Реферат: Оценка вероятности безотказной работы по критериям остаточного ресурса
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ… 2
МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ВЕРЯТНОСТИ… 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИРАЗРУШЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ ЗАПАСЕ ПРОЧНОСТИ. 9
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ… 12
ВВЕДЕНИЕ
Совершенство методов исредств диагностики позволяет обнаруживать в элементах конструкций дефектыразличного происхождения. В связи с этим возникает задача о допустимостиобнаруженных дефектов с точки зрения нормального функционирования и безопаснойработы ДЛА. Ситуация, связанная с необходимостью прогнозирования разрушенияэлементов ДЛА, а также с оценкой риска эксплуатации в условиях неполноты и неопределенностиинформации о качестве и состоянии ДЛА, является постоянно действующим фактором.Одним из возможных способов реализации прогноза в условиях неопределенностиисходной информации является вероятностный подход.
Пусть на некоторомучастке конструкции имеются дефекты различных типов (объемные и трещиноподобныеповерхностные и подповерхностные дефекты, поры, непровары, коррозионные иэрозионные язвы и т.п). Рассмотрим в начале дефекты одного типа. Системойконтроля дефект этого типа критического размера l* будет или обнаружен с вероятностью Р1(l*), или не обнаружен с вероятностью свероятностьюН1(l*)=1-Р1(l*). В первом случае условнаявероятность отказа будет равна нулю, т.к обнаруженный дефект критическогоразмера должен быть либо устранен, либо приняты меры для остановки егодальнейшего роста, либо должен быть заменен элемент конструкции с обнаруженнымкритическим дефектом. Во втором случае условная вероятность отказа равна 1, абезусловная вероятность отказа совпадает с вероятностью Н1(l*)необнаружения критического дефекта. При наличии ансамбля дефектов одного типавероятность отказа определяется вероятностью Н(l) необнаруженияхотя бы одного дефекта с критическим размерами.
Таким образом для оценкивероятности отказа конструкции по результатам диагностического контроля нужноуметь вычислять вероятность необнаружения опасных дефектов Н(l).
МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ВЕРЯТНОСТИПусть процесс обнаружениядефектов состоит из независимых событий, т.е. обнаружение одного дефекта невлияет на процедуру обнаружения других дефектов. Если это условие выполнено, томножество дефектов образует Пуассоновский поток. Для этого потока вероятность необнаруженияк дефектов Qk(l) вычисляется по формуле (1):
/> (1)
Здесь v(l)- математическое ожидание числанеобнаруженных в результате контроля дефектов размером больше l. Тогда вероятность Н(l) необнаружения хотя бы одного дефекта размером больше l вычисляется как:
/> (2)
Обозначим через m(l) математическое ожидание общегочисла дефектов определенного типа, размер которых превышает l. Если через Pa(l)обозначить вероятность обнаружения одного дефекта размером больше l, то (2)будет выглядеть так:
/> (3)
Т.к в результате контроляможно подсчитать только обнаруженные дефекты, то их математическое ожиданиеочевидно равно:
K(l)=m(l)- v(l)= m(l)*Pa(l),
Откуда с учетом [3]следует, что:
/> (4)
В итоге для вероятностиН(l) получим :
/> (5)
В формулы (3) – (5)входит вероятность Pa(l) обнаружения наугад взятого дефекта размеромбольше l. Эта вероятность зависит от вероятности P*(l) обнаружения дефектаразмером l, локализованного в месте измерения, а также от распределениядефектов по размерам (2):
/> (6)
Здесь F(l)- функцияраспределения дефектов по размерам,
p(l)=dF(l)/dl- соответствующаяплотность вероятности.
Вероятность P*(l) оценивается путем испытаний наэталонных образцах с заданным числом дефектов определенного размера.
Ее статистическая оценкаравна отношению числа обнаруженных дефектов заданного размера к их общемучислу. Очевидно, что для каждого метода измерений и для каждого типа дефектовимеется свой порог обнаружения l0, для которого дефекты размером <l0не обнаруживаются с вероятностьюблизкой к 1. В качестве аппроксимации для функции P*(l) можно взять экспоненциальную зависимость:
/> (7)
с параметром l, который оцениваетсяэкспериментально. Например, если в результате испытаний получена оценкаматематического ожидания /> размеровобнаруженных дефектов, то в качестве оценки для параметра l можно взять величину />. Распределение дефектов поразмерам F(l) также аппроксимируется теоретической зависимостью, напримерраспределением Вейбулла (2).
Итак, для дефектов одного типавероятность отказа при наличии системы контроля за дефектами будет равна:
/> (8)
Полученные соотношениянетрудно обобщить на случай, когда имеются различные типы дефектов. Пусть числотаких типов дефектов равно n, а дефекты каждого типа образуют Пуассоновскийансамбль. Тогда все дефекты также образуют Пуассоновский поток (1) суммарнойинтенсивностью, равной сумме интенсивностей:
/>/>,
где l*j –предельный размер j-го типа дефектов.
С учетом формулы (2) длясуммарной вероятности отказов будем иметь: />, (9)
где интенсивности потоковпропущенных при контроле дефектов находятся по формуле [4]:
/>/>.
Соответствующиевероятности обнаружения находятся по формуле (6):
/>, в которую входят функция Fj(l)распределения дефектов j-го типа по размерам и соответствующая плотностьвероятности pj(l). Условная вероятность обнаружения P*j(l)оценивается по формуле (7) с пороговымзначением l0jи параметром lj длякаждого типа дефектов.
Таким образом для оценкивероятности отказов при наличии дефектов различных типов и системе обнаружениядефектов нужно знать следующие вероятностные и числовые характеристики:
ü Функции распределения дефектов поразмерам;
ü Математические ожидания числаобнаруженных дефектов;
ü Пороговые значения обнаружения;
ü Параметры системы обнаружениядефектов;
ü Критические размеры дефектов.
Различные типы предельных состояний характеризуетсякритическими размерами дефектов, зависящими от свойств материала, оттемпературы, от условий нагружения и других факторов. Если какие-либо параметрыявляются случайными, то полученные вероятности имеют смысл условныхвероятностей. Основным источником неопределенности является предельное значениеразмеров дефектов. Этот параметр зависит от ряда случайных факторов. Условные вероятностиотказов будут функциями этих параметров. Для вычисления безусловныхвероятностей отказов используется формула полной вероятности:
/>.
Здесь p(x1,x2,…xm)– совместная плотностьвероятности параметров. Интегрирование проводится по всей области D изменения параметров.
Вероятность отказов H0к моменту очередного контроля t=t0определяется вероятностью необнаружениядефектов размером l, превышающимкритический размер l*. Припродолжении эксплуатации дефекты, размеры которых не превышали предельных значений,подрастают и с течением времени могут достичь критических размеров.
Пусть к моменту времени t=t0имеется одиночный размером l. Этот дефект системой контроля можетбыть обнаружен с вероятностью 1-Pa(l). Рост дефектов будем описывать уравнением (2).
/> (10)
где c и m- эмпирическиеконстанты, /> — коэффициент интенсивностинапряжений, зависящий от уровня напряжений, от размеров дефекта, от свойствматериала и других факторов.
Решение уравнения (10),получаемое, как правило, численно с начальным условием l(t0)=l0, зависит от ряда случайных факторов.Эта зависимость определяется случайным характером К, неопределенностью свойствматериала и т.д. Обозначим вектор случайных параметров через у с компонентами у1,у2, у3…ур. Тогда решение уравнения (10) можнопредставить в виде
l(t)= l(y1,y2, y3…yp;t) (11)
К моменту времени tразмер дефекта l(t) будет случайным с плотностью вероятности pl(l;t),где t играет роль параметра. Для нахожденияраспределения pl(l;t) воспользуемся правилами вычисления распределенийдля детерминистических функций случайных величин (3). В частности, если имеетсядетерминистическая функция (11), то функция распределения Fl(l;t) находится так:
/> (12)
где область интегрирования находитсяиз условия l(t)=l(y1, y2, y3…yp;t)< l.
Остаточныйресурс qопределяется как продолжительность эксплуатации после очередного контроля, втечение которого размер дефекта подрастает до критического значения l*. Он находится как корень уравнения
l(q)=l* (13)
Даже при фиксированныхзначениях l*ресурс q будетслучайной величиной. Это связано со случайной зависимостью l(t). Дополнительную неопределенностьвносит случайный характер критического размера l*, зависящего от случайных факторов. Плотность вероятностинаходится по тем же правилам, что и распределение (12).
/> (14)
Область интегрированиянаходится из условия l(t)= l(x1, x2, x3…xm;t)<l*. Вероятность отказапо критерию остаточного ресурса находится как вероятность выполнения неравенстваl(t)>l*: />.При известных законах распределения p1(l,t) и pl*(l*),определяемым по формулам (12) и(14), эта вероятность находится как
/> (15)
Формулу (15) можно упростить проинтегрировав поодной из переменных в области D[l,t,l*]:
/> (16)
Другую эквивалентнуюформу получим, взяв в качестве независимой переменной l*:
/> (17)
Рассмотренная схемаоценки вероятности отказов по критерию остаточного ресурса учитывает ростодиночного дефекта. При наличии множества начальных дефектов с различнымиразмерами будем считать, что их рост происходит независимо. Разобьем весьинтервал начальных размеров дефектов, как обнаруженных в результате контроля,так и пропущенных, на подинтервалы со средними начальными размерами lk.Обозначим через mkматематическое ожидание числа дефектов, попавших в k-ый интервал. Эта величинанаходится через математическое ожидание kk числа обнаруженных врезультате контроля дефектов в k-ом интервале и через вероятность ихобнаружения Ра(lk) по формуле: />.
Суммарная вероятностьотказов при наличии множества дефектов находится как:
/> (18)
здесь через Hk(t)обозначена вероятность отказов, вычисленная по формуле (16) или (17) приначальном размере дефекта lk.
Окончательно с учетомвероятности отказов к моменту контроля t0для вероятности отказов в моментвремени t>t0получим:
H(t)=H0+Hq(t) (19)
где вероятность H0 находитсяпо формуле (8).
По формуле (19) можнооценит увеличение риска с течением времени эксплуатации после очередногоконтроля. Эта формула позволяет также оценить остаточный ресурс из условиянепревышения вероятностью отказов предельного значения H*. Расчетное значениеостаточного ресурса Q*находится как корень уравнения H(q)=H*.
Учет различных типовдефектов производится по формуле:
/>/> (20)
где вероятности отказов Hj(t) для каждого типа дефектов находятсясогласно (19).
Для численного примерааппроксимируем функцию распределения длин дефектов F(l) и критических дефектов асимптотическимираспределениями Вейбулла с параметрами l0, l*0, lc,l*c, a, a1:
/> (21)
/> (22)
Математическое ожиданиечисла обнаруженных дефектов аппроксимируемзависимостью с параметрам l1 и l1: />.
Уравнение роста дефектов(10) перепишем в виде:
/> (23)
При s=const решение этого уравнения с начальнымусловием lk(t0)=l0k имеетвид: /> , где m1=m/2-1 (24)
Рассматривая параметр напряжения s какслучайный с распределением Релея
/> (25)
Найдем распределение длиндефектов Fl(lk;t) по формуле (12), которая примет вид:
/> (26)
где s(lk;t) – решение уравнения (24)относительно s:
/> (27)
После вычисления интеграла(26) получим:
/> (28)
Таким образом, изложенныйподход к оценке вероятности отказа элементов конструкций ДЛА по результатамдиагностического контроля дефектов позволяет учитывать статистическуюинформацию о различных типах дефектов, полученную в результате обследования,оценить остаточный ресурс после очередного диагностического обследования.
2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ ЗАПАСЕ ПРОЧНОСТИ.
На основании расчетов в курсеДиПРД принимаем полученные значения n, kB1 и t.
n=8000 об/мин,kB1=1.8, t=1.800сек. Принимается, что рассчитываемая деталь работает на режиме нормальнойэксплуатации.
Q(t)= l*t;
[l]=1*10-9 1/ч; (1)
Pразр(t)=Q(3tрес);
Q=q=1*10-9;
Q(3tрес)=l*3tрес=1*10-9*3*0.5=1.5*10-9;
/> ; (2)
/>.
Сравнивая выражение (1)с выражением (2) делаем вывод о том, что рассчитываемая детальсоответствует мировому уровню по обеспечению надежности.
Для повышения уровнябезотказности выполняются следующие действия:
определяем коэффициентывариации предельных свойств конструкции (Vs) и параметровнагруженности (VR).
Vs выбираетсяв соответствии с рекомендациями. Принимаем Vs=0.1.
Коэффициент VRполучаем расчетным путем:
/>
Далее рассчитываем Pразр(t)для различных значений коэффициента запаса kB1 и коэффициентоввариации (Vs) и (VR). Для этого расчетаиспользуем следующие зависимости:
/>
Таблица 1
Vs=0.1, VR =0.0125
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.500000 1.2 1.66 0.45150 0.048500 1.4 2.85 0.49780 0.002200 1.6 3.74 0.49990 0.000098 1.8 4.43 0.49999 0.000071Таблица 2
Vs=0.12, VR =0.015
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.5000000 1.2 1.38 0.41620 0.0838000 1.4 2.37 0.49110 0.0089000 1.6 3.12 0.49904 0.0009600 1.8 3.69 0.49998 0.0000115Таблица 3
Vs=0.08, VR =0.01
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.5000000 1.2 2.07 0.480750 0.0192500 1.4 3.56 0.499805 0.0002000 1.6 4.67 0.499998 0.0000021 1.8 5.54 0.499999 0.0000003Таблица 4
Vs=0.12, VR =0.0125
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.5000000 1.2 1.38 0.416200 0.0838000 1.4 2.37 0.491100 0.0089000 1.6 3.12 0.499040 0.0009600 1.8 3.7 0.499988 0.0000115Таблица 5
Vs=0.08, VR =0.0125
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.5000000 1.2 2.07 0.4807500 0.0192500 1.4 3.55 0.4997053 0.0002900 1.6 4.67 0.4999979 0.0000021 1.8 5.53 0.4999996 0.0000004Таблица 6
Vs=0.1, VR =0.015
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.5000000 1.2 1.65 0.4505000 0.0495000 1.4 2.84 0.4977000 0.0023000 1.6 3.73 0.4997800 0.0002200 1.8 4.43 0.4999929 0.0000021Таблица 7
Vs=0.1, VR =0.01
K g Ф(g)Pразр(t)
1 0.5000000 1.2 1.66 0.4515000 0.0485 1.4 2.85 0.4978000 0.0022000 1.6 3.74 0.4999020 0.0000980 1.8 4.44 0.4999929 0.0000021По полученным значениям Pразр(t) строится график Pразр(t)=f(kB1)
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болотин В.В.Ресурс машин и конструкций- М.: Машиностроение, 1990.-448с.
2. Вентцель Е.С.Теория вероятностей.-М.: Наука, 1969.-576с.
3. Гумбель Э.Статистика экстремальных значений.- М.: Мир, 1965.-450с.
4. Болотин В.В.,Чирков В.П. Асимптотические оценки для вероятности безотказной работы по моделямтипа нагрузка-сопротивление// Проблемы машиностроения и надежности машин,1992,№6 с.3-10