Реферат: Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении (WinWord, Excel)

<p/><td/>   />

Кафедра математической статистики и эконометрики

Расчетная работа №1

По курсу:

“Математическая статистика”

по теме:

 

“Оценивание параметров

и проверка гипотез

о нормальном распределении”

Группа:ДИ 202

Студент:Шеломанов Р.Б.

Руководитель:Кацман В.Е.

Москва 1999

 

Содержание

ЗАДАНИЕ№ 23--------------------------------------------------------------------------------- 3

Построениеинтервального вариационного ряда  распределения 3

Вычислениевыборочных характеристик распределения          4

Графическоеизображение вариационных рядов--------- 5

Расчеттеоретической нормальной кривой распределения      6

Проверкагипотез о нормальном законе распределения  7

 

 

ЗАДАНИЕ № 23

Продолжительность горенияэлектролампочек  (ч) следующая:

750 750 756 769 757 767 760 743 745 759 750 750 739 751 746 758 750 758 753 747 751 762 748 750 752 763 739 744 764 755 751 750 733 752 750 763 749 754 745 747 762 751 738 766 757 769 739 746 750 753 738 735 760 738 747 752 747 750 746 748 742 742 758 751 752 762 740 753 758 754 737 743 748 747 754 754 750 753 754 760 740 756 741 752 747 749 745 757 755 764 756 764 751 759 754 745 752 755 765 762

Повыборочным данным, представленным в заданиях №1-30, требуется:

1* Построить интервальныйвариационный ряд распределения;

Построение интервального вариационного ряда распределения

Max: 769

Min:  733

R=769-733=36

H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712

A1=x min — h/2=730,644

B1=A1+h; B2=A2+h

/>

2*Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду:

среднююарифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S^2),среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) иэксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации(Vs);

Вычисление выборочных характеристикраспределения

 Di=(xi — xср)

/> xср =åxi mi/åmi

 xср  =  751,7539  

 

Вспомогательная таблица ко второму пункту расчетов

 

/>

Выборочный центральный моментК-го порядка равен

/>/>/>/>/>/>/>                     M k =        ( xi — x)^k mi/        mi  

/>/>/>       

Внашем примере:

Центр момент 1 0,00 Центр момент 2 63,94 Центр момент 3 -2,85 Центр момент 4 12123,03

 

Выборочнаядисперсия S^2  равнацентральному моменту второго порядка:

Внашем примере:

S^2=63,94

Ввыборочноесреднее квадратическое отклонение:

Внашем примере:

S=  7,996

Выборочныекоэффициенты асимметрии Ас и эксцесса   Fk   по формулам

Ac = m3/ S^3;

Внашем примере:

Ас=-0,00557

Ek = m4/ S^4 -3;

Внашем примере:

Ek = -0,03442

Медиана Ме — значение признака  x (e),приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений  ( n = 2l -1).При четном числе наблюдений( n=2l)  медианой Ме является средняяарифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:          Me=( x(e) + x( e+1) /2

Если исходить из интервального ряда, то медиануследует вычислять по ормуле

Me= a me +h * ( n/2 — mh( me-1) / m me

гдеmе- означает номер медианного интервала, ( mе -1) — интервала, редшествующего медианому.

Внашем примере:

Me=751,646

МодаМо  для совокупности наблюдений равна тому значению признака, которомусоответствует наибольшая частота.

Дляодномодального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле

Mo= a mo + h * ( m mo- m(mo-1))/2 m mo- m( mo-1) — m( mo+1)

гдемо означает номер модального интервала ( интервала с наибольшейчастотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ниминтервалов.

Внашем примере:

Mo = 751,49476

Так как Хср, Mo  Me  почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагатьтеоретическое распределение нормальным.

/>Коэффициент вариации       Vs = S/ x *100 %= 3.06%

Внашем примере:

Vs= 1,06%

3*Построить гистограмму, полигон и кумуляту.

Графическое изображение вариационных рядов

       

Для визуального подбора теоретического распределения,а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S^2 иS) вариационные ряды изображают графически.

Полигон и кумулята применяются для изображения какдискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения толькоинтервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные рядыраспределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей)    

Wi=mi/n,накопленных относительных частот Whiи найдем отношение Wi/h,заполнив таблицу 1.4.

Интервалы         xi           Wi            Whi          Wi/h

                    Ai-bi

                         1                  2             3              4               5

                 4,97-5,08         5,03         0,02         0.02          0,18 

                 5,08-5,19         5,14         0,03         0,05          0,27

                 5,19-5,30         5,25         0.12         0,17          1,09

                 5,30-5,41         5,36         0,19         0,36          1,73

                 5,41-5,52         5,47         0,29         0,65          2,64

                 5,52-5,63         5,58         0,18         0,83          1,64

                 5,63-5,74         5,69         0,13         0,96          1,18

                 5,74-5,85         5,80         0,04         1,00          0,36

-            1,00           -

   

Дляпостроения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсциссоткладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник,площадь которого равна относительной частоте  Wi  данного i-гоинтервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,.Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех носительных частот,т.е. единице.

Изгистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхнихоснований прямоугольников соединить отрезками прямой.

4*Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммы и полигона, атакже по значениям коэффициентов Ас и Ек.

4 Анализ графиков и выводы

Гистограмма и полигон являются аппроксимациями кривойплотности (дифференциальной функции) теоретического распределения (генеральнойсовокупности). Поэтому по их виду можно судить о гипотическом законераспределения.

Для построения кумуляты дискретного ряда по осиабсцисс откладывают значения признака  xi, а по осиординат – накопленные относительные частоты Whi. Дляинтервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

С кумулятой сопоставляется график интегральной функциираспределения F(x).

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса ненамного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался отрицательным(Ас=-0,005), что свидетельствует о небольшой левосторонней асимметрии данногораспределения. Эксцесс оказался также отрицательным (Ек= -0,034). Это говорит отом, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной,имеет несколько более плоскую вершину. Гистограмма и полигон напоминают кривуюнормального распределения (рис.1.1 и 1.2.). Все это дает возможность выдвинутьгипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочекявляется нормальным.

Приечание: Кумулята, гистронрамма и полигоннаходятся в приложениях к работе.

 

5*Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормальногораспределения и построить эти кривые на графиках гистограммы и кумулятысоответственно.

Расчет теоретической нормальной кривойраспределения

 

Приведем один из способов расчета теоретического нормальногораспределения по двум найденным выборочным характеристикам x и Sэмпирического ряда.

При расчете теоретических частот m^тi заоценку математического ожидания  (мю) и среднего квадратического отклонения G  нормального закона распределенияпринимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. (мю)=Xср.=751,7539; G=S=7,99.

Теоретическиечастоты находят по формуле:        M^i=npi,

где  n – объем; Pi – величина попадания значениянормально распределенной случайной величины в i-й интервал.

Вероятность Pi  определяетсяпо формуле

                   Pi=P(ai<x<=bi)=1/2[Ф(t2i)-Ф(t1i)],

/> 

Где Ф(t)=2\  2(пи)=интегралу с границами от (0;t) е^x2/2dx       — интегральная функция Лапласа – находится по таблице для

                    T2i=bi-x ср.\ S

                    T1i=ai-x ср.\S

Таблицы Для вычисления вероятности нормальной кривой распределенияИнтервалы Mi T1 T2 1/2Ф(T1) 1/2Ф(T2) Pi a(i) b(i) 730,644 735,356 2 -2,640 -2,051 0,4958 0,4798 -0,0080 735,356 740,068 8 -2,051 -1,461 0,4798 0,4279 -0,0260 740,068 744,780 6 -1,461 -0,872 0,4279 0,3078 -0,0601 744,780 749,492 18 -0,872 -0,283 0,3078 1,1103 0,4013 749,492 754,204 35 -0,283 0,306 0,0300 0,6619 0,3160 754,204 758,916 12 0,306 0,896 0,1179 0,3133 0,0977 758,916 763,628 11 0,896 1,485 0,3133 0,4306 0,0587 763,628 768,340 6 1,485 2,074 0,4306 0,4808 0,0251 768,340 773,052 2 2,074 2,664 0,4808 0,4960 0,0076 Pi*n Mi(теор) Mi(теор)/h Mi(теор)накоп -0,8000 1 0,002 0,0080 -2,5950 3 0,006 0,0340 -6,0050 6 0,013 0,0940 40,1250 40 0,085 0,4953 31,5950 32 0,068 0,8153 9,7700 10 0,021 0,9130 5,8650 6 0,012 0,9716 2,5100 3 0,005 0,9967 0,7600 1 0,002 1,0000 100 /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Сравнение гистограммы и нормальной кривойнаглядно показывает согласованность между теоретическим и эмпирическимраспределением.

Примечание: Построенные графики находятсяв приложениях к работе.

6*Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласияПирсона f^2).

Проверка гипотез о нормальном законераспределения

Частоты для проверки соответствияэмпирического ряда распределения нормальному закону используют критерий X^2,основанный на сравнении эмпирических частот mi стеоретическими m^тi, которые можно ожидать при принятии определеннойнулевой гипотезы.

Значение X^2набл. –наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно

                                         к                                     

/>/>/>                    F^2набл.=        (mi-m^тi)

/>/>                                         I=1     m^i

Где   к – число интервалов (послеобъединения).  M^i – теоретические частоты. Все вспомогательные расчеты,необходимые для вычисления f^2, сведем в таблицу 1.6.

                                                                                     Таблица 1.6.

Вычисление критерия X^2 припроверке нормальности  продолжительности горения электролампочек

Интервалы Mi(Практ) Mi(теор) (Mi-Mi(теор))^2 …../Mi(теор) a(i) b(i) 730,644 735,356 2 2 9 1,29 735,356 740,068 8 5 740,068 744,780 6 13 49 3,88 744,780 749,492 18 21 9 0,43 749,492 754,204 35 25 100 4,01 754,204 758,916 12 21 81 3,89 758,916 763,628 11 12 1 0,08 763,628 768,340 6 5 1 0,14 768,340 773,052 2 2 X^2набл 13,71 /> /> /> /> /> /> />

Правило проверки гипотезы заключается вследующем. Определяем по таблице распределения xu-квадраткритическое значение X^2кр.(альфа для числа степеной свободы V=к-3 и заданного уровнязначимости альфа. Затем сравниваем X^2кр.

Если X^2 набл.<=X^2кр., то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается  (непротиворечит опытным данным).

Если X^2 набл. >X^2кр., то выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается свероятностью ошибки a.

Для нашего примера X^2набл.=13,71, a=0,005, V=7-3=4 (число интервалов после объединения стало равным 7) и X^2кр.(0,005; 4) =14,9

Так как X^2набл.<X^2кр.,то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается свероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределениепродолжительности горения электролампочек  является нормальным. Чтоподтверждают графики и значения моды и медианы.