Реферат: Метод Крамера
Метод Крамера (Габріель Крамер (1704-1752) ‑ швейцарський математик) застосовують до знаходження розв’язку квадратних систем лінійних рівнянь. В ньому застосовують поняття визначника основної матриці системи і допоміжних визначників, які отримують з визначника заміною першого, другого і так далі до го стовпця на стовпець вільних членів:
,, …, .
Наприклад, для системи, що містить три лінійних рівняння з трьома невідомими
,
маємо:,,, .
В залежності від значення визначника основної матриці та значень допоміжних визначників реалізується один з трьох варіантів:
| 1) | Якщо визначник основної матриці системи (1.8) не дорівнює нулю, то система (1.8) має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера:. (1.10) |
| 2) | Якщо основний визначник системи (1.8) дорівнює нулю і всі допоміжні визначники теж дорівнюють нулю, тоді система (1.8) має безліч розв’язків. |
| 3) | Якщо основний визначник системи (1.8) дорівнює нулю, а хоча б один з допоміжних визначників не дорівнює нулю, тоді система не має жодного розв’язку. |
Слід зауважити, що метод Крамера для випадку 2 тільки встановлює існування нескінченної множини розв’язків, але не дає їх виду.
Для однорідної системи лінійних рівнянь при система має єдиний розв’язок. При однорідна система має безліч розв’язків.
| Приклад 1.7. | Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера |
Розв’язання. Визначник основної матриці системи має вид. Оскільки він відрізняється від нуля, робимо висновок про існування єдиного розв’язку системи.
Обчислимо допоміжні визначники:
,, .
За методом Крамера згідно формул (1.10) маємо розв’язок:
.
Після знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь рекомендується провести перевірку правильності проведених обчислень.
Перевірка: підстановка у вихідну систему одержаних значень невідомих,, призводить до тотожностей: що підтверджує правильність отриманого результату.