Реферат: Поверхности второго порядка

Содержание.

·   Понятие поверхности второгопорядка.

1.Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

·   Классификация поверхностей второгопорядка.

1. Классификацияцентральных поверхностей.

Ä  1°. Эллипсоид.

Ä  2°. Однополостныйгиперболоид.

Ä  3°. Двуполостныйгиперболоид.
Ä  4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

Ä  1°. Эллиптический цилиндр,гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

Ä  2°. Параболический цилиндр

•  Исследование формы поверхностей второго порядка по  ихканоническим уравнениям.

1.  Эллипсоид.
2.  Гиперболоиды.

Ä  1°.Однополостный гиперболоид.

Ä  2°. Двуполостныйгиперболоид.

3.  Параболоиды.

Ä  1°. Эллиптическийпараболоид.
Ä  2°. Гиперболический пара­болоид.

4.  Конуси цилиндры второго порядка.

Ä  1°. Конус второго порядка.
Ä  2°.  Эллиптический цилиндр.
Ä  3°. Гиперболический цилиндр.
Ä  4°. Параболический цилиндр.

Список использованнойлитературы.

 

1.   «Аналитическаягеометрия»      В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

§ 1.  Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность  второго порядка -  геометрическое местоточек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11х2 +а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz +2a13xz +2а14x +2а24у+2а34z+а44   =    (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, а22, a33 , a12, a23, a13  отличенот нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общимуравнением по­верхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка,рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовойпрямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат.Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное послепреобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

/>
1. Инварианты уравненияповерхности второго порядка.

Справедливоследующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительнопреобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательствоэтого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2.  Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второгопорядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затемпроизведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­татеуказанных операций уравнение поверхности примет вид

a11х2 +а22у2 + a33z2 +а44  = 0                 (2)

Так как инвариант I3 для центральной поверхности  отличен от ноля и егозначение, вычисленное для уравнения (2), равно a11•  а22•  a33, то коэффициенты a11, а22, a33  удовлетворяют условию :

/>

Возможны следующие случаи :

Ä  1°. Коэффициенты a11, а22, a33    одного знака, а коэффициента44 отличен от нуля. В этом случаеповерхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a11, а22, a33, а44одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнениюповерхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случаеповерхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a11, а22, a33 противоположен знаку коэффициента а44<sub/>, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. Вдальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают вканонической форме. Очевидно, числа

/>

 положительны. Обозначим эти числа соответственноа2, b2,с2. После не­сложныхпреобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

/>                                                                 

 

Уравнение (3) называется каноническимуравнением эллип­соида.

Если эллипсоид задан своим каноническимуравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz.называются его главными осями.

Ä  2°. Из четырехкоэффициентов a11, а22, a33, а44два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ностьS называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоидазаписывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22  > 0,  a33  < 0,  а44 < 0. Тогда числа

/>  

положительны.Обозначим эти числа соответственно а2, b2,с2. После несложныхпреобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать вследующей форме:

/>

Уравнение (4) называется каноническимуравнением однопо­лостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своимканоническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называютсяего глав­ными осями.

Ä  3°. Знак одного изпервых трех коэффициентов a11, а22, a33, а44 противоположензнаку остальных коэффициентов. Вэтом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида вканониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22  < 0,  a33  > 0,  а44 < 0. Тогда  :

/>

Обозначим эти числасоответственночерез a2, b2, с2. Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостногогиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

/>

Уравнение (5) называется каноническимуравнением двупо­лостного гиперболоида.

Еслидвуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением,то оси Ох, Оу и Оzназываются его главными осями.

Ä   4°. Коэффициент а44равеннулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка.

Если коэффициенты a11, а22  , a33   одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнениюповерхности S удовлетворяют координаты только едной точки. Вэтом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка.Если коэффициенты a11, а22  ,  a33  имеют разные знаки, то поверхность S является вещественнымконусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второгопорядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a11 > o, а22  >0, a33  < 0. Обозначим

/>

соответственно через а2,b2, с2.Тогда уравнение (2) можно записать в виде

/>

 Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственногоконуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностейвторого по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второгопорядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I3равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности.В результате уравнение поверхности примет вид

a´11х´2+ а´22у´2 + a´33z´2+2а´14x´+2а´24у´+2а´34z´+а´44   =                           (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I3 = 0 и егозначение, вы­численное для уравнения (7), равно

a´11• а´22 • a´33<sub/>, то один или два из коэффициентов a´11 , а´22  , a´33   равны нулю. В соответствии с этим рассмотримследующие возможные случаи.

/>
Ä   1°.  Одиниз коэффициентов a´11 , а´22  , a´33      равеннулю. Ради определенностибудем считать, что  a´33  = 0  (если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можноперей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат).Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у,z по формулам

Подставляях', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´11    на   a11 , а´22   на  а22  , а´34  на  p  и   а´44  на q  , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Oxyz:

 

a11х2 +а22у2+2pz + q = 0                                     (9) 

      

/> <td/> />
1) Пусть р = 0, q = 0. ПоверхностьSраспадается на пару пло­скостей

 

Приэтом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11<sub/> и а22   одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а22различны.

2)Пусть р = 0, q ≠0. Уравнение (9) принимает вид

a11х2 +а22у2  + q =0                                     (10)

Известно,что уравнение (10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими,параллельными оси Оz. При этом если a11 , а22  ,qимеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. ци­линдр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a11 , а22  ,qимеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве­щественным.Отметим, что в случае, когда a11  и а22   имеют   одинаковые знаки, a q—противоположный, то величины

/> 

положительны.

  

 Обозначаяих соответственно через а2  и b2, мы приведем уравнение (10) к виду

/>

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптическийцилиндр. В случае, a11  и а22 имеют различные знаки, мы получим гиперболическийцилиндр. Легко убедиться, что урав­нение гиперболического цилиндраможет быть приведено к виду

/>

 

 

3)Пусть р≠0.Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точкес координатами

/>

(0, 0,                 ).

При этом оставим старые обозначения координат  х, у, z.Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх­ности S в новой системекоординат, достаточно заменить в урав­нении (9)

/> 

Получим следующее уравнение:

a11х2 +а22у2 + 2pz  =0                          (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды.Причем если a11  и а22  имеютодинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычноуравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

/>

 

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11  и а22  имеютразные знаки, то параболоид называется гиперболиче­ским.Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

/>

 

Это уравнение также легко может быть получено из(13).

Ä   2°.Два из коэффициентов  a´11  , а´22 , a´33    равны нулю. Ради определенности будем считать, что   a´11= 0   и   а´22= 0  Перейдем от  х,', у', z'  к. новым  координатам х, у,z по формулам :

/>

Подставляя х', у' и z', найденные из (16) в левую часть (7) и заменяязатем a´33    на  a33  ,   a´14     на р,a´24   на   q и  a´44  на  r, по­лучимследующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Охуz:

a33 z2+ 2px + 2qy + r = 0               (17)

/>
1) Пусть р=0,q=0. Поверхность S распадаетсяна пару па­раллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми,если знаки a33  и r одинаковы, и вещественными, если знаки a33 и r различ­ны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2)Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен отнуля. В этом случае повернемсистему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельнойплоскости 2рх+2qy+r=0.Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохраненияобозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a33 z2+ 2q´y  = 0                                (19)

которое является уравнением параболическогоцилиндра с обра­зующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

/>1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатныеплоскости яв­ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди­нат—центромсимметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длиныотрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним формулиний пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатныхплоскостей.

Ради определенности рассмотрим линии Lhпересечения эл­липсоида с плоскостями

z =  h                                                            (20)

параллельными плоскости Оху.Уравнение проекции L*h<sub/>  ли­нииLh  на плоскость Оху получаетсяиз уравнения  (3), если положить в нем  z  = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

/>

 

 

/>
Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

/>

 

 

/> <td/> />
т. е. L*h<sub/>  представляет собой эллипс с полуосями а* и b*,которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как Lhполучается «подъемом» L*h  навысоту h по оси Оz  (см.(20)), то и Lh  представляет собой эллипс.

Представлениеоб эллипсоиде можно получить следующим об­разом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23)  (рис.1), полуоси а* и b* которых зависят от h (см.(22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на ка­кую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мы  получим своего рода «карту» эллипсоида. Используяэту «кар­ту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Методпредставления формы фигуры  путем получения «карты» фигуры я привожу только дляэллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядноеизображение эллипсоида находится на следующей странице.

 

Эллипсоид/>
.

2. Гиперболоиды.

Ä  1°. Однополостный гиперболоид.Обратимся к каноническому

/>уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатныеплоскости яв­ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центромсимметрии однополостного гиперболоида.

/>

 

/>Ä  2°. Двуполостныйгиперболоид.


                         


Из канонического уравнения (5) двуполостногогиперболоида вытекает, что координатные пло­скости являются его плоскостямисимметрии, а начало коорди­нат — его центром симметрии.

/>

3. Параболоиды.

Ä  1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь кканоническому уравнению (14) эллиптического параболоида

/>

 

мы видим, что для него Oxzи Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линиюпересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

/>

 

/>Ä  2°. Гиперболическийпара­болоид.   Из   канонического уравнения  (15)




гиперболического параболои­давытекает, что плоскости Oxz и Оуz являютсяплоско­стями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического пaраболоида.

 

Прим.: получение  «картывысот» для гиперболического пaраболоида несколькоотличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-гопорядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линии z=h пересечения гиперболического параболоидаплоскостями z=h представляют собой при h>0 гиперболы

/>

 

с полуосями

/>

/>а при h< 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

/> <td/> />
 с полуосями

/>
/>Используя формулы(24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще,плоскость z=0 пересекаетгиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28)являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоидадает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллип­тическогопараболоида, можно убедиться в том, что гиперболи­ческий параболоид может бытьполучен путем параллельного перемещения параболы, предста­вляющей собой сечениеплоско­стью Oxz(Оуz),когда ее вер­шина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболо­идаплоскостью Oyz(Oxz).

Прим.:Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

/>
Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второгопорядка.

/>Ä  1°.  Конус второго порядка

/>
Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящимичерез начало О координат. Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения,очевид­но, достаточно установить, что прямая L,соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М0(х0, у0, z0) ко­нуса (6) и начало координат О, целикомраспола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).

/>Так как точка М0(х0, у0, z0) лежит на конусе (6), то :

/> <td/> />
Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равнысоответ­ственно tx0<sub/>, ty0 , tz0<sub/>, где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем  t2 за скоб­ку и учитывая (29), мы убедимся в том,что М лежит на ко­нусе. Таким образом, утверждение доказано.Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легкоубедиться, что сечения конуса плоскостями z =h представляют собой эллипсы с полуосями:

 

Ä  2°. Эллиптический цилиндр.

/> <td/> />
/>


Состоит из прямых линий,параллельных оси Oz .

/>Ä  3°. Гиперболическийцилиндр.

/>



Состоит из прямых линий, параллельныхоси Oz.

Ä  4°. Параболический цилиндр.

a33 z2 +2q´y  = 0                                (19)
Путем переименования осейкоординат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получимновое, компактное уравнение параболического цилиндра.

/>

/>

/>