k и b взаимное расположение графиков двух функций при k<0 и k>0. Функция y=k/x и её график При изучении свойств функции y=k/x, важно расмотреть с учащимися расположение в координатной плоскости графика этой функции при k<0 и k>0 Функция y= x и её график При изучении функции y= x, полезноостановится на вопросе о её связи с функцией y=x, где  х>0.

Функция y=ax2+bx+c  её свойства и график

Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции y=аx2, её свойств и особенностей графика. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции y=ax2+bx+c может быть получен из графика функции y=ax двух параллельных переносов вдоль осей. Приёмы построения графика функции y=ax2+bx+c отрабатываются на конкретных примерах. При этом следует уделять внимание формированию умению указывать координаты вершины параболы, её ось симметрии, направление ветвей параболы.

 

”Алгебра,7”, ”Алгебра, 8”, ”Алгебра, 9”, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.

 

График функции. Функция y=kx и его график Вводится понятие график функции. начинается работа по формированию у учащихся умений находить значение функции, заданной графиком, по известному значению аргумента, а также определять по графику функции значение аргумента, если значение функции задано. Изучение линейной функции предшествует изучение функции  y=kx и ее график. Рассматривается зависимость  расположения графика функции от значения коэффициента  k. Учащиеся должны понимать, как влияет знак k на расположение графика. Функции y=x, y=ax, y=ax +bx+c и их графики Научит строить график квадротичной функции. Последоательно знакомить с графиками и свойствами этих функций. Построение этих графиков на конкретных примерах осушествляется по точкам. Основное внимание уделяется построению графика с использованием координат вершины параболы, нулей функции (если они имеются) и нескольких дополнительных точек. Преобразования же графиков являются вспомогательным материалом. Формируются умения определять по графику промежутки возростания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции Функция y=k/x Выработать умение устанавливать основные свойства (читать график), по заданному графику функции y=x, y=x, y=1/x, y= x, y=k/x, y=ax +bx+c и изображать эскизы графиков этих функций.

 

“Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных”, “Математика 8:Алгебра функции. Анализ данных”, Математика 9: Алгебра функции. Анализ данных”,авт. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.

 

Тема Основная цель

Графики зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=½x½. Графики реальных зависимостей

Познакомьтесь с графиками зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=½x½, сформировать первоначальные навыки интерпретации графиков реальных зависимостей. Учащиеся должны уметь достаточно быстро строить графики, указывая несколько характерных точек, изображать эти графики схематически. Рассматривается график y=½x½. Специальное внимание уделяется работе с графиками реальных зависимостей температуры, движения и др. Акцент ставится на умение считывать с графика нужную информацию.

Графики функций y=kx, y=kx+l, y=k/x. Графики реальных зависимостей

При построении графиков формулируется представление об общих свойствах функции (нули, промежутки, монотонности, сохранение знака)

График функции y=ax2+bx+c.

Научит строить график квадратичной функции, по графику читать её свойства; учащимся сообщается, что графиком квадратичной функции является парабола, рассматриваются готовые графики квадратичной функции и анализируются их особенности (наличие оси симметрии, вершины направление ветвей, расположение по направлению к оси). Учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на её симметрию. Сначала рассматриваются свойства и график функции y=ax2, затем показывается как при сдвигах параболы y=ax2 вдоль осей координат получаются графики новых квадратичных функций. Здесь формируется умение находить вершину и ось симметрии графиков квадратичных функций, заданных формулами y=ax2+q, y=a(x+p)2, y=a(x+p)2+q. Рассматриваются некоторые примеры, связанные с переносом вдоль осей координат произвольных графиков. Центральным моментом является доказательство того, что график любой квадратичной функции y=ax2+bx+c может быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболы y=ax2, после чего учащиеся могут находить абсциссу вершины параболы по известной формуле. Значительное место отводиться задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические представления.

 

Старшая школа

 

«Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс», авт. М.ИБашмаков.

Тема

Основная цель

Графики тригонометрических функций Изучить свойства и графики тригонометрических функций, учащиеся должны хорошо усвоить вид графиков тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции Изучить графики показательной и логарифмической функции

 

“Алгебраи начала анализа, 10 — 11”, авт. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин идр.

Графики тригонометрических функций Особое внимание нужно обратить на графическую интерпретацию свойств.Значительно расширит возможности учащихся в построении графиков функции рассмотрение вопроса о преобразовании графиков (параллельный перенос на заданный вектор, растяжение вдоль оси Ох), что позволит осознано строить графики гармонических колебаний Применение производной к исследованию функции и построению её графика Существенное внимание следует уделить решению разнообразных задач связанных с иследованием функции.

 

“Алгебраи начала анализа, 10 — 11”, авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.

Тема

Основная цель

Степенная, покозательная, логарифмическая функции их свойства и графики Познакомить учащихся с графиками этих функций. Познакомить их с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и покозателей степени. Особое внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику. Тригонометрические функции и их графики. Научит учащихся строить графики тригонометрических функций. Учащиеся должны научится выполнять эскизы графиков, используя эти свойства, а также устонавливать эти свойства по графику. Применение производной к построению графиков функций При изучении графика функций полезно показать построение графиков функций, которой не являются неприрывной на всей области определения. И особенности построения графиков четной и не четной функции.

 

Программа для школы суглубленным изучением математики.

 

«Алгебра, 8», авт. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С.Сурвилло и др. «Алгебра, 9», авт. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов,А.И. Кудрявцев.

Тема

График функции. Простейшие преобразования графиков (параллельные переносы вдоль координатных осей). График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Öx, y=Ö(x-m)+n. Отражение свойств функции на графике. Преобразование графиков функций: симметрия относительно осей координат и относительно прямой y=x. Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций связанных с модулем. Примеры построения графиков рациональных функций. Графики функций y=[x], y={x}. Графики функций y=xn, y=Öx.

 

«Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нелеков, С.Б. Суворова, «Учебные пособия, Алгебра. Дополнительныеглавы к школьному учебнику 8 (9) класса», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.

Тема

Построение преобразование графиков функций. График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Öx, y=Ö(x-m)+n. График квадратичной функции. Построение графиков функций. График функций y=-f(x), y=f(-x), y=-f(-x), y=½f(x)½ y=f(½x½).  [Графики функцийy=½x½  и  y={x}.].

 

«Алгебра и математический анализ, 10», «Алгебра иматематический анализ, 11», авт. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд.

Тема Построение графиков функций элементарными методами. Преобразование графиков. Графики дробно – линейных функций. Графики функций, связанных с модулем. Графики взаимно обратных функций. Построение графиков функций с помощю производной. Графики тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции

§2. Построение графика функций с помощьюпреобразования

Во многих случаях графикифункций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известныхграфиков других функций более простого вида. График функций вида:

y=Af(ax+b)+B

может быть получен из графикафункций y=f(x)при помощи следующих геометрических преобразований:

1.      а)Осевой симметрии относительно оси X;

б) осевой симметрии относительнооси 0Y;

в)центральной симметрииотносительно начала координат точки0;

2.  а)Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;

б) параллельного переноса(сдвига) вдоль оси 0Y;

3.  а)Растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;

б) растяжения (или сжатия) понаправлению оси Y;

         Отметим, что:

1.        а) При осевой симметрии относительнооси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);

б) При осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y);

в) При центральной симметрии относительно началакоординат (x;y) переходит в точку (-x; -y);

2.        а) При параллельном переносе вдольоси 0X точка (x; y)переходит в точку (x+a; y), где а –некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>, и«влево», если а<;

б) ) При параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b –некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>, и«вниз», если b<;

3.      а) При растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p¹1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);

б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q¹1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);

Применительно к графикам функций эти свойства дают теконкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которыхпозволяет из известного графика функции y=f(x)строитьграфики других функций (рис. 1 — 11).

Таблица №1         

/>

                                     

Рассмотрим несколько примеров построения графиковфункций:

        

/>         Пример 1.График функцииy=2x-3 получается из графика y=2x припомощи параллельного переноса его вдоль осиY вниз на отрезок длины 3.

/>Переписав 2x-3 в виде2(x-3/2),замечаем, что график функции       y=2(x-3/2)можно получить из графика функции y=2x при помощи

параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2 (рис. 12).

        

/>         Пример 2.  График функции y=4x2<sup/>получается из графика функции y=x2<sup/> растяжениемпоследнего в 4 раза вдоль оси 0Yотносительно оси 0X. Переписав 4x2<sup/> в виде (2x)2<sup/>, замечаем, что график функции y=x2<sup/>можно получить из графика функции y=x2<sup/>сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0X относительно оси 0Y (рис.13).

        

/>         Пример 3. График функцииy=2x-3получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси X вправо на отрезок длины 3.

Переписав 2x-3<sup/> в виде(1/8)*2x  , замечаем, что график функции     y=(1/8)*2x<sup/> можно получить из графика функции y=2x<sup/>сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X (рис. 14).

        

         Пример 4.  Построить график функции:

                                                y=1/2arctg(i/4-x)

/>Решение:построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис.13):

arctg ® arctg(-x)® 1/2arctg(-x)®1/2arctg(-(x-1/4)).

        

        

Пример 5.  Построить график функции:

y=ax2<sup/>+bx+c,  a¹0.

/>Решение:квадратный трехчлен ax2+bx+c можно записатьв виде a(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюдавидно, что график функции           y=ax2<sup/>+bx+c, получается изпараболы y=x2<sup/> последующей схеме:

x2® ax2® ax2+(4ac-b2)/4a® a(x+b/(2a))2<sup/>+(4ac-b2<sup/>)/4a

т.е. для построения графика y=ax2+bx+c надо:

1.    />Растянуть в |а| раз, если |а| >1 (сжать |1/а| раз, если |а| <1), вдоль оси0X график функции y=x2<sup/> (свозможным последующим отображением полученного графика функции y=|a|x2<sup/> относительнооси 0Y, если а<).

2.    />Параллельно перенести вдоль оси 0Y на отрезок длины |(4ac-b2)/4a| вверх (вниз) график функции y=ax2<sup/>, если величина (4ac-b2)/4a положительна (отрицательна).

3.    Полученный после предыдущегопреобразования график параллельно перенести вдоль оси 0X на отрезок длины |b/2a| вправо, если b/2a<0, и влево, если b/2a>0.

/>        

         Пример 6. Построить график функции:

y=|x2-5x+6|

Решение: построим график функцииy=x2-5x+6

x2 ®(x-5/2)2 ®(x-5/2)2 -1/4=x2 -5x+6

На рисунке изображен график функций y=|x2-5x+6|

/>/>Иногда функция, график которой должен быть построен, представляетсякак сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могутбыть построены. В этом случае можно применить приём графического сложенияординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков.)покажем этот приём на примерах.

Пример 1. Построить график функций y=x3<sup/>+2x+2.

Решение:можно представить данную функцию как сумму функций y=x3иy=-2x+2,графики которых нам хорошознакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическаяпарабола y=x3. Далеепроизводится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболыприбавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этойоперации удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использоватьнаиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере –вершину O(0; 0)параболы, точки пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения служитграфик, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции: она имеетмаксимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д. Положение этиххарактерных точек её графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.

         

Пример 2. Построить график функций y=2ч-2x.

Решение:график данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y=2x<sup/>и линейной функции y=-2x. Это сделано нарис. 17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2, являющихся нулями функции y=2ч-2x.

Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x являетсяасимптотой графика (т.к. при x, стремящимся к минусбесконечности, разность между значениями функций y=2ч-2x и y=-2xстремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найтиеё точное положение для нас затруднительно.

Пример3. Построить график функций y=x2-x4.

Решение: график может бытьпостроен вычитанием ординат графика y=x4  из ординат графика y=x2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить этопостроение некоторым общим исследованием свойств функции y=x2-x4. Ясно, что функция определена для всех значений x и является четной. Она обращается в нуль при x=0, x=±1. Как видно из построения графикаметодом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. Вданном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции:

y=x2-x4=1/4-(1/4-x2+x4)=1/4-(x2-1/2)2 .

Теперьвидно, что наибольшее значение y=1/4 функция имеет при х=±1/Ö2. Точка x=0 является точкой минимума данной функции (но значениефункции в этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).

(книга 2)

          Используягеометрические преобразования, рассмотренные выше, в их различных комбинациях,можно построить и графики более сложных функций.

         

Пример1. Построить график функций

y= |||x | — 1| -2|

Решение: график данной функции можно построить пографику функции y=||x|-1|,  если последний параллельноперенести  вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 2, а затем эту часть полученногографика функции y= ||x | — 1| -2, которая расположена в нижнейполуплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X. Графикфункции    y= ||x | — 1| можно построить по графикуфункции y= |x| если последний параллельноперенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученногографика функцииy= |x| — 1, которая расположена в нижнейплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X.

Таким образом, график заданнойфункции может быть построен согласно схеме: x®|x|®|x|-1®||x|-1|® ||x|-1|-2®|||x|-1|2|

/>

/>

§3.              Применение производной

                             к построению графика функции

Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x)находят несколько точек графика функций y=f(x)и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методелегко пропустить какие-то особенности графика и допустить ошибку в построении.

          Для построения графика функции нужно исследоватьеё свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потомисследовать функцию на честность и периодичность. Т.к. график четной функциисимметричен относительно оси Оу, а графикнечетной  — относительно начала координат, то для четных и нечетных функцийможно ограничится исследованием их свойств лишь при х³0. Еслипериодическая и Т– её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции напромежутке длинны Т.

/>Далее полезно найти точки пересечения графика с осямикоординат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том, чтоесли, скажем, на интервале (a;b) функция y=f(x) принимаеттолько положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше осиОх. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можнозаштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указатьобласти, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведенияфункции на границах области определения, установить характер точек разрыва(если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастанияи убывания функции и исследовать её на экстремум.

        Подводя итог всему сказанномувыше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ееграфика.

1. Найти область определения функции,

2.  Исследовать функцию на четность.

3.  Исследовать функцию на периодичность.

4.  Найти точки пересечения графика с осями координат.

5.  Определить промежутки знакопостоянства.

6.  Исследовать функцию на границах области. Найтиасимптоты.

7.  Исследовать функцию на экстремум.

8.  Составить таблицу значений функции для некоторыхзначений аргумента.

9.  Используя все полученные результаты, построить графикфункции.

       

Пример 1. Построить график функции y=x4-2 x2-8.

Решение. 1.Функция определена при любом значении x, т.е.D=(f)=R.

2. Так как область определения функции — симметричноемножество  и f(-x)=f(x),тофункция четна.Следовательно график функции симметричен относительно оси Оyи для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком [0,+    ].Но в данном примере мы этого делать небудем.

3Функция непериодическая.

4.  Найдем точки пересечения графика сосью Ох. Для этогорешим уравнениеx4-x2-8=0.Пологая u=x2,получим квадратноеуравнениеu2-u-8=0.Пологаяu= x2,получим квадратное уравнение u2-u-8=0, имеющее корни4 и –2.Из уравненияx2=4находимх=2, х=-2,уравнениеx2=-2не имеет решений.  Мы нашли две точки пересечения с осью Ох:(2;0) и (-2;0).

С осью Оу график функции пересекается в точке(0;-8).

5.    Найдем интервалы знакопостоянства функции. Заданнаяфункция  не прерывна на всей числовой прямой обращаетсяв в точках2и –2.Значит, в промежутках(-  ,-2). (-2;2)и (2;) она сохраняет постоянный знакЧтобы определить знак функции  на каждом из указанных промежутков, достаточновзять по одной “пробной” точке из каждого промежутка.

Имеем–100  (-  ,2), f(-100)=(-100)4-2(-100)2-8>0. Значит,f(x)>0в промежутке (- ; -2).Далее, Î(-2;2), f(0)=-8<0. Поэтому f(x)<0 в промежутке(-2; 2). Наконец,  100Î(2; +  ), f(100)=f(-100), авыше мы видели, что f(-100)>0.Следовательно, f(100)>0, а потом f(x)>0в промежутке (2;+  ).

          Нарисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которымимы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатнойплоскости, где графика нет, отмечены известные точки(0; -8), (2; 0),(-2; 0). Это – ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшееисследование позволяет ответить на вопрос, как строить график.

          6)Изучим поведение функции вблизи границ области определения. Поскольку D(f)=(-  ; + ),такими «границами»можно считать -  и + . преобразовав выражение x4-2x2-8 к виду x2-( x2-2-8/ x2), замечаем, что  если х®-  или х®+  , тоу®+  .

          Асимптотграфик не имеет.

/>          7) Исследуем функцию на экстремум; имеем

y’=4 x3-4x=4x(x-1)(x+1)

Прировнявпроизводную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовуюпрямую на промежутки (- ; -1), (-1;0), (0;1), (1; + ). Если х>1, то у'>0,а в остальных промежутках знаки чередуются справа на лево, смотри рисунок.

Составимтаблицу:

x

— <x<-1

-1

-1<x<0

0<x<1

1

1<x<+

f’(x) - + - + f(x) Убыв. -9 min Возр. -8 max Убыв. -9 min Возр.

Итак, в точках (-1; -9) и (1; -9)функция имеет минимум, а в точке (0; -8) — максимум/>.

8) Составим таблицу значений функциидля некоторых значений аргумента, включая те, что были уже отмечены в ходеисследования:

X

-2 -1 1 2 -2,5 2,5

Y

-9 -8 -9 »6 »6

/>9) Строим график функции y=x4-2 x2-8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример2. Построить график функции y=( x2-1)/x.

Решение:

1.  Функция не определена только в точке х=0,т.е.                  D(f)=(-; 0)È(0; + ).

2.  Множество D(f) является симметричным; кроме того   f(-х)=((-х)2-1)/-х=-(x2-1)/-х=-f(х). Значит, y=f(x) – нечетная функция. Поэтому графиксимметричен относительно начала координат и для дальнейшего исследования можноограничится промежутком (0; + ), что мы и сделаем.

 

3.  Функция непериодическая.

 

4.  Найдем точки пересечения графика с положительнымлучом оси Ох. Изуравнения (x2-1)/x=0 находим x=1 (корень х=-1 пока не принемаем во внимание).Итак, точка пересичения с осью Ох – точку (1; 0).

 

С осью Оу график не пересекается, т.к.точка х=0 не принадлежит к области определения функции: 0 D(f).

5. Находим промежутки знакопостоянства:(0; 1) и (1; +  ). В первом из них f(x)<0, во втором f(x)>0/

На рисунке представленагеометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем кнастоящему моменту.

6.  Изучим поведение функции вблизи границ области определения,т.е. вблизи точки ноль и при х®+  . Если х®0(напомним, что мы рассматриваем случай где х>0), то (x2-1)/x®.Если же х®+  , то ( x2-1)/x=х-1/х®+  .

Прямаях=0 является вертикальной асимптотой. Далее, т.к. степень числителя выражается (x2-1)/xна единицу больше степени знаменателя, то должнасуществовать и наклонная асимптота. В самом деле, поскольку (x2-1)/x=х-1/хи 1/х стремятся к нулю при х®+  , наклоннойасимптотой служит прямая у=х.

7.  Исследуем функцию на экстремум; имеем

y’=((x2-1)/x)’=([-1/x)’=1+1/x2.

Замечаем, что у’>0при любыхх. Значит на луче (0; + ) функция возрастает и экстремумов не имеет.

8. Составим таблицу значения функции:

x

1 0.5 0.25 2 3 4

y

-1.5 -3.75 1.5 2.67 3.75

/>

9. отметив найденные точки накоординатной плоскости и учитывая результаты исследования, строим ветвь графикапри х>0, смотри рисунок.

Т.к. график функции y=(x2-1)/x,симметричен относительно начала координат, то добавив к построенной ветвисимметричную ей относительно начала координат, получим искомый график.

10.   Глава 3.          ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙРАБОТЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В настоящее времякаждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщитьшкольникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым наборомфактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческуюинициати­ву, самостоятельность. Привитие ученикам навыков самостоятельнойработы, умения ориентироваться в поступающей информации, умения самостоятельнопополнять свои знания — это сложный и длительный процесс, требующий специальноорганизованной и целенаправленной работы учителя, в которой, так же как и влюбой другой работе. выделяются определенные этапы.

Среди совокупностиумений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изученииматематики, существуют такие, которыми должен прочно овладеть каждый ученик,для того чтобы учебный процесс протекал нормально.

Изучению функций и их свойств посвящена значительнаячасть курса алгебры. И это не случайно.Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Умения, приобретаемыешкольниками при изучении функций, имеют приклад­ной и практический характер.Они широко используются при изучении, как курса математики, так и другихшкольных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкоеприменение в практической деятельности человека. От того, как усвоены уча­щимисясоответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьногокурса математики.

При выделении обязательных задач по теме «Функции»,следует ориентироваться на то, что обучение в VI—VIII классах представляетсобой не завершающий, а промежуточный этап в системе математическогообразования каждого школьника: На базе полученной им математической подготовкистроится его дальнейшее обучение. Поэтому для определения реально необходимогоуровня сформированности умений по каждому вопросу, в первую очередь, следуетпроанализировать характер и уровень ис­пользования этих умений на следующихступенях обучения. Кроме то­го, важное значение имеет характер примененияматематических зна­ний учащихся в смежных школьных предметах.

Применительно к функциональному материалу естественнымпредставляется проанализировать характер его применения в курсе алгебры и началанализа, геометрии, а также школьного курса физи­ки. Анализ теоретического изадачного материала этих курсов позво­ляет выделить две группы умений, заформированием которых следует тщательно следить при изучении всех видовконкретных функций,— умения работать с формулой, задающей функцию, и уменияработать с графиком этой функции.

К умениям работать с формулами относятся«следующие.

Если функциивида y=kx+b,у=k/x,y=ax2+bx+c,у=х3,y=Öx          заданы формулами с конкретными значениями пара­метров,то учащиеся должны уметь:

— указатьобласть определения функции;

— вычислить значение функции, соответствующеезаданному значению аргумента;

—вычислить значение аргумента, при котором функция при­нимаетзаданное значение;

— определить, принадлежит литочка с заданными координатами графику функции,

Все эти умения широкоиспользуются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных вбольшое число других умений. Так, например, умение найти значение функции призадан­ном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождениинаибольшего и наименьшего значений функ­ции, вычислении пределов функций,интегралов и др. В курсе физики оно используется практически при изучении всехвопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути приравномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела приравномерном и равноускоренном движении и т… д. Умение записать нужноеравенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции (а такжеграфику уравнения), требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводеурав­нений прямой, окружности, плоскости.

Важнейшее значениев функциональной подготовке учащихся — имеет формирование графических умений.Гра­фик — это средство наглядности, широко используемое при изучении многихвопросов в школе.

График функции выступаетосновным опорным образом при формировании целого ряда понятий — возрастания иубывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятияэкстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможнопривлечение геометрической наглядности при формировании таких центральныхпонятий курса алгебры и начал анализа, как непрерыв­ность, производная,интеграл. Поэтому заниматься формированием графических представлений в старшихклассах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочныеумения как в построении, так и в чтении графиков функций. Прежде всего уча­щиесядолжны уметь свободно строить графики основных функций:

y=kx+b,у=k/x, y=ax2+bx+c, (при конкретных значениях параметров), у=х3,y=Öx

Необходимой базой последующего примененияфункционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся вчтении графиков функций. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать спомощью графика на целый ряд вопросов:      ,

— по заданному значению одной из переменных хили у опреде­лить значение другой;

— определять промежутки возрастания и убыванияфункции;

— определять промежутки знакопостоянства;

— для квадратичной функцииуказывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее(наименьшее) значение, а также определять это значение.

Ученики должны хорошопредставлять себе вид графиков некото­рых функций, а именно: у=х, у=—х,у=х2, и уметь без специально­го построения по точкампоказать их расположение в координатной плоскости.

И наконец, учащиеся должныприменять графики изученных пере­численных выше функций для графическогорешения уравнений, систем уравнений, неравенств вида f(x)³.

Достижение„всеми учащимисявыделенных результатов обучения требует специальной ориентации процессаобучения, серьезной и тщательной работы учителя по обеспечению такого усвоения.При этом правильно организованная работа по обучению учащихся ре­шать основныетипы задач не только не противоречит тезису о раз­витии самостоятельностиучащихся в учебной деятельности, но и способствует такому развитию, закладываетосновы обучения школьников обще учебным умениям, умениям самостоятельной ра­боты.Остановимся на некоторых из этих вопросов.

Прежде всего, одним из условийэффективности этой работы являетсясвоевременное ознакомление учащихся сосновными требованиями к их знаниям и умениям. Это может делаться в раз­личнойформе. Приступая к изучению какой-либо функции, целесооб­разно сообщитьучащимся в самом общем виде, какими умениями они должны овладеть в обязательномпорядке. Например, начав изучать функцию вида y=ax2+bx+c, можно указать учащимся, что усвоение этого материалабудет оценено положительно только в

том случае, если они научатся строить график квадратичной функции и пографику отвечать на некоторые вопросы. В ходе изучения ма­териала следуетуточнить требования, конкретизировав их вторую часть. При этом, если имеетсятакая возможность, полезно указать номера упражнений, отражающих основныетребования.

Сформироватьпрочные умения в построении и чтении графи­ков функций, добиться, чтобы каждыйученик мог выполнять основ­ные виды заданий самостоятельно, можно только приусловии выпол­нения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений. Нобыло бы большой ошибкой, если бы эта работа ограничивалась только тренировкой.Обоснованность действий, сознательность при их выполнении, внимание кформированию умений обще учебного характера — непременное условие прочностив овладении умениями. Рассмотрим это на примере отработки умения строитьграфики функций.

Часто приходится наблюдать, особенно в практике работынеопыт­ных учителей, что при формировании этого умения они ограничи­ваютсяисключительно тренировочными упражнениями, не уделяя должного вниманияовладению понятиями, изучению свойств функ­ций. Результатом является то, чтопри затрате больших сил и времени учащиеся так и не приобретает умения свободнои уверенно строить графики. Проанализируем один пример. В итоговой конт­рольнойработе по алгебре за курс VI класса учащимся было предло­жено построить графикфункции, заданной формулой у=2х—1. Мно­гие учащиеся справились сзаданием. Однако среди ошибок были такие, которые свидетельствовали онесформированности не только умения строить график линейной функции, но истроить график вообще. В некоторых работах на рисунке вместо прямой можно быловидеть некое подобие параболы или гиперболы. Иногда это была и прямая, нопроходящая через другие координатные углы. Ученики, таким образом выполнившиезадание, усвоили только одно: для того чтобы построить график функции, надонаходить координаты точек, принадлежащих графику. Допущенные в вычисленияхошибки не Позволили им верно выполнить задание, однако проконтролировать себя входе его решения они не смогли. Это свидетельствуемо том, что в ходе обученияпостроению графиков функций акцент делался на механическое повторение способовпостроения графиков отдельных функций и недооценивалось значение теоретическихзнаний.

 При обучении учащихся построению графиков функцийследует ориентироваться не на формальное повторение школьниками от­дельныхприемов построения графиков, а на сознательное усвоение материала. Необходимоуделять серьезное внимание усвоению соот­ветствующих понятий, изучению свойствфункций и формированиюна этой основе способов построения графиков.

При изучении всех видов функций построение графикаполезно проводить по одному и тому же общему плану, добиваясь от учащихся егонепременного соблюдения:

1.  по формуле распознать вид функции(линейная, квадратичная и т. д.)

2.  вспом­нить, что является графикомфункции такого вида (прямая, пара­бола и т. д.)

3.  выяснить, исходя из формулы,некоторые характерные особенности этого графика (так как k>0, то угол наклонапрямой к оси х острый; так как а<0, то ветви параболынаправлены вниз;

4.  приступать к построению графика поточкам, используя для каждого вида функции свой специфический способ.

При выполнении упражнения всем классом, сопровождаю­щемсяпостроением графика на доске, надо непременно требовать от отвечающего ученикавслух комментировать ход решения, выделяя каждый из этих этапов, не пропускаяни один из них. Такая планомер­ная работа приводит к тому, что соблюдение этогоплана становится привычным для ученика, и каждый ученик самостоятельно обращает­сяк нему при построении любого графика.

         Обучаясь построению графиков конкретных функ­ций,ученик обучается составлению определенного плана действий. Приступая к решениюпоставленной перед ним задачи, ученик не берется за ее выполнение «в лоб», апредварительно намечает исходную идею решения. Иными словами, у него появляетсяоснова для ориентировочных действий. А это, в свою очередь, способствуетприобретению навыков самоконтроля. Причем подход к самоконтро­лю здесь неформальный, в отличие от широко распространенного в практике, когда ученикам,уже выполнившим задание, предлагают:

«Проверьте свое решение». В такой ситуации ученик, как правило, незнает, что ему при этом надо делать и в лучшем случае просто прочитывает своерешение еще раз. Однако ему трудно увидеть ошибки и немудрено, что ошибочноерешение часто остается неис­правленным. Анализ же условия и обдуманная наметкапути реше­ния на первоначальном этапе более эффективны в плане самоконтро­ля,так как ученик получает возможность контролировать свои действия на каждомэтапе выполнения задания. Так, например, установив, что графиком функцииявляется прямая, ученик уже не станет изображать на рисунке параболу. Зная, чтоугол наклона прямой к оси х должен быть острым, он насторожится, если унего на рисунке получится тупой угол, и это может заставить его пересмотретьнекоторые моменты своего решения. Базу для такого самоконтроля создает твердоезнание основного теоретического материала, знание свойств функций.

Дляпрочного усвоения свойств изучаемых функций необходимо включать специальные упражнения,заставляющие учащихся актуа­лизировать имеющиеся у них знания о функциях,выполнять некото­рый перебор знаний с целью выбора нужных в данной ситуации. Сэтой точки зрения эффективны упражнения на соотнесение графика функции сформулой, задающей эту функцию. Например, после изу­чения свойств линейнойфункции можно предложить учащимся зада­ние такого типа: «На рисунке изображеныграфики линейных функ­ций и приведены формулы, задающие эти функции: y=-0,5x+1;у=3;у=2х+2;y=3x.Установите, какая формула соответствует каждому из представленных графиков».Эти упражнения легко варьировать, увеличивая, например, число приводимыхформул, пос­ле изучения новых видов функций, включая графики различных функций.Например, предложить учащимся соотнести каждый из гра­фиков, изображенных нарисунке, с формулами:

y=2х—1; у=2х; у=х2;y=3/x; y=х3.

Подобныезадания можно выполнять устно при фронтальной ра­боте с классом и письменно ввиде самостоятельной работы. В первом случае следует непременно требовать отучащихся обоснования свое­го выбора. Не отнимая много времени на уроке, этиупражнения при­носят существенный эффект и помогают добиться прочных умений. впостроении графиков функций.

В заключениеотметим, что, хотя работа по обучению учащихся умению самостоятельно решатьосновные виды задач еще не реша­ет проблемы развития самостоятельности учащихсяв целом и ее, конечно, недостаточно для достижения такой цели, все же этаработа является важным этапом в ее достижении. Обучение деятельности по образцуимеет в математике свою специфику, так как в большин­стве случаев такаядеятельность не сводится к чисто воспроизводя­щей. Воспроизводится именноспособ решения, сама же задача, ее конкретные данные всегда варьируются. Прирешении любой за­дачи, при выполнении каждого упражнения ученик осуществляетхотя бы элементарный перенос знаний, актуализирует необходимый способ действий,определяет путь решения. Таким образом, целена­правленная и тщательная работапо организации овладения всеми учащимися необходимым набором умений создаетоснову для пере­хода на более высокий уровень самостоятельности, являетсянеобхо­димой базой такого перехода. Кроме того, эта работа не только непротиворечит идее развития у учеников общеучебных умений, состав­ляющих основусамостоятельной деятельности каждого ученика, но включает в себя большиевозможности в этом плане и, правильно организованная, служит начальным этапомформирования этих умений.

ЛИТЕРАТУРА

1. С.И.Демидова, Л.О. Денищева «Самостоятельная деятельность учащихся при обученииматематике»-М:, Просвищение-1985г.-192с.

2. Народноеобразование№6-1990г., с.62

3.«Математика в школе»№3-1998г., с.37

4.«Математика в школе»№2-1999г., с.53

5. Газета«Математика»№33-1999г.

6. Газета«Математика»№16-1998г.

7. В.В.Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасеченко «Задачи по математике.Начало анализа: Справочное пособие» — М:, Наука. Гл. ред. Физ. — мат.лит.,1990-608с.

8. Газета«Математика»№39-1997г.

9. В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И, Шабунин, А.Б. Марткович «Математика. Лекции,задачи, решение» — Минск, Издательство»Альфа»-1994г.-638с.

10. Алгебра иначало анализа. Учебник для 10-11 кл. сред. шк./ А.Н. Колмагоров, А.М. Абрамов,Ю.П. Дубницин и д.р.: Под ред. А.Н. Колмагорова-2-е изд.-М.: Просвещение,1991г.-320с.

11. Алгебра;Учебник для 9 класса средней школы-/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков,С.Б. Суворова; Под ред… А. Теляковского.–2-е изд.–М.: Просвещение, 1992г.-271с.

12.Дидактические материалы по алгебре и начале анализа для 11 кл. /Б.М. Ивлев,С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. — М.: Просвещение, 1991г. – 192с.

13.Дидактические материалы по алгебре и начале анализа для 9 кл.: Пособие дляучителя /Б.М. Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. — 2-е изд. перераб. — М.:Просвещение, 1987г.

14.Программаобщеобразовательных учреждений «Математика» — М; Просвещение, 1994г.

15.«Математика в школе» №6 – 1996г. 21с.

16.«Математика в школе» №5 – 1999г. 2с.

17. А.Д.Мышкис «Лекции по высшей математике» — М;, 1969г.

18. В.В.Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави, «Элементарная математика» — М;, Наука1976г., 591с.

19. Г.И.Багатырев, О.А. Боковнев, «Математика для подготовительных курсов техникумов»

20. Я.Б.Зельдович «Высшая математика для начинающих и ее приложение к физике.»М., Физматгиз-1963г.-560с.

 21. В.А.Слабодская «Краткий курс высшей математики. Изд. 2-е, переработ. и доп. Учеб.Пособие для втузов. М., Высшая школа-1969г.-544с.

22. А.Я.Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман «Система тренировочных задач и упражненийпо математике» М.: Просвещение,1991г.-208с.

23. П.П.Коровкин «Математический анализ» М.: Просвещение, 1974г.-464с.